đề thi học sinh giỏi Toán 8 .1 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (2đ) Chứng minh đẳng thức sau: P=(a+b+c) 2 + (b+c-a) 2 (c+a-b) 2 (a+b-c) 2 = 4(a 2 +b 2 +c 2 ) Bài 2: (1,5đ) Chứng minh rằng: a. Nếu m là một số nguyên thì (2m+1)-1 chia hết cho 8; b. Hiệu các bình phơng hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 4; c. Hiệu bình phơng hai số lẻ liên tiếp chia hết cho 8. Bài 3: (2đ) Phân tích thành nhân tử: A=(x+y+z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 Bài 4: (2đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = x 2 -2xy+2y 2 -4y+5 Bài 5: (2,5đ) Cho hình thang ABCD (BC//CD), các đờng phân giác trong của A và B giao nhau ở E, của C và D giao nhau ở F. 1. Chứng minh EF đi qua trung điểm của AB và CD. 2. Nếu đờng phân giác trên gặp nhau tại 1 điểm thì hình thang ABCD C có gỉ đặc biệt. -----------------------------Hết đề thi------------------------------- Đáp án đề Toán 8 .1 Bài 1 : (2đ) Viết vế trái của đẳng thức dới dạng: [(b+c)+a] 2 + [(b+c)-a)] 2 +[a+(b-c)] 2 +[(a-(b-c)] 2 0,5đ Ta nhận xét rằng: (A+B) 2 +(A-B) 2 =2(A 2 +B 2 ) 0,5đ Ta có (áp dụng 2 cặp tơng ứng): P=2[(b+c) 2 +a 2 ] + 2[a 2 +(b-c) 2 ] 0,5đ =4a 2 +2[(b+c) 2 +(b-c) 2 ] =4a 2 +2.2(b 2 +c 2 ) =4(a 2 +b 2 +c 2 ) (đpcm) 0,5đ Bài 2: (1,5đ) a. 0,5đ Ta có: (2m+1) 2 -1=(2m+1+1)(2m+1-1) 0,25đ =4m(m+1) m(m+1) là hai số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một số chẵn. Do vậy tích m(m+1) chia hết cho 2. Vậy 4m(m+1) chia hết cho 8. 0,25đ b. 0,5đ Lấy một số chẵn là 2n thì số chẵn liền sau nó là 2n+2 Hiệu: (2n+2) 2 -(2n) 2 =4(n+2), chia hết cho 4 0,5đ c.0,5đ Lấy một số lẻ là 2n+1 thì số lẻ liền trớc là 2n-1 Ta xét hiệu; (2n+1) 2 - (2n-1) 2 = [(2n+1)+ (2n-1)][ (2n+1)- (2n-1)] 0,25đ = 8n, chia hết cho 8 0,25đ Bài 3: (2đ) A=(x+y+z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 = [(x+y+z) 3 -x 3 ] (y 3 +z 3 ) 0,5đ = (x+y+z-x)[( x+y+z) 2 + (x+y+z)x+x 2 ]- (y+z)( y 2 -yz+z 2 ) = (y+z)[( x+y+z) 2 + (x+y+z)x+x 2 ]- (y+z)( y 2 -yz+z 2 ) = (y+z)( x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz +2yz +x 2 +xy+xz+x 2 -y 2 +yz-z 2 ) 0,5đ = (y+z)( 3x 2 +3xy+3xz +3yz) = (y+z)( 3x 2 +3xy+3xz +3yz) 0,5đ = 3(y+z)[(x 2 +xy)+(xz +yz)] = 3(y+z)[x(x+y)+z(x +y)] = 3 (x+y) (y+z)(x +z) 0,5đ Bài 4: (2đ) B = x 2 -2xy+2y 2 -4y+5 Tách các số hạng ta đợc: B = x 2 - 2xy+y 2 +y 2 - 4y +4 + 1 0,5đ = (x 2 - 2xy+y 2 )+(y 2 - 4y +4) + 1 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 1 0,5đ Do (x-y) 2 0 ; (y - 2) 2 0 0,5đ Nên B = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 1 1 Khi x = y v y = 2 thì B=1 Vậy giá trị nhỏ nhất B = x 2 -2xy+2y 2 -4y+5 là 1 0,5đ Bài 5: (2,5đ) Vẽ hình 0.5 đ 1. 0,5đ Giả sử đờng phân giác của B và C gặp AD ở M và N. Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên A + B =2V Mà 1 A = 2 A , 1 B = 2 B 2 A nên 2 A + 1 B =1V Từ đó suy ra BE AE . Tơng tự ta có cf DF Ta lại có AMB = 2 B (slt) và 1 B = 2 B suy ra AMB = 1 B nên MAB cân đỉnh A . Tơng tự MDC cân đỉnh D. Từ đó suy ra AE và DF 2 trung tuyến của 2 tam giác tơng ứng, dẫn đến EF là đờng trung bình của hình thang BMNC Suy ra EF//AD . EF gặp AB và CD ở P và Q. ABM có EF//AM và EB=EM nên PE là đờng trung bình, suy ra PA=PB. T- ơng tự ta chứng minh đợc QC=QD. 2. 0,5đ Từ chứng minh trên ta có PQ = 2 ADBC + (1) , xét tam giác AEB vuông ở E, EP là trung tuyến thuộc cạnh huyền AB nên EP= 2 AB , tơng tự ta có FQ= 2 CD P B C A F E Q 2 1 1 2 N M D Nếu E và F trùng nhau ta có 4 đờng phân giác trong của hình thang đồng quy, lúc đó PE+EF+FQ= 2 BCAD + , trong đó EF=0 nên PQ= 2 BCAD + (2) Kết hợp với (1) và (2) ta có: 2 ADBC + = 2 BCAD + , nghĩa là AB+CD=AD+BC Vậy nếu các đờng phân giác trong hình thang này đồng quy thì có tổng hai đáy bằng tổng hai cạnh bên. -----------------------------Hết đáp án------------------------------- Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . 2xy +y 2 +y 2 - 4y +4 + 1 0,5đ = (x 2 - 2xy +y 2 )+ (y 2 - 4y +4) + 1 = (x -y) 2 + (y - 2) 2 + 1 0,5đ Do (x -y) 2 0 ; (y - 2) 2 0 0,5đ Nên B = (x -y) 2 + (y. ]- (y+ z)( y 2 -yz+z 2 ) = (y+ z)( x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz +2yz +x 2 +xy+xz+x 2 -y 2 +yz-z 2 ) 0,5đ = (y+ z)( 3x 2 +3xy+3xz +3yz) = (y+ z)( 3x 2 +3xy+3xz +3yz)