trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Tốn khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thơng tin tổng hợp 14 Bài 17: Tính tổng: 0 2 4 2n 1 3 2n 1 3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n S C C C . C ; S C C . C           Bài 18: Tính tổng:   n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n T C 2C 2 C 2 C . 2 C       E. CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ : 1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Gọi d là công sai, theo đònh nghóa ta có: u n+1 = u n + d (n = 1, 2, .). Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. Để chỉ rằng dãy số (u n ) là một cấp số cộng,ta kí hiệu  u 1 , u 2 , ., u n , 2. Số hạng tổng quát Đònh lí: Số hạng tổng quát u n của một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d được cho bởi công thức: u n = u 1 + (n - 1)d 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là 2 11    kk k uu u (k  2). 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng Đònh lí: Để tính S n tacó hai công thức sau:  S n tính theo u 1 và d   dnu n S n )1(2 2 1   S n tính theo u 1 và u n )( 2 1 nn uu n S  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: , .8,5,2/a tìm u 15 . , .32,4,32/ b tìmu 20 . ĐS: 31840/ 44/ 20 15   ub ua Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Bài 3: Cho cấp số cộng:      26 10 64 352 uu uuu Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25. trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Tốn khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thơng tin tổng hợp 15 Bài 7: Cho cấp số cộng  u 1 , u 2 , u 3 , . Biết u 1 + u 4 + u 7 + u 10 + u 13 + u 16 = 147. Tính u 1 + u 6 + u 11 + u 16 . Bài 8: Một cấp số cộng (a n ) có a 3 + a 13 = 80. Tìm tổng S 15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. Bài 10: cho cấp số cộng (a n ) có a 1 = 4, d = -3. Tính a 10 . Bài 11: Tính u 1 , d trong các cấp số cộng sau đây:           35 19 /2 129 14 /1 9 5 13 53 u u S uu             72 31 /4 2 45 9 /3 94 103 6 4 uu uu S S ĐS: 1/ u 1 = 13 53 và d = 39 38 ; 2/ u 1 = 3 và d = 4. 3/ u 1 = 0 và d = 2 3 ; 4/ u 1 = và d = . Bài 12: Cho cấp số cộng (u n ) có u 3 = -15, u 14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. Bài 13: Cho cấp số cộng (u n ) có u 1 = 17, d = 3. Tính u 20 và S 20. ĐS : u 20 = 74, S 20 = 910 Bài 14: Cho cấp số cộng (u n ) có a 10 = 10, d = -4. Tính u 1 và S 10 . ĐS: u 1 = 46, S 10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (u n ) có u 6 = 17 và u 11 = -1. Tính d và S 11 . ĐS: d = 5 18  và S 11 = 187 Bài 16: Cho cấp số cộng (u n ) có u 3 = -15, u 4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. ĐS: S 20 = 1350 CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ: 1. Đònh nghóa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. Gọi q là công bội, theo đònh nghóa ta có u n+1 =u n .q (n = 1, 2, .). Đặc biệt: Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u 1 , 0, 0, ., 0, . Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u 1 , u 1 , ., u 1 , . Nếu u 1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ., . Để chỉ dãy số (u n ) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u 1 , u 2 , ., u n , 2. Số hạng tổng quát trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Tốn khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thơng tin tổng hợp 16 Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: u n = u 1 1n q (q 0 ) 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân Đònh lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trò tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: 11 .   kkk uuu )2( k 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Cho một cấp số nhân với công bội q  1 u 1 , u 2 , .,u n , . Đònh lí: Ta có: 1 1 1    q q uS n n (q  1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u 1 = 243 và u 6 = 1 2/ Cho q = 4 1 , n = 6, S 6 = 2730. Tìm u 1 , u 6 . Bài 2: Cho cấp số nhân có: u 3 = 18 và u 6 = -486. Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Bài 3: Tìm u 1 và q của cấp số nhân biết:      144 72 35 24 uu uu Bài 4: Tìm u 1 và q của cấp số nhân (u n ) có: u 3 =12, u 5 =48. Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (u n ) biết:      351 13 654 321 uuu uuu Bài 6: Tìm cấp số nhân (u n ) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Tốn khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thơng tin tổng hợp 17 PHẦN II. HÌNH HỌC CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH Câu 1: Trong mặt phẳng oxy,phép tònh tiến theo vectơ ( ; )v a b  biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’) . Tìm tọa độ điểm M' Câu 2:Trong mặt phẳng oxy cho điểm M (1;2) .Phép tònh tiến theo vectơ (2;3)v  biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N. Câu 3: Trong mặt phẳng oxy cho điểm A(4;5). Tìm điểm B(x,y) sao cho A là ảnh của điểm B qua phép tònh tiến theo (2;1)v  : Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng: A) tam giác đều B) hình chữ nhật C) Hình vuông D)Hình thoi Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3). Phép đối xứng qua trục ox biến điểm M thành M’. Tìm tọa độ điểm M' Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 .Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tònh tiến vectơ (1;1)v  ? Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục ox. Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3).Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N? Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 3x+4y- 6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’. Tìm phương trình d' Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5) 2 +(y-4) 2 =36 . Phép tònh tiến theo vectơ (1;2)v  biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C') Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5) 2 +(y-4) 2 =25 . Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C') Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ? A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vò tự tỉ số k= 1 ; C) phép tònh tiến ; D)phép chiếu vuông góc Câu 13 : Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1) 2 +(y-3) 2 =16 . Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C') và phép tònh tiến (1;4)v  biến (C') thành (C’'). Tìm phương trình của (C''). Câu 14 :Cho hình vuông ABCD .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo .Thực hiện phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó. Tìm số đo của góc quay đó? Câu 15 : Phép vò tự tâm O tỉ số k (k  0) là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho : A) OM  = k 'OM  B) 'OM  = k OM  C) OM’ =k OM D) 'OM  = 1 k OM  Câu 16 : trong mp oxy cho điểm M( •-2;4 ). Phép vò tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N Câu 17 : trong mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – 4 = 0. Phép vò tự tâm O tỉ số k = 3 biến d thành đường thẳng d'. Tìm phương trình d'? trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Tốn khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thơng tin tổng hợp 18 Câu 18 : trong mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 ) 2 + y 2 = 16. phép vò tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C'). Tìm phương trình (C') Câu 19 : Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là phép naò sau đây: A) phép đối xứng trục B) phép tònh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) . phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép 2 o V và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N. Tìm N? Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 . phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số 1 2 và phép đối xứng qua trục ox biến d thành d’. Tìm phương trình d'? Câu 22 : Trong các phép biến hình sau đây phép biến hình nào không có tính chất “biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”: A) phép đối xứng tâm B) phép tònh tiến C) phép vò tự D) phép đối xứng trục Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1) 2 + (y-2) 2 =4 .Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k=3 và phép tònh tiến theo vectơ (1;2)V  biến (C) thành (C'). Tìm (C') ? Câu 24 : Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1) 2 + (y-2) 2 =4 . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k=3 và phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C'). Tìm (C')? Câu 25 : Chọn khẳng đònh sai trong các khẳng đònh sau : A)phép tònh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính B) phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính C) phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính D) phép vò tự biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG  VÀ  : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và  ta đi tìm hai điểm chung I ; J của  và      = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý :  Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung  M  d và d    M         b;a Mba (P) trong  M là điểm chung 1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đƣờng thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S khơng nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)   I J   trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 19 2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) 1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = 4 1 MB ; N nằm trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lƣợt là trung điểm của AD; BC . a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) 1. 7: Cho hai đƣờng thẳng a ; b  (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? 1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lƣợt lấy hai điểm M và N sao cho : NC AN MB AM  . Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD) 1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ? 1. 10 : Trong mặt phẳng  cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) 1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh A; B; C thẳng hàng : Chỉ ra A ; B ; C   Chỉ ra A ; B ; C   Kết luận : A; B; C      A; B; C thẳng hàng Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :   A C   B M N   a b P trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 20 Đặt a  b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P 2. 1: Cho hai mặt phẳng  và  cắt nhau theo giao tuyến d .Trên  lấy hai điểm A ; B nhƣng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đƣờng thẳng OA ; OB lần lƣợt cắt  tại A’ ; B’. AB cắt d tại C a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