ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (khối 9) Đề số 1 Bài 1(3đ). Cho các phương trình : x 2 +bx +c= 0 (1) và x 2 + mx +n = 0(2) Trong đó các hệ số b,c m,n đều khác 0. Biết b,c là các nghiệm của pt (2) và m,n là các nghiệm của pt(1). Chứng minh rằng : b 2 +c 2 +m 2 +n 2 = 10 Bài 2(3đ). Cho pt ax 2 +bx+c =0 (a và c khác 0) có nghiệm x 1 > 0 và nghiệm còn lại âm. Chứng minh rằng pt cx 2 +bx+a =0 có nghiệm x 2 >0 và x 1 +x 2 + x 1 .x 2 > 3. Bài 3 ( 3đ) Chứng minh rằng nếu có 1 1 1 2 a b c a b c abc  + + =    + + =  thì 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Bài 4 (3đ) Tìm các số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Bài 5( 4đ) . Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt đường chéo AC tại M (M ở trong đoạn AC). Chứng minh rằng BD là tiếp tuyến của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AMB và AMD. Bài 6 (4đ) Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M trên cạnh AB vẽ hai đường thẳng song song với AC và BC, lần lượt cắt BC , AC tại D và E. Tìm vị trí M trên cạnh AB để chiều dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ nhất. Đề số 2 Bài 1: Thu gọn các biểu thức: 2 3 3 13 48 6 2 A − + + = − 1 2 a b a b b b B a ab ab a ab a ab   + − − = + +  ÷  ÷ + − +   với a>0,b>0,a khác b. Bài 2: Cho phương trình (m+3)x 2 +3(m-1)x + (m-1)(m+4) =0 a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Bài 3: Giải các phương trình: a) 2(8x+7) 2 (4x +3)(x+1) =7 b)x + 17 x− 2 + 17x x− 2 =9 Bài 4: a)Với n là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số : 21n +4 và 14n +3 b)Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh : ab bc ca a b c c a b + + ≥ + + Bài 5: Cho 2 đường tròn O và O’ cắt nhau tại 2 điểm A và B. Qua A kẻ đường thẳng d cắt O tại M và cắt O’ tại N. Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d thay đổi. Bài 6: Cho đường tròn O đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn O, C là tiếp điểm.Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N. a)Có nhận xét gì về tứ giác OMNB? b)Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax? ============================================== . lần lượt cắt BC , AC tại D và E. Tìm vị trí M trên cạnh AB để chiều dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ nhất. Đề số 2 Bài 1: Thu gọn các biểu thức: 2 3 3 13 48