Ngày giảng:…………………………. Buổi 3 + 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. Tổ chức: Sĩ số……… II. Kiểm tra bài cũ: Nhắc lại một số tính chất quan trọng của bất đẳng thức đã học ở lớp 8 III. Nội dung bài mới 1. Kiến thức cơ bản: 1.1. Bất đẳng thức: a>b hoặc a-b>0 1.2. Tính chất: a, b thuộc R thì ta có: Nếu a > b thì b < a Nếu a > b và b > c thì a > c 1.3. Các phép toán: a) Qui tắc 1: a > b  a+c > b+c a > b  a-c > b-c Hệ quả: a+c > b  a > b-c b) Qui tắc 2: a > b c > d c) Qui tắc 3: + a > b  a.c > b.c (nếu c>0) + a > b  a.c < b.c (nếu c<0) d) Qui tắc 4: Nếu a>b>0 và c>d>0 thì a.c>b.d 1.4. Một vài bất đẳng thức quen thuộc a) Bình phương của một số là một số không âm Với mọi A => A 2 ≥ 0 Đặc biệt (a + b) 2 ≥ 0 (a - b) 2 ≥ 0 b) Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Cho hai số a ≥ 0, b ≥ 0. Bất đẳng thức Cô-si được viết dưới các dạng a + b ≥ 2 ab (1) a 2 + b 2 ≥ 2ab (2) (a + b) 2 ≥ 4ab (3) Dấu “=” xảy ra khi a = b 2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình mà sau khi đã thực hiện các phép biến đổi và rút gọn cuối cùng ta đưa về dạng: ax +b > 0 (a ≠ 0) hoặc ax + b < 0 (a ≠ 0) 3. Định lí về dấu nhị thức bậc nhất - Ứng dụng a) Nhị thức bậc nhất - Nhị thức bậc nhất đối với biến x là biểu thức đại số có dạng f(x)= ax + b ( a ≠ 0) - Ứng với mỗi giá trị của biến x, nhị thức nhận một giá trị xác định. - Ứng với giá trị x=-b/a thì f(x)= ax + b = 0. Giá trị x=-b/a là nghiệm của nhị thức.  a+c > b+d b) Định lí về dấu nhị thức bậc nhất: Ta viết nhị thức bậc nhất dưới dạng: f(x) = ax + b =a(x + b/a) - Với những giá trị của biến x mà lớn hơn –b/a thì x + b/a >0, do vậy giá trị tương ứng của nhị thức có dấu phụ thuộc vào dấu của hệ số a. + Nếu a > 0 thì f(x) > 0 + Nếu a < 0 thì f(x) < 0 - Với những giá trị của nhị thức có dấu ngược với dấu của hệ số a. + Nếu a > 0 thì f(x) < 0 + Nếu a < 0 thì f(x) > 0 * Định lí: Nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b có cùng dấu với hệ số a, với những giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức và trái dấu với hệ số a, với những giá trị của biến x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. x b a − f(x) = ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a 3. Bài tập vận dụng. * Dạng 1: Giải bất phương trình thu gọn đưa về dạng ax +b > 0, ax +b < 0 …. a) Phương pháp giải: - Áp dụng các qui tắc chuyển vế, cộng trừ, nhân chia với một số (t/c bất đẳng thức) - Nghiệm của bất phương trình: ax+b > 0 => ax > -b (a≠0) a>0 => b x a >− a<0 => b x a <− - Biểu diễn nghiệm của bất phương trình: Người ta thường biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số. b) Ví dụ áp dụng Giải và biểu diễn nghiệm trên trục số của bất phương trình sau: a) 3(1-x) > 1+ 2x b) (x + 1)( x + 3) <1 + 4x c) 1 2 1 10 5 6 x x− − − 〉 Giải: a) Ta có 3(1-x) > 1+ 2x  3-3x > 1+2x  -3x -2x >1-3  -5x >-2  x<2/5 S={x/x∈R, x<2/5} b) (x + 1)( x + 3) <1 + 4x  x 2 +4x-4x <1-3  x 2 <-3 | )//////////////////////////////////////////// 0 2/5 Nhận thấy với