Trờng THCS trấn đầm hà Đề thi giao lu học sinh giỏi năm học 2009-2010 Môn : Toán 7 Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1(1,5 điểm ) So sánh các số sau: 2 300 và 3 200 Câu2 (3,5 điểm ) Tìm các số a 1 , a 2 , a 3 , .,a 100 , biết: 100 1 1 a = 99 2 2 a = 98 3 3 a = .= 1 100 100 a Và a 1 + a 2 + a 3 + + a 100 = 10100 Câu 3(3,0 điểm ) Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y 2 = 0 M = x 3 + x 2 y 2x 2 xy - y 2 + 3y + x + 2006 Câu 4 (2,0 điểm) Cho hai hai đa thức P(x) = x 2 + 2mx + m 2 và Q(x) = x 2 + (2m +1 )x + m 2 Tìm m, biết P(1) = Q(- 1) Câu5 (8 điểm ) Cho tam giác giác nhọn ABC ,AH là đờng cao .Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF, vuông ở B và C.Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh a) ABI = BEC b) BI = CE và BI vuông góc với CE c) Ba đờng thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm. Câu 6 (2 điểm ) Chứng minh rằng tổng các bình phơng của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phơng =====Hết==== đáp án biểu điểm Câu đáp án điểm 1 2 300 = (2 3 ) 100 = 8 100 3 200 = (3 2 ) 100 = 9 100 Vì 8 100 < 9 100 .Do đó 2 300 <3 200 0,5 0,5 0,5 2 100 1 1 a = 99 2 2 a = 98 3 3 a = .= 1 100 100 a áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có: 1 .99100 )100 .21() .( 10021 +++ ++++++ aaa = 1 .99100 ) .( 10021 +++ +++ aaa - 1 = 5050 10100 - 1 = 2 1 = 1 a 1 = a 2 = = a 100 = 101 1,5 1 1 3 Từ P(1) = Q(-1) ,suy ra 1+2m +m 2 =1 (2m +1) +m 2 m = 4 1 2,0 4 Biến đổi mỗi đa thức theo hớng làm xuất hiện thừa số x + y 2 M = ( x 3 + x 2 y 2x) (xy +y 2 - 2y ) + (x+y -2 ) + 1 = x 2 (x + y 2) y(x + y 2) + (x + y 2) +2008 =x 2 .0 y.0 + 0 + 2008 = 2008 0,5 1,0 1,0 0,5 5 - Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng đợc a) Ta có IAB = 180 0 - BAH =180 0 (90 0 - ABC) =90 0 + ABC = EBC ABI = BEC (c g c) b) ABI = BEC( câu a ) nên BI = EC (hai cạnh tơng ứng ). ECB = BIA hay ECB = BIH. Gọi M là giao điểm của CE với AB ,ta có : MCB + MBC = BIH + IBH = 90 0 , do đó CE BI. c) Trong tam giác BIC: AH, CF , BE là ba đờng cao.Vậy AH, CF , BE đồng quy tại một điểm. 1,0 2,5 3,5 1 6 Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, trong đó n N và N 2 Ta có A = (n 2) 2 + (n 1) 2 + n 2 + (n +1) 2 + (n+2) 2 = 5(n 2 + 2) Vì n 2 không thể có chữ số tận cùng bởi 3 hoặc 8, do đó (n 2 + 2) không chia hết cho 5, vì thế 5(n 2 + 2) không là số chính phơng, hay A không phải là số chính phơng . 2 *) Ghi chú: Cách làm đúng khác vẫn cho điểm. I B E F C A H M