88 KHÁO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC §7 KHẢO SÁT SỰ HIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHAN THUC HOU Ti §8 MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VỀ BỒ THỊ A TRONG TAM KIEN THỨC I Cac bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Khi khảo sát vẽ đồ thị hàm số, ta tiến hành bước sau : e Tìm tập xác định hàm số zg ok tA ` K£ © Xét sw bién thiên hàm số 37 Sự tiếp xúc hai đường cong Định nghĩa Giả sử hai hàm số y = f(z) = g(z) có đạo hàm điểm nói rang y= g(x) z, Ta hai dudng cong y= f(z) tiép xiic voi tai điểm M(a, 1y) nêu Ä⁄' điểm chung chúng hai đường cong có tiếp tuyến chung tai M Điểm M goi la tiép ˆ_ điểm hai đường cong cho Mệnh đề : Hai đường cong y = f(z) va y = g(z) tiếp xúc với f(x) f(a) == g(2) 92) va chi phuong trinh có nghiệm nghiệm hệ phương © trình hồnh độ tiếp điểm hai đường Chú ý : Nếu hai đường đường thẳng, ta có mệnh đề tổng quát tiếp tuyến với đường cong B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng1 ,CAC BAI TOAN VE HAM SO DANG DA THUC Loại Các toán tuý khảo sát vẽ đồ thị hàm số Phương pháp giải Đề khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm đa thức ta làm sau : e Tìm tập xác định hàm số e Sự biến thiên hàm số + Tìm giới hạn vồ cực ( lim y va Jim | y) + Lap bang bién thién hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên tìm cực trị hàm số (nếu có), điền kết vao bang © Dé thi ham sé + Điểm uốn: Tìm nghiệm z, phương trình 1”= + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị, hạn tìm giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua phân nay) + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục tâm đối xứng đô thị (nếu có, khơng u cầu chứng minh) 59 - Ví dụ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y = 2° — 32” | Giải ® Tập xác định : Hàm số xác định với x € (—oo ; +00) ® Sự biến thiên : + Giới hạn vô cực : lim y= : lim (z° —3z?)= —oco ; lim = #—=—©œO© z——-œ lim (zŠ —3z?) = +oo #—+œ z—++oo + Bang bién thién : =0 Ta có : gˆ = 3z” — 6z = 3z(z—2) ; =0 © (0; 2) Hàm số nghịch biến khoảng ; đồng biến khoảng z# (—œ; 0} (2; + oo) = Jr% + 96 - Ham số dat cyc tidu tai diém | y | —-7°~ ‘z= ; gid trị cực tiểu ham số y(2) = —4 Ham số đạt cực đại +5 VS + +00 % -4 điểm z =Ú;; giá trị cực đại hàm số (0) = ® Đồ thị + Điểm uốn : A y" =62—6 ; y”=0 điểm z=1 ự” đổi dấu từ âm sang đương z qua đểm z =1 Vậy (1;— 2) điểm uốn đồ thị _+ Đồ thị cắt trục tung điểm (0 ; 0) ˆ , + Đồ thị cắt trục hoành : l O q mm 21 3] -2| -1 — z3 —8z? =0 @ |”z=3ä Do đồ thị cắt = y | > 1 -4 - trục hoành hai điểm (0 ; 0), (3 ; 0) Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn (1;— 2) làm tâm đối xứng Ví dụ - Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ự = z* — 22” ® Tập xác định : D=R ® Sự biên thiên :: + Giới hạn vô cực : lim y= #—=~—o0c lim (zÍ—2z”)= +œo ; lim y= z—=—ằœo + Bảng biến thiên : 60 Giải i #—+oc lim (ct — 22”) = +00 #Z—=+cc x z=0 =31 ụU=0© ; i —œ /, |9] Do đó, hàm số nghịch biến (—oo;—1) -] — + |+00 va , NG ©cœ|C|IC Ta có : y=4z”—4z ⁄ - 90 +00 + +œo Nw Z (0;1), đồng biến (- 1; ;0) va (1 i+ 00) Hàm số đạt cực tiêu điểm #„= —1, z = Ì giá trị cực tiểu hàm số (—1) = (1)= —1; hàm số: đạt cực đại điểm x = 0, gia tri cuc đại hàm số (0) = e Đồ thị : + Điểm uốn : y " zr, - 8s qua U, Ks moi =122°-4 = ck diém ; " =0 ” 2, ` va soe sk V2 điểm + đổi dấu z z,.2 Do £ đó, - va U ;m hai điểm uốn đồ thị + Đề thị cắt trục tung điểm O(0; 0) + Đồ thị cắt trục hoành : z! — 2z? =0 : œ % =2 Do đồ thị hàm số cắt trục hồnh ba điểm (0;0), (W250) va (—V2;0) Nhận xét: Hàm số cho ham số chăn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Loại Các toán thường gắn liền với toán khảo sát hàm số ® Đồng thời với u cầu địi hỏi học sinh khảo sát vẽ đồ thị hàm số, người ta thường gan với chúng toán sau đây: Bài toán điểm cắt: Khảo sát giao đồ thị với đường cho trước ® Các tốn sử dụng kết việc khảo sát hàm số để biện luận phương trình bất phương trình có tham số ® Các tốn liên quan đến vài tính chất định tính hàm đa thức : điểm cố định họ hàm đa thức phụ thuộc tham sé, tính đối xứng đường cong BÀI TỐN VÈẺ DIEM CAT Phương pháp giải 61 ® Để tìm giao điểm đường cong y = ƒ(z) nói chung (của lớp hàm đa thức nói riêng) với đường y = g(x) đó, phương pháp chung ta quy xét tồn nghiệm phương trình : f(z) = ø(2) (1) Nhìn chung (1) déu la phương trình bậc cao (có bậc > 3) Nêu có thé bạn tìm cách hạ bậc (1) Ta luén str dụng kết sau : Nếu z = ø nghiệm đốn (1), (1) đưa dạng sau : (#—a)h(z)= 0, phương trình h{z)= có bậc giảm l so với phương trình gốc (1) ® Tuy nhiên sử dụng kết giá trị lớn nhỏ hàm bậc ba, ta có kết thơng dụng sau : Xét phương trình: ƒ() = az” + bz” + c + d = 0,a = (2) Khi : Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt ƒ(z) có cực đại, cực tiểu rhax’ Yin Phuong trình (2) có hai nghiệm phân biệt f(z) Cực tiểu Ynax’Ymin có cực đại, = Phương trình (2) có nghiệm : — Hoặc ƒ(z) khơng có cực đại, cực tiểu; _— Hoặc ĐC, ) có cực đại, cực tiểu max" Yuin >0 e Cần nhắn mạnh với tốn ngồi việc địi hỏi tính giao đường cong bậc ba vối đường cong khác có bậc khơng q ba, ta cịn quan tầm đến tính chất Các giao điểm kết vừa dẫn có thê xem điều kiện cẩn Nó chưa đủ sức mạnh để giải hồn tồn tốn Để giải trọn vẹn, ta cần sử dụng thêm kiến thức khác Vi du Cho họ đường cong phụ thuộc tham số mm : ụỤ = z)— 3(m +1)+? + 2(m2 + 4m +1)— 4m(m +1) Tim m dé đường cong cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn Giải Đường cong cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn phương trình: zẺ — 3n + 1)z” + 2(m? + 4m + 1) — 4m(m + 1) = (1) có ba nghiệm phân biệt lớn Do z = nghiệm.của (1), nên (1) viết dạng sau: (z — )|z? — (3m + 1)+ + 2m(m +1)1 | ==0 © (z— 2)(œ — 2m)(œ — mm — 62» =0 z=2 +z = 2m z==m +] 2m > Vì (1) có ba nghiệm phân biệt lớn 1khi: 2m z ‡m+1>1 mm +1 mà ml 2m z mm +1 Vĩ dụ — Biện luận theo m số giao điểm trục hoành với đường cong : y= 2° — 32? + 3(1—m)c +14 3m Giải Ta có : y! = 32? —62+3(1—m)= 3(z” — 2z -+1— m) Đường cong có cực trị phương trình : g' = 3(z” — 2z-+1— m) =0 phân biệt, tức là: - Ta có nhận xét sau: | Hay : A=1-(I-m)=m >0 có hai nghiệm (1) z” — 3z? + 3(1— mm)z +1 + 3m = (2° ~ 22 +1—m)(r—1)+2(—mz+14+m) y= sue -1) + A-ma +1+m) (2) Đẳng thức (2) chứng tỏ : (z; ; y,) va (2, ; y,) la cde diém oye tri hàm số, y, = 2(—maz, +1+m) Y, = 2(—mz, +1+m) Bây ta biện luận số giao điểm đường cong với trục hoành sau : Đường cong cắt trục hoành điểm a) Hoặc đường cong khơng có cực đại, cực tiểu, tức A/ 0 e YY > 0? |mx,2, — m(1+m)(e, +2,) + (1-+m)? > ()I Do z,, z, hai nghiệm phương trình +? — 2z + 1—m =0, nên theo in >0 Vi-ét ta có : 2, +2, =2 ; 2,2, =1—m Thay vao (I) ta duoc: m>0 mm | Vậy đường cong cắt trục hoành điểm m < Đường cong cắt trục hoành hai điểm đường cong có cực trị m>0 9w, = Điêu xây khi: r =0 h >0 |-m? +1=0 ©m = ]1 Tương tự đường cong cắt trục hoành ba điểm khi-: zn > 63 mì Tìm Cho đường cong: ý= z2 —3z°+(2m—2)z+mm—3 Ví dụ để đường cong cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ z z, thoả mãn điều kiện Øø 0, ; ƒ( : ƒ@6)