mọi x, x ∈R => x 2 ≥0. Vế phải là một số âm. Vậy không có giá trị của x nào thoả mãn hay bất phương trình vô nghiệm. S=∅ c) 1 2 1 10 5 6 x x− − − 〉 Có mẫu chung: 30  3(x-1)-6(2-x)>5  3x-3-12+6x>5  9x >5+3+12  9x>20  x>20/9 S={x/x∈R, x>20/9} * Dạng 2: Giải các bất phương trình tích a) Phương pháp giải: Các bpt tích thường có dạng: f(x).g(x)… h(x) > 0 hoặc f(x).g(x)… h(x) < 0 trong đó, ta quan tâm đến trường hợp các nhân tử f(x), g(x),….h(x) là các nhị thức bậc nhất. Để giải các bất phương trình tích, ta xét dấu của vế trái và sau đó chọn các khoảng nghiệm thích hợp b) Ví dụ áp dụng: Giải các bất phương trình sau 1. (4x -1)(3-3x)(5x+3) < 0 2. x 2 – 20 x +51 > 0 3. x 3 - 6x 2 + 5x +12 < 0 Hướng dẫn giải: 1. Ta có 4x – 1 có nghiệm x = ¼ và hệ số a = 4 3-3x có nghiệm x =1 và hệ số a = -3 5x +3 có nghiệm x = -3/5 và hệ số a=5 ta có bảng xét dấu: 3 5 − 1 4 1 4x – 1 - - 0 + + 3 – 3x + + + 0 - 5x + 3 - 0 + + + f(x) + 0 - 0 + 0 - ta sẽ chọn các giá trị x thuộc khoảng có dấu “–“ và được nghiệm của bất phương trình đã cho 3 1 5 4 x− < < hoặc x > 1 Biểu diễn nghiệm trên trục số. x /////////////////////////////////////////////|/////////////////////////////////////////// 0 //////////////////////////////////( 20 9 ///////////////////////////////( )/////////////////////( 3 5 − 1 4 1 2. Ta có x 2 – 20 x +51 > 0  x 2 – 3x -17x+51 > 0  x(x-3) - 17(x-3) > 0  (x-3)(x-17) > 0 Giải tương tự như vi dụ trên được nghiệm x <3 hoặc x > 17 3. x 3 - 6x 2 + 5x +12 < 0 xét thấy x = -1 là một nghiệm của vế trái nên ta có (x-1)(x 2 -7x +12)=(x-1)(x-4)(x-3) Bất phương trình trở thành (x-1)(x-4)(x-3) <0 làm tương tự như trên được nghiệm x <-1 hoặc 3<x<4 ( HS tự giải và biểu diễn tập nghiệm trên trục số ) * Dạng 3: Giải các bất phương trình thương BPT thương có dạng ( ) ( ) ( ) f x G x g x = a) Phương pháp giải: Việc giải bpt thương cũng tương tự như giải bpt tích đó là lập bảng xét dấu Chú ý: - Phải chú ý đến các giá trị của ẩn làm cho mẫu bằng 0, tức là các giá trị của ẩn mà tại đó bpt không xác định. Cần phải loại bỏ các giá trị này trong tập hợp nghiệm của bpt. - Không được bỏ mẫu mà phải giữ nguyên các mẫu để tiến hành việc xét dấu, ngay cả khi phải thực hiện việc qui đồng mẫu. - Trong các bpt mà chưa được viết dưới dạng đã rút gọn thì ta cần chuyển tất cả về vế trái, để vế phải bằng 0 rồi mới thực hiện các phép biến đổi vế trái. b) Ví dụ áp dụng: Giải các bất phương trình sau: 1. 5 (2 1)(5 ) 0 ( 3)(3 4) x x x x x + − > + − 2. 1 2 2 3 1 4x x > − + 3. 1 2 3 2 1x x x + < + + Hướng dẫn giải: 1. 5x có nghiệm là 0 và a = 5 2x + 1 có nghiệm -1/2 và a=2 5-x chó nghiệm 5 và a = -1 x +3 chó nghiệm -3 và a = 1 3x-4 chó nghiệm 4/3 và a = 3 ta lập bảng xét dấu: x -3 -1/2 0 4/3 5 5x - - - 0 + + + 2x + 1 - - 0 + + + + 5-x + + + + + 0 - x +3 - 0 + + + + + 3x-4 - - - - 0 + + Vế trái + - 0 + 0 - + 0 - Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x < 3; -1/2 < x < 0 ; 4/3 < x< 5 câu 2; 3 tiến hành qui đồng rồi rút gọn và làm tương tự câu 1 3. Luyện