A: lý do chọn đề tài I Cơ sở lý luận: Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác , môn toán là công cụ của nhiều ngành khoa học . Môn toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phơng pháp, phơng thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật toán ,phát hiện và giải quyết vấn đề . Những kỹ năng này rất cần cho ngời lao động trong thời đại mới . Môn toán góp phần phát triển nhân cách con ngời , ngoài việc cung cấp những kiến thức , kỹ năng toán học, môn toán góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá. Ta thấy đợc môn toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong kỹ thuật . Vì vậy ngời thầy phải có phơng pháp dạy học để phát huy đợc tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học sinh giỏi . Theo nh yêu cầu của bộ môn toán nói chung , môn toán 6 nói riêng ,mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài tập và thực hành . Trong mỗi bài tập , ngời thầy phải giúp hoc sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển bài toán đó , thậm trí phải lật ngợc lại vấn đề . Nếu làm đợc việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán , dạng toán. Từ đó sẽ kích thích đợc tính tò mò , khơi dậy cho học sinh tính sáng tạo, khai thác đợc tiềm năng về môn toán của học sinh . Trong kho tàng toán học có vô vàn những bài toán hay trong đó có hai bài toán tính tổng : A= 100.99 1 3.2 1 2.1 1 +++ A=1.2+2.3+ .+99.100. Đợc áp dụng rộng rãi , nếu khai thác đợc bài toán này ta thấy đợc nhiều điều thú vị . 1 Với lý do đó tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và phát triển các bài toán từ một bài toán đơn giản . II Cơ sở thực tiễn : a Đối với học sinh : Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài toán là đã bằng lòng với kết quả đó .Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng. Cụ thể bài toán tính tổng : A= . 100.99 1 . 3.2 1 2.1 1 +++ Nếu ta thay đổi 1.2=2;2.3=6; .;99.100=9900 Bài toán trở thành tính tổng A= . 9900 1 . 6 1 2 1 +++ Thì học sinh lúng túng mặc dù đã biết cách giải bài toán trớc đó . Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy bái toán rất hay . b Đối với bản thân : Khi giảng dạy tại trờng T.H.C.S.Hng Đạo,một trờng có bề dầy thành tích dạy tốt , học tốt .Thể hiện tại các đợt hội giảng ,đợt thi học sinh giỏi các cấp. Để đạt đợc những thành tích đó ,bản thân tôi cũng nh các bạn đồng nghiệp phải thờng xuyên học hỏi lẫn nhau ,đồng thời đọc các tài liệu tham khảo . Từ đó tìm tòi hệ thống các phơng pháp giảng dạy cho phù hợp . Xuất phát từ việc giảng dạy hai bài toán tính tổng: A= . 100.99 1 . 3.2 1 2.1 1 +++ A=1.2+2.3+ .+99.100. Là những bài toán đợc áp dụng rộng rãi trong toàn cấp học . Mặt khác hai bài toán này còn có sự tơng đồng về cách khai thác và phát triển . Nếu càng khai thác ta càng thấy nhiều bài toán có nhiều cách giải độc đáo ,các cách giải này lại có mối quan hệ dàng buộc lẫn nhau . 2 b biện pháp thực hiện Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy và học cụ thể là đối với các bài toán này , một trong các biện pháp thực hiện tốt nhất là phải xây dựng hệ thống các bài tập hợp lô gíc . Ta phải khai thác bài toán theo từng mảng ,mỗi mảng ta lại chia thành từng phần ,sao cho mỗi phần có sự liên kết chặt chẽ với nhau về cấu trúc của bài toán cũng nh về phơng thức giải toán . Đối với mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể loại và hớng phát triển .