ĐỀ CƯƠNG HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2009- 2010 LÝ THUYẾT : A. Một số câu hỏi lý thuyết và áp dụng lý thuyết I/ Đại số Câu 1: Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ. Câu 2 Nêu 2 quy tắc biến đổi tương đương để giải một phương trình ? Áp dụng giải phương trình 4 - 3x = x - 6 ? Câu 3 Định nghĩa hai phương trình tương đương ? Hai phương trình cho dưới đây có tương đương hay không ? Vì sao ? 3x - 6 = 0 và x 2 - 4 = 0 Câu 4 Điều kiện xác định của một phương trình là gì ? Áp dụng tìm ĐKXĐ của phương trình 1 21 + − = x x x ? Câu 5 : Nêu các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ? Áp dụng giải phương trình )3)(1( 2 2262 −+ = + + − xx x x x x x ? Câu 6 Nêu các bước để giải một bài toán bằng cách lập phương trình ? Câu 7: Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng như thế nào? Cho ví dụ. Câu 8 Định nghĩa hai bất phương trình tương đương ? Áp dụng hãy chứng tỏ hai bất phương trình cho dưới đây là 2 bất phương trình tương đương : - 3x + 2 > 5 và 2x + 2 < 0 Câu 9 Phát biểu hai quy tắc biến đổi để giải bất phương trình ? Áp dụng giải bất phương trình ax + b ≥ 0 ( với a ≠ 0 và ẩn là x ) ? Câu 10: Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số a? Áp dụng: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức: A = -2x + 5 + 4x trong hai trường hợp 0, 0x x≥ < II. Hình học: Câu 1 Phát biểu định lý Ta-lét thuận ? Áp dụng cho tam giác ABC có M∈ AB và N∈ AC. Biết MN // BC và AM = 4cm, AN = 5cm, NC = 3cm. Tính độ dài AB ? Câu 2 Phát biểu định lý Ta-lét đảo ? Áp dụng cho tam giác ABC có M∈ AB và N∈ BC sao cho AM = 2, BM = 4, BN = 6 và CN = 3. Chứng tỏ MN // AC ? Câu 3 Phát biểu tính chất đường phân giác trong tam giác ? Áp dụng cho tam giác ABC, đường phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở I. Biết DI = 9cm, BC = 15cm. Tính độ dài AB ? Câu 4 Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng ? Áp dụng cho ∆ABC có AB : AC : BC = 4 : 5 : 6, ∆MNK đồng dạng với ∆ABC và có chu vi bằng 90cm. Tính độ dài mỗi cạnh của ∆MNK ? Câu 5 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-c -c ) của hai tam giác ? Áp dụng cho ∆ABC và ∆MNK có độ dài các cạnh lần lượt là : AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 6cm và MN = 10cm, NK = 6cm, MK = 12cm. Hỏi tam giác ABC đồng dạng với tam giác nào ? Câu 6 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( g-g) của hai tam giác ? Áp dụng cho hai tam giác cân ABC và DEF có góc A bằng góc E. Hỏi ∆ABC đồng dạng với tam giác nào ? Câu 7 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-g-c ) của hai tam giác ? Câu 8 Phát biểu các trường hơp đồng dạng của hai tam giác vuông ? Câu 9 Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó có quan hệ như thế nào ? Áp dụng cho ∆ABC đồng dạng với ∆RPQ với tỉ số đồng dạng bằng 2,5. Biết diện tích của ∆RPQ bằng 50cm 2 . Hãy tính diện tích của ∆ABC ? Câu 10: Các vị trí của hai đường thẳng trong không gian? Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng song song? Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc? Câu 11 Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ. Hãy viết : a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng ⊥ BC ? c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng ⊥ mp(ADQM) Câu 12 - Hình lập phương có mấy mặt, mấy cạnh, mấy đỉnh? Các mặt là những hình gì ? - Hình hộp chữ nhật có mấy mặt, mấy cạnh , mấy đỉnh ? - Hình lăng trụ đứng tam giác có mấy cạnh, mấy đỉnh, mấy mặt ? B/ Một số bài tập luyện tập I/ Đại số Bài 1 Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích a) ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) = 0 b) ( x - 1 ) 2 - 16 = 0 c) ( 2x -1 ) 2 - ( x + 3 ) 2 = 0 Bài 2 Giải các phương trình sau a) 2( x - 3 )( x + 1 ) = ( 2x + 1 )( x - 3 ) - 12 b) 12 - 3( x - 2 ) 2 = ( x + 2 )( 1 - 3x ) + 2x c) 9 815 12 310 xx − = + d) 3 1 10 23 5 4 − = + + + xxx e) 12 12 8 16 3 32 4 5 − + − = − − + xxxx f) 2 2 3 3 5 5 4 − − + =−− + xx x x g) 6 2 3 12 4 5 xx x x − −=+− − Bài 3 Giải các phương trình có chứa ẩn ở mẫu sau đây a) x x x − = − − 2 3 4 1 2 b) )2)(1( 