Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC §1:BẤT ĐẲNG THỨC A. LÝ THUYẾT: I. ĐỊNH NGHĨA : a > b ⇔ a – b > 0 ⇔ b – a < 0 ⇔ b < a a ≥ b ⇔ a – b ≥ 0 ⇔ b – a ≤ 0 ⇔ b ≤ a II. CÁC TÍNH CHẤT: A. CÁC TÍNH CHẤT KHÔNG TƯƠNG ĐƯƠNG: 1. a b a c b c >  ⇒ >  >  2. a b a c b d c d >  ⇒ + > +  >  Chú ý: Không được trừ 2 bất đẳng thức cùng chiều. Vd: 4 3 4 10 3 1 10 1 >  ⇒ − > −  >  sai. 3. a b 0 ac bd c d 0 > >  ⇒ >  > >  Chú ý: * Không được chia 2 bất đẳng thức cùng chiều. Vd: 4 3 0 4 3 10 1 0 10 1 > >  ⇒ >  > >  sai. * Không được nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều khi có số âm Vd: 1 3 1.4 ( 3)( 2) 4 2 > −  ⇒ > − −  > −  sai. 4. n n n n a b 0 a b n 2, 3, 4 . a b 0 a b > > ⇒ > = > > ⇒ > B. CÁC TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG: 1. a > b a + c > b + c ⇔ cộng 2 vế cho c. Hệ quả: a > b ⇔ a – c > b – c a > b + c ⇔ a – c > b 2. a > b ⇔ ac > bc khi c > 0 nhân 2 vế cho c a > b ⇔ ac < bc khi c < 0 Hệ quả: a > b ⇔ a b khi c c > c > 0 nhân 2 vế cho 1 c a > b ⇔ a b khi c c < c < 0 a > b ⇔ 1 1 khi a b < ab > 0 Nhân 2 vế cho 1 ab a > b ⇔ 1 1 khi a b > ab < 0 III. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC: 1. DÙNG ĐỊNH NGHĨA:Để chứng minh : A ≥ B ta chứng minh A – B = (x + y) 2 + (x – b) 2 + c 2 . ≥ 0 2. DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: A ≥ B ⇔ A 1 ≥ B 1 ⇔ A 2 ≥ B 2 ⇔ A 3 ≥ B 3. nếu A 3 ≥ B 3 đúng thì A ≥ B đúng. B. BÀI TẬP:BT1Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. a 2 + b 2 ≥ 2ab 5. a + b ≤ 2 2 2(a b )+ GV:TRẦN KHÁNH LONG-violet.vn/curi307 1 Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC. 2. 2 2 1 2 a a ≥ − 6. a 2 ± ab + b 2 ≥ 0 3. 2 4 a 1 2 a 1 ≤ + 7. 2 2 1 1 4 sin x cos x + ≥ 4. 2 2 a 2 2 a 1 + ≥ + 8. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca BT2Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. (a + b + c) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 2. (ab + bc + ca) 2 ≥ 3abc(a + b + c) 3.a 4 + b 4 ≥ ab 3 + a 3 b 4. 3 3 3 a b a b 2 2   + + ≥  ÷   khi a + b ≥ 0 5. a 3 + b 3 ≥ a 2 b + ab 2 khi a ≥ 0, b ≥ 0 §2:BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI: 1. Bất đẳng thức côsi cho 2 số a ≥ 0, b ≥ 0 a b ab 2 + ≥ dấu “=” xảy ra khi a = b Các dạng tương đương: 2 ab a b≤ + hoặc ab ≤ 2 a b 2 +       2. Bất đẳng thức côsi cho 3 số a ≥ 0, b ≥ 0, c > 0 3 a b c abc 3 + + ≥ dấu “=” xảy ra khi a = b = c Các dạng tương đương: 3 3 abc a b c≤ + + hoặc abc ≤ 3 a b c 3 + +       3. Bất đẳng thức côsi cho n số a1, a2, ., an ≥ 0 * Với n số a 1 , a 2 , ., a n ≥ 0, ta có: 1 2 n n 1 2 n a a . a a .a .a n + + + ≥ n 1 1 n 1 2 n a a . a n. a .a . a⇔ + + + ≥ n 1 2 n 1 2 n a a . a a .a . a . n + +   ⇔ ≥     Dấu “=” xãy ra 1 2 n a a . a .⇔ = = = II. Áp dụng bất đẳng thức côsi để tìm GTLN – GTNN: 1. a + b = K const.Ta có: ab ≤ 2 2 a b K 2 2 +     =         Vậy Max ab = 2 K 2       khi a = b = K 2 2. a . b = M const Ta có: a + b ≤ 2 ab 2 M= Vậy Min (a + b) = 2 M khi a = b = M II/BÀI TẬP:BT1Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1. a b 2 b c + ≥ 2. 1 1 (a b) 4 a b   + + ≥     3.(a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 4. bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + 5. (a + b + c) 1 1 1 9 a b c   + + ≥     BT2Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1. ( 1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 với abc = 1. 2. 1 1 1 1 1 1 8 a b c     − − − ≥         với a + b + c = 1 3. 1 1 1 1 9 a b    + + ≥       với a + b = 1 4. 2 2 1 1 6 ab a b + ≥ + với a + b = 1 (đáp án và phần sau của chun đề cập nhật sau) GV:TRẦN KHÁNH LONG-violet.vn/curi307 2 . đúng. B. BÀI TẬP:BT1Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. a 2 + b 2 ≥ 2ab 5. a + b ≤ 2 2 2(a b )+ GV:TRẦN KHÁNH LONG-violet.vn/curi307 1 Đại số 10- BẤT ĐẲNG. cùng chiều. Vd: 4 3 0 4 3 10 1 0 10 1 > >  ⇒ >  > >  sai. * Không được nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều khi có số âm Vd: 1 3 1.4 ( 3)( 2)