tập: * Dạng 1: Bài 1: Giải các bất phương trình sau, biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số: ) 7 4 2 3 x x a − < − 1 2 3 1 ) 3 4 6 x x b − + − > 1 3 1 ) 10 5 2 x x c − − − < 2 2 (4 1) (6 2) 8 1 ) 1 4 9 12 x x x d + − − − < − )2 1 2( 1)e x x− < − 1 2 )8( ) 2(4 ) 0 3 3 f x x− − − < Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên là nghiệm chung của cặp bất phương trình sau: 5 6 4 7 7 x x+ > + và 8 3 2 25 2 x x + < + *Dạng 2: Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) (2x + 1)(x – 3)(1 – 5x) < 0 b) 2x 2 < 16 c) x 4 > 8x Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của các bất phương trình a) (x – 2)( x + 3) ≤ 0 b) (4x + 3)(x -1) <(x-1) 2 c) 3 3 0 2 2 x x−    − + >  ÷ ÷    Bài 3: Giải các bất phương trình sau: a) -5x 2 – 2x +3 > 0 b) 2x 2 + x + 1 < 0 c) x 4 – x 3 +x -1 > 0 * Dạng 3: Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) 3 (5 3) 0 1 3 x x x − + ≥ + b) 2 2 5 3 0 (3 7) x x x x − + − > − + c) 2 1 4 1 2 4 3x x − < − − Bài 2: Giải các bất phương trình sau: a) x 3 – 5x + 7x -12 >0 b) 6x 3 -x 2 -13x -10 < 0 c) x 4 -5x 2 < 0 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của các bất phương trình sau: a) x + 4 0 x > b) 2 3 ( 2) ( 3) ( 1) 0 ( 5)(7 ) x x x x x − − + > + − c) 2 2 2 0 5 6 x x x x + − < + + 4. Bài tập nâng cao: Dạng 1: Bài 1: Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm a) 2x 2 -3x + 10 <0 b) -5x 2 +x -1 > 0 Bài 2: Chứng minh các bất phương trình sau vô số nghiệm a) (2x 2 +1) +4x > 2x(x-2) b) (4x +3)(x -1) < 6x 2 –x +1 Bài 3: Giải bất phương trình sau 2 3 5 1 2 0 2 2 2 x x x     − − − ≤  ÷  ÷     |//////////////| |/////////////| |////////////////// -3 -1/2 0 4/3 5 x Dạng 2: Giải các bất phương trình sau: a) (x-1)(x-3)(x+5)(x+7) < 297 b) x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x – 1 <0 c) x 4 – 2x 3 +x > 132 Dạng 3: Cho phương trình Giải và biện luận bất phương trình sau 1 3 1 2 3x a x a + < + a là tham số và a ≠ 0 IV. Củng cố: Yêu cầu học sinh nhắc lại nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bất phương trình đã học Củng cố từng phần theo nội dung bài học V. Hướng dẫn học sinh học tập ở nhà Xem lại các dạng bài tập đã chữa Bài tập về nhà: Dạng 1: Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) 2x -5(x+1) < x-8 b) 2 5 1 1 9 5 3 x x x+ + − > + c) 3 4 1 1 5 5 3 2 4 x x x− + + − ≤ − Bài 2: Tìm các số nguyên x nghiệm đúng cả hai bất phương trình 3 2 4 5 2 5 x x− > + và 2 5 3 1 6 4 x x− − − > Dạng 2: Giải các bất phương trình sau: a) (x-1)(x+5)3x-2) < 0 b) x 2 +3x-4 > 0 c) (x-2)(x+3)(2x-5)(3x+3) <0 Dạng 3: Giải các bất phương trình sau: 2 ) 0 3 x a x − > − 2 ) 0 5 x b x + < − c) ( 1)( 5)(2 ) 0 ( 1)( 7) x x x x x − + − < + − . phương trình sau: a) 3(1-x) > 1+ 2x b) (x + 1)( x + 3) <1 + 4x c) 1 2 1 10 5 6 x x− − − 〉 Giải: a) Ta có 3(1-x) > 1+ 2x  3-3x > 1+2x  -3x -2x. có giá trị của x nào thoả mãn hay bất phương trình vô nghiệm. S=∅ c) 1 2 1 10 5 6 x x− − − 〉 Có mẫu chung: 30  3(x-1)-6(2-x)>5  3x-3-12+6x>5 