Để thấy đợc sự tơng tự trong các bài toán hoặc thêm một vài dữ kiện , hoặc lật ngợc vấn đề để có đợc bài toán mới có nội dung phong phú và phù hợp hơn . Biện pháp cụ thể: a:bài toán I: Tính tổng : A= . 100.99 1 . 3.2 1 2.1 1 +++ Trong phần này có 9 bài toán đựơc khai thác từ bài toánI b:bài toán ii : Tính tổng : A=1.2+2.3+ .+99.100. Trong phần này cũng có 9bài toán đợc khai thác từ bài toánII. Hai bài toán IvàII đều thuộc dạng dẫy các phép toán viết theo quy luật . Ta cũng có thể coi bài toán II là bài toán khai thác từ 3 bài toán I vì ta chỉ cần nghịch đảo mỗi số hạng của tổng A trong bài toán I là ta đợc bài toán II. Hai bài toán này khi giải ta đều phải tách mỗi số hạng trong tổng thành hai số hạng có dấu khác nhau. Hai bài toán này ta thấy nhiều sự tơng đồng về cấu trúc ,cũng nh về cách khai thác. bài toán I Tính tổng A= 100.99 1 3 2 1 2.1 1 +++ 4 Hớng dẫn: Ta có: 2 1 1 1 2.1 1 = 3 1 2 1 3.2 1 = . 100 1 99 1 100.99 1 = Vậy A=1- 100 1 99 1 3 1 2 1 2 1 +++ A=1- 100 1 A= 100 99 Tổng quát : B= 1)1( 1 3.2 1 2.1 1 + = + +++ n n nn Nếu số hạng đẫu tiên của B không phải là 2.1 1 mà bắt đầu từ )1( 1 + kk . Thì C= )1( 1 )1( 1 + ++ + nnkk : C= )1( 1 + + nk kn với nk *Nhận xét : Ta thấy: 1.2=2 2.3=6 3.4=12 . . 99.100=9900 Vậy ta có bài toán : Bài toán 1: Hãy tính tổng : 5 D= 9900 1 12 1 6 1 2 1 ++++ Híng dÉn : D= +++ 4.3 1 3.2 1 2.1 1 + 100.99 1 D= 100 99 * NhËn xÐt : NÕu ta coi bµi to¸n I lµ bµi to¸n xu«i th× ta còng suy ra bµi to¸n ngäc Bµi to¸n :2 T×m sè tù nhiªn a biÕt 100 99 )1.( 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 = + ++++ aa Híng dÉn : ++ 3.2 1 2.1 1 .+ 1)1( 1 + = + a a aa Nªn 100 99 1 = + a a VËy a=99 *NhËn xÐt: Ta thÊy : 4950 2 100.99 . 6 2 4.3 3 2 3.2 1 22. 1 = = = = Vµ tÊt nhiªn cã bµi to¸n : Bµi to¸n 2: TÝnh tæng : 6 F= 4950 1 . 3 1 1 1 +++ Hớng dẫn F= 100.99 2 . 3.2 2 2.1 2 +++ 50 99 100 99 .2 ) 100.99 1 . 3.2 1 2.1 1 .(2 = = +++= F F F * Nhận xét : Ta thấy 100 99 không là số nguyên từ đó có đợc bài toán Bài toán 4 Chứng minh rằng : A= 100.99 1 . 3.2 1 2.1 1 +++ không là số nguyên . Hớng dẫn : Ta tính A= 100 99 Tổng quát : B= )1( 1 . 3.2 1 2.1 1 + + + + nn cũng không là số nguyên * Nhận xét : Ta thấy 1.2=2! 2.3=3! 3.4<4! 4.5<5! . 99.100<100! và đơng nhiên ta có bài toán Bài toán 5: 7 Chøng minh r»ng : G= 1 !100 1 . !4 1 !3 1 !2 1 <++++ Híng dÉn : Ta cã : G< 100.99 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ++++ VËy G<1 Tæng qu¸t : 1,, ! 1 . !3 1 !2 1 <+++ n Còng t¬ng tù ta cã bµi to¸n : Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng : 1 100 1 . 3 1 2 1 222 <+++= I Híng dÉn : I< ++ 3.2 1 2.1 1 .+ 100 99 100.99 1 = VËy I<1 Tæng qu¸t : 1 1 . 3 1 2 1 222 <+++ n * NhËn xÐt : Khai th¸c bµi to¸n nµy ta cã : 10000 9999 100 1 1 . 9 8 3 1 1 4 3 2 1 1 2 2 2 =− =− =− Mµ 1 100 1 . 3 1 2 1 222 <+++ nªn ta cã bµi to¸n : Bµi to¸n 7: Chøng minh r»ng : 98 10000 9999 . 9 8 4 3 >+++ 8 Hớng dẫn : Ta có : 98199) 100 1 . 3 1 2 1 (99 100 1 1 . 3 1 1 2 1 1 1000 9999 . 