1 2 7 1 1 xxxx −− = − − − c) 5 2 64 3 32 32 = − − − + xx x c) 2 2 1 3 1 4 1 1 x x xx x − − = + − − + d) 2 9 37 33 1 x x x x x x − − = − − + − e) 223 1 3 1 2 1 1 xxxx x − = +−− + + 306 7 250 15 204 3 2 + + − + − x x x i) 45 15 43 17 33 27 31 29 + − + = + − + xxxx Bài 4 Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình a) Hiệu của hai số bằng 12. Nếu chia số bé cho 7 và số lớn cho 5 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai là 4 đơn vị . Tìm hai số lúc đầu ? ĐS : 28 & 40 b) Một người đi xe đạp từ A đến B vời vận tốc trung bình 12km/h . Lúc đi từ B về A người đó đi với vận tốc trung bình 10 km/h vì thế, thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi là 30 phút. Tính độ dài quãng đường AB ? ĐS : 30 km c) Một ôtô xuất phát ở A lúc 5h và dự định đi đến B lúc 12h cùng ngày. Ôtô đi 2/3 đoạn đường đầu với vận tốc trung bình 40 km/h. Để đến B đúng dự định ôtô phải tăng vận tốc thêm 10 km/h trên đoạn đường còn lại. Tính độ dài quãng đường AB ? ĐS : 300 km d) Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ là 10 km. Canô đi từ A đến B hết 3h20’ còn ôtô đi hết 2h. Vận tốc của canô nhỏ hơn vận tốc của ôtô là 17 km/h. a/ Tính vận tốc của canô ? b/ Tính độ dài đoạn đường bộ từ A đến B ? ĐS : a) 18 km/h b) 70 km e) Thương của hai số bằng 3. Nếu gấp 2 lần số chia và giảm số bị chia đi 26 đơn vị thì số thứ nhất thu được nhỏ hơn số thứ hai thu được là 16 đơn vị. Tìm hai số lúc đầu ? f) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó ? ĐS : 60m 2 Bài 5 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Lúc 6 giờ, một ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40 km/h. Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận tốc trung bình 30 km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng ôtô về đến A lúc 10 giờ cùng ngày . Hai người đi bộ khởi hành ở hai địa điểm cách nhau 4,18 km, đi ngược chiều để gặp nhau. Người thứ nhất mỗi giờ đi được 5,7 km, còn người thứ hai mỗi giờ đi được 6,3 km, nhưng xuất phát sau người thứ nhất 4 phút. Hỏi người thứ hai đi trong bao lâu thì gặp người thứ nhất ? Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Một giờ sau, một người đi xe máy từ A và đến B trước người đi xe đạp 20 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp. Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Tổ đã may mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn may thêm được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch. Hai công nhân nếu làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành song một công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc trong 10 giờ. Hỏi người thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành song công việc. Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi tổ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng, tổ I hoàn thành sớm hơn tổ II là 3 giờ. Bài 5 Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất pt đó trên một trục số a) 2( 4 - 2x ) + 5 ≤ 15 - 5x b) 9 815 12 310 xx − < + c) 30 1 15 8 6 32 10 15 − − − > + + − xxxx Bài 6 Cho các bất phương trình 2( 4 - 2x ) + 5 ≤ 15 - 5x và 3 - 2x < 8 Giải các bất phương trình đã cho ? Tìm tất cả các giá trị nguyên của x thoả mãn đồng thời cả hai bất phương trình trên ? Bài 7 Giải và biểu diễn tập nghiệm chung của cả hai bất phương trình sau trên một trục số : 3 2 2 1 − > − + xx x và 32 5 43 3 −≥ − + x xx Bài 8 : Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số : a) 3 2 5 6 − − + xx < 2 b) 12 12 1 6 3 4 5 22 − −≥ − − + xxx c) x 2 – 4x + 3 > 0 d) x 3 – 2x 2 + 3x – 2 ≥ 0 Bài 9: Giải các phương trình sau: a) 2 1 3x x− = + b) 2 3 1x x+ = − c) 1 2 4x x+ + − = II/ Một số bài tập hình học Bài 1 : Cho ∆ABC cân tại A có AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Phân giác góc B cắt AC tại M, phân giác góc C cắt AB tại N : a) Chứng minh MN // BC b) Tính độ dài AM ? MC ? MN ? c) Tính S AMN ? Bài 2 Cho ∆ABC vuông ở A ( AB < AC ), đường cao AH, biết AB = 6cm. Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng AB , AC , BC theo thứ tự ở D , E và F biết DE = 5cm, EF = 4cm. chứng minh : a) ∆FEC ∞ ∆FBD b) ∆AED ∞ ∆HAC c) Tính BC ? AH ? AC ? Bài 3 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC > DB. Vẽ CE ⊥ đường thẳng AB tại E, vẽ CF ⊥ đường thẳng AD tại F. Chứng minh : a) ∆ABH ∞ ∆ACE b) ∆BHC ∞ ∆CFA c) Tổng AB . AE + AD . AF không đổi Bài 4 Cho ∆ABC vuông góc tại A, đường cao AH ( H ∈ BC ) và phân giác BE của ABC ( E ∈ AC ) cắt nhau tại I . Chứng minh : a) IH . AB = IA . BH b) ∆BHA ∞ ∆BAC ⇒ AB 2 = BH . BC c) EC AE IA IH = d) ∆AIE cân Bài 5 Cho góc nhọn xOy, lần lượt lấy trên Ox các điểm A , B sao cho OA = 3cm, OB = 10cm. Trên Oy lấy lần lượt các điểm C, D sao cho OC = 5cm, OD = 6cm. Hai đoạn thẳng AD và BC cắt nhau tại I : a) ∆AOD ∞ ∆COB b) ∆AIB ∞ ∆CID c) IA .ID = IC . IB d) Cho S ICD = 3cm 2 . Hãy tính diện tích của ∆IAB ? Bài 6 Cho ∆ABC có AB = 4,8cm ; AC = 6,4cm ; BC = 3,6cm. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2cm và trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm. Kéo dài ED cắt tia CB ở F. Chứng minh : a) ∆ABC ∞ ∆AED b) ∆FDB ∞ ∆FCE c) Tính độ dài các đoạn thẳng DB ? CE ? FD ? FB ? Bài 7 Cho Hvuông ABCD, lấy M ∈ AB và N ∈ BC sao cho BM = BN. Vẽ BH ⊥ MC tại H. Chứng minh : a) ∆BHM ∞ ∆CHB. b) ∆HBN ∞ ∆HCD. c) Chứng minh HD ⊥ HN. Bài 8 Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có AB = 2,5cm, AD = 3,5cm, BD = 5 cm và · · DAB = DBC . Chúng minh : a) ∆ADB ∞ ∆BCD b) Tính độ dài BC ? CD ? c) Tính DBA BCD S S ? Bài 9 Cho ∆ABC cân tại A có hai đường cao AH và BI cắt nhau tại O và AB = 5cm, BC = 6cm. Tia BI cắt đường phân giác ngoài của góc A tại M : a) Tính AH ? b) Chứng tỏ AM 2 = OM . IM c) ∆MAB ∞ ∆AOB d) IA . MB = 5 . IM Bài 10 Cho ∆ABC đều, đường trung tuyến AM và H là trực tâm của tam giác ( H là giao điểm của 3 đường cao ). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E và trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE = CF, gọi N là trung điểm của EC. Chứng minh : a) ∆HMN ∞ ∆HCF b) HN ⊥ NF Bài 11 : Cho tam giác ABC vuông ở A ; AB = 15 cm ; CA = 20 cm , đường cao AH. Tính độ dài BC, AH, Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE . Tứ giác ABCE là hình gì ? Chứng minh Tính độ dài AE Tính diện tích tứ giác ABCE Bài 12 : Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ, MN < PQ), NP = 15 cm, đường cao NI = 12 cm, QI = 16 cm Tính độ dài IP, MN Chứng minh rằng : QN ⊥ NP Tính diện tích hình thang MNPQ Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng : KN 2 = KP. KQ Bài 13 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Gọi E là trung điểm của AH, D là trung điểm của HC. Dựng hình bình hành BEDK. Tứ giác ABKC là hình gì ? Tính độ dài của các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH, AD Tìm số đo góc ADK. Bài 14 : Cho tam giác ABC một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E thoả mãn điều kiện DC 2 = BC . DE Chứng minh ∆ DEC ∾ ∆ CDB Suy ra cách dựng DE Chứng minh AD 2 = AC . AE ; AC 2 = AB . AD Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD , trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh : ∆ CBN và ∆ CDM cân. ∆ CBN và ∆ MDC đồng dạng. Chứng minh M, C, N thẳng hàng. Bài 16 : Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh a) ∆ ABE ∾ ∆ ACF b) AE . CB = AC . EF c) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh H, I, D thẳng hàng. Bài 17 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm; BC = 6 cm . Vẽ đường cao AH của tam giác ADB. Chứng minh ∆ AHB ∾ ∆ BCD Chứng minh AD 2 = DH . DB Tính độ dài đoạn thẳng DH và AH Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 10 cm, trung đoạn bằng 13 cm. a) Tính độ dài cạnh bên b) Tính diện tích xung quanh hình chóp c) Tính thể tích hình chóp. Bài 19 : Cho hình hộp chữ nhật ABCDEFGH với các kích thước AB = 12 cm, BC = 9 cm và AE = 10 cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp Gọi I là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH, O là tâm đối xứng của hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng IO song song với những mặt phẳng nào ? Chứng tỏ rằng hình chóp IABCD có các cạnh bên bằng nhau. Hình chóp IABCD có phải là hình chóp đều không ? Tính diện tích xung quanh của hình chóp IABCD Câu 20 Một hình hộp chữ nhật có thể tích 160cm 3 và có chiều cao 4cm. Chiều dài hơn chiều rộng 3cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình hộp ? III/CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP Bài 1 : Cho biểu thức : P =         − − + − − − + − + 9 12 3 3 3 3 : 3 1 2 2 2 x x x x x x xx x Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi |2x - 1| =5 c) Tìm giá trị của x để P < 0 Bài 2 : Cho biểu thức : M =       −       − + − − + x x x xx x 5 1. 25 10 5 5 5 2 Rút gọn M b) Tính giá trị của x để M = 20 1 x + 1 c) Tìm số nguyên x để giá trị tương ứng của M là số nguyên. Bài 3 : Cho biểu thức : A = x xx x x − + −+ − + + 2 1 6 5 3 2 2 Rút gọn A b) Tìm x để A > 0 c)Tìm x ∈ Z để A nguyên dương. Bài 4 : Cho biểu thức : B =       − +       − − +− xx xx x 1 2 3: 32 5 352 2 2 Rút gọn B b) Tìm x để B = 2 1 x c) Tìm x để B > 0 Bài 5 : Cho biểu thức C = 1 1 : 1 1 1 1 4542 −−+ +       − + − + xxx x x x x Rút gọn C b)Tìm x để C = 0 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C. IV.ĐỀ THAM KHẢO Bài 1 : ( 1 điểm ) a) Phát biểu vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Ta-let đảo ? Nêu qui tắc nhân với một số để biến đổi tương đương bất phương trình ? Bài 2 : ( 2 điểm ) Giải phương trình và bất phương trình sau : a) 1 5 2 3 1 =− + + − x xx b) 1 2 16 68 14 2 41 3 − + − + = − x x xx c) 1 2 31 + − − x ≥ 2 1 Bài 3 : ( 1,5 điểm ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Lúc 5 giờ 45 phút một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc trung bình 45 km/h. Đến B ôtô nghỉ lại 1 giờ sau đó quay về A với vận tốc trung bình 40 km/h. Ôtô về tới A lúc 11 giờ. Tính quãng đường AB. Bài 4 : ( 3 điểm ) Cho ∆ ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ Ax vuông góc với cạnh AC, từ B kẻ By vuông góc với cạnh BC, Ax cắt By tại K. Tứ giác AHBK là hình gì ? Vì sao ? Chứng minh ∆ BEC đồng dạng với ∆ ADC, từ đó suy ra : CD. CB = CE. CA Với điều kiện nào của tam giác ABC thì C, H, K thẳng hàng. Bài 5 : ( 1 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. V. CÁC BÀI THI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ Bài 1 : Cho tam giác vuông ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H. a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng. b) Chứng minh BEFC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không ? c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất. Bài 2: Cho tam giác ABC có µ µ 0 B = C = 70 ; đường cao AH. Các điểm E và F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho · · 0 ABE = CBE = 30 . Gọi M là trung điểm AB. a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giácBHE. b) Chứng minh AB . BE = BC . AE. Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Lần lượt dựng trên AB, AC, bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E. a) Chứng minh các điểm E, A, D thẳng hàng. b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông. c) Tính diện tích tứ giác BDEC. d) Đường thẳng ED cắt đường thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b và c . Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trên CD (khác C, D). Chứng minh rằng MA + MB < max {CA + CB ; DA + DB} (kí hiệu max {CA + CB ; DA + DB} là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị CA + CB ; DA + DB). Bài 5 : Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD (AB = CD) nối với các đỉnh của hình thang được 4 đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận được, có thể dựng được một tứ giác nội tiếp hình thang này (mỗi đỉnh của tứ giác nằm trên một cạnh của hình thang cân). Bài 6 : Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I b , I c theo thứ tự là độ dài của các đường phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rằng nếu b > c thì I b < I c. . riêng một mình thì m i tổ ph i hết bao nhiêu th i gian m i hoàn thành công việc, biết khi làm riêng, tổ I hoàn thành sớm hơn tổ II là 3 giờ. B i 5 Gi i. nhau 4, 18 km, i ngược chiều để gặp nhau. Ngư i thứ nhất m i giờ i được 5,7 km, còn ngư i thứ hai m i giờ i được 6,3 km, nhưng xuất phát sau ngư i thứ