http://ductam_tp.violet.vn/ Kiểm tra Học kỳ I Năm học 2010-2011 Môn: Toán 10 NC (Thời gian: 90 phút) A. ĐẠI SỐ: (7 điểm) Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số y = x 2 - 2x - 3 có đồ thị là (P). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Dựa vào đồ thị (P), hãy xác định tập hợp các giá trị của x sao cho y > -3. Câu 2: (3 điểm) a) Giải phương trình 8x 7 x 2 − = − ; b) Giải hệ phương trình 2 2 4 2 x xy y x xy y  + + =  + + =  c) Cho 1 , , ;2 . 2 a b c   ∈     Chứng minh: 1 1 1 225 ( )( ) 16 a b c a b c + + + + ≤ . Câu 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình 2 1 ( 1) mx y x m y m + =   + − =  (1) a) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho. b) Khi hệ (1) có nghiệm duy nhất (x ; y), hãy tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. B. HÌNH HỌC: (3 điểm) Câu 1: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, N là trung điểm của AM; I là điểm thuộc đoạn BN sao cho 2 3 BI BN= uur uuur . a) Chứng minh: 2 0NB NC NA + + = uuur uuur uuur r và 1 1 3 6 BI BA BC= + uur uuur uuur . b) Chứng minh MI song song AC. Câu 2: (1,5 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 2), B(-2; 6), C(4; 2). a) Xác định tọa độ trọng tâm và độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC. MÔN: TOÁN LỚP 10NC THỜI GIAN: 90 PHÚT A Đại số: Câu Nội dung Điểm 1 a) b) Tập xác định D = R Đỉnh I(1; -4) Phương trình trục đối xứng x = 2 Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên ( ;1);−∞ đồng biến trên ( (1; )+∞ Bảng biến thiên x -∞ 1 +∞ y +∞ +∞ -4 Điểm đặc biệt (-1;0); (3;0) và (0;-3) (vẽ đúng đồ thị 0,5đ) Ta có y 3 x ( ;0) (2; )> − ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 2 a) b) c) 8x 7 x 2− = − (1) ( ) 2 2 x 2 0 x 2 x 12x 11 0 8x 7 x 2 − ≥  ≥   ⇔ ⇔   − + = − = −    x 2 x 11 x 1 x 11 ≥   ⇔ ⇔ = =     =   (Học sinh có thể trình bày cách khác) 2 2 x xy y 4 x xy y 2  + + =  + + =  ⇔ 2 (x y) xy 4 x y xy 2  + − =  + + =  (1), Đặt S x y= + và P xy= , ta có: 2 2 S 2 S 3 S P 4 S S 6 0 P 0 P 5 S P 2 P 2 S = = −   − = + − =   ⇔ ⇔ ∨     = = + = = −     -Với S 2 P 0 =   =  ta có x y 2 xy 0 + =   =  ⇔ x 2 y 0 =   =  ∨ x 0 y 2 =   =  - Với S 3 P 5 = −   =  ta có x y 3 xy 5 + = −   =  Vô nghiệm. Vậy: Hệ có 2 nghiệm (x; y) là (2; 0) ; (0; 2) Ta có ( ) 1 1 ;2 2 0 2 2 a a a     ∈ ⇒ − − ≤  ÷       0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 6 4 2 - 2 - 4 - 6 - 5 5 1 0 1 5 2 0 2 5 1 0 2 1 5 2 a a a a ⇒ − + ≤ ⇒ + ≤ Tương tự ta có 1 5 1 5 ; 2 2 b c b c + ≤ + ≤ Do đó theo BĐT Côsi: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 225 ( )( ) ( ) (3. ) 4 4 2 16 a b c a b c a b c a b c + + + + ≤ + + + + + ≤ ≤ . 0,25 0,25 0,25 3 a) b) D = m 2 – m- 2 = (m + 1)(m-2); Dx = -(m + 1); Dy = m 2 - 1 D O m≠ ⇔ ≠ -1 và m 2≠ nghiệm duy nhất ( 1 1 ; 2 2 m x y m m − = − = − − ) D=0 1; 2m m⇔ = − = m = -1 D x = D y = 0 hệ có vô số nghiệm là nghiệm của -x + 2y = 1. m = 2 D x 0 ≠ hệ vô nghiệm. Kết luận: 1 1 1 ; 1 2 2 2 m x y m m m − = − = = + − − − Để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên với m nguyên ⇔ m-2 là ước của 1 ⇔ m-2 =1hoặc m-2=-1 ⇔ m=3 hoặc m=1 0.75 0.25 0.5 0,25 0,25 B. Hình học:(3 điểm) Câu Nội dung Điểm 1 a) b) 2 2 2 2( ) 2.0 0 NB NC NA NM NA NM NA + + = + = + = = uuur uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuuv uuuv v v Ta có 2 BI BN 3 = uur uuur ( ) 2 1 BA BM 3 2 = + uuur uuuur . 1 1 BA BC 3 2   = +  ÷   uuur uuur 1 1 BA BC 3 6 = + uuur uuur MI BI BM= − uuur uur uuuur = 1 1 1 BA BC BC 3 6 2 + − uuur uuur uuur = 1 1 1 BA BC BC 3 6 2 + − uuur uuur uuur = 1 1 BA BC 3 3 − uuur uuur = ( ) 1 1 BA BC CA 3 3 − = uuur uuur uuur Suy ra MI uuur cùng phương với CA uur . Vậy MI song song AC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 a) b) Gọi G(x; y) là trọng tâm ABC ∆ 1 2 4 x 1 3 2 6 2 10 y 3 3 − +  = =    + +  = =   10 G(1; ) 3 ⇒ M(1;4), (0,2), 2AM AM= = uuuur Gọi ( ) H x; y 0,25 0,25 0,25 0,25 ( 1; 2); (6; 4) ( 2; 6); (3;0) AH x y BC BH x y AC = − − = − = + − = uuuur uuur uuur uuur ( ) H x; y là trực tâm ABC∆ , AH BC AH.BC 0 BH AC BH.AC 0   ⊥ =   ⇔ ⇔   ⊥ =     uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur x 2 6(x 1) 4(y 2) 0 5 3(x 2) 0(y 2) 0 y 2 = −  − − − =   ⇔ ⇔   + + − = = −    0,25 0,25 . 0,5 0,5 2 a) b) c) 8x 7 x 2− = − (1) ( ) 2 2 x 2 0 x 2 x 12 x 11 0 8x 7 x 2 − ≥  ≥   ⇔ ⇔   − + = − = −    x 2 x 11 x 1 x 11 ≥   ⇔ ⇔ = =   . + ≤ ⇒ + ≤ Tương tự ta có 1 5 1 5 ; 2 2 b c b c + ≤ + ≤ Do đó theo BĐT Côsi: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 225 ( )( ) ( ) (3. ) 4 4 2 16 a b c a b c a b c a b c