9 8 4 3 222 222 =>+++= +++=+++ * Nhận xét : Cũng từ việc 1 100 1 . 3 1 2 1 222 <+++= I ta đợc bài toán : Bài toán 8: Chứng minh rằng : 222 100 1 . 3 1 2 1 +++= I không phải là số nguyên . Tổng quát : 222 1 . 3 1 2 1 n +++ không phải là số nguyên . * Nhận xét : Ta thấy với 100 số tự nhiên lớn hơn 1 khác nhau 10021 , .,, aaa 2222 100 2 2 2 1 100 1 . 3 1 2 11 . 11 +++<+++ aaa giúp ta tìm ra bài toán . Bài toán 9: Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau 10021 , .,, aaa sao cho : 1 1 . 11 2 100 2 2 2 1 =+++ aaa Hớng dẫn : Ta có : 1 100 1 . 3 1 2 11 . 11 0 2222 100 2 2 2 1 <++++++< aaa vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện của đầu bài . *Nhận xét : 9 Nếu ta nghịch đảo mỗi số hạng của bài toán I tađợc bài toán mới. bài toán II Tính tổng : A=1.2+2.3+3.4+ .+99.100. Hớng dẫn : 3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+ .+99.100.3. 3A=1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ .+99.100(101-98). 3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ .+99.100.101- 98.99.100. 3A=99.100.101. A=99.100.101:3. A=333300. Tổng quát : 1.2+2.3+3.4+ .+n(n+1)=n(n+1)(n+2):3 Nếu tổng B có số hạng đầu tiên không phải là 1.2mà là k. (k+1) ta có : C=k(k+1)+(k+1)(k+2)+ .+n(n+1)(n+2) =[n(n+1)(n+2)- k(k+1)(k+2)]:3 với n k . *Nhận xét : Ta thấy : 1.2= 2 2.3=6 3.4=12 99.100=9900 10 [...]... 99.100 = 4950 2 Vậy ta đợc bài toán : Bài toán 3: Tính tổng : E=1+3+6+ +4950 Hớng dẫn : 11 1.2 2.3 3.4 99.100 + + + + 2 2 2 2 1 E = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) 2 1 E = ì 333300 2 E = 166650 E= *Nhận xét : Ta thấy : 1= 1.2 2 1+2 = 2.3 2 3.4 2 1+ 2 +3 = 1 + 2 + 3 + +100 = 99.100 2 Vậy ta phát triển từ bài toán trên thành bài toán Bài toán 4: Tính tổng : F= 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + + (1 + 2 +... toán 6: Tính tổng : I=1.100+2.99+3.98+ +100.1 Hớng dẫn: I=1.100+2.99+3.98+ +100.1 =1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+ +100.100-99.100 =100(1+2+3+ +100)-(1.2+2.3+3.4+ +99.100) 101.100 333300 2 = 505000 333300 = 100 = 171700 * Nhận xét : 12 = 1.1 = 1.( 2 1) = 1.2 1 2 2 = 2.2 = 2(3 1) = 1.2 2 99 2 = 99.99 = 99(100 1) = 99.100 99 Vâỵ ta lập đơc bài toán mới thông qua bài toán II Bài toán 7: Tính tổng: H... 99 2 = 328350 Vậy K = 22 + 42 + 62 + + 1982 bằng bao nhiêu ? Bài toán 8: Tính tổng : K = 22 + 4 2 + + 1892 Hớng dẫn : K = 22 (12 + 2 2 + + 99 2 ) K=4.328350 K=1313400 * Nhận xét : Ta chia H cho 4 đợc 12 2 2 99 2 + 2 + + 2 22 2 2 1 2 2 2 99 M = ( ) + ( ) + + ( ) 2 2 2 2 2 2 M = (0,5) + 1 + + (45,5) 2 M = Bài toán 9: Hãy tính : M = (0.5) 2 +12 + + ( 45,5) 2 Đáp số=328350:4=8285,5 c :kết quả Sau...Vậy ta có đợc bài toán khó hơn Bài toán 1: Tính tổng : D=2+6+12+ +9900 Hớng dẫn : D=1.2+2.3+3.4+ +99.100 D=333300 Nhận xét : Ta coi bài toán II là bài toán thuận thì ta cũng suy ra bài toán đảo Bài toán 2: Tìm số nguyên abiết : 1.2+2.3+ +a(a+1)=333300 . túng. Cụ thể bài toán tính tổng : A= . 100.99 1 . 3.2 1 2.1 1 +++ Nếu ta thay đổi 1.2=2;2.3=6; .;99.100=9900 Bài toán trở thành tính tổng A= . 9900 1 a:bài toán I: Tính tổng : A= . 100.99 1 . 3.2 1 2.1 1 +++ Trong phần này có 9 bài toán đựơc khai thác từ bài toánI b:bài toán ii : Tính tổng : A=1.2+2.3+ .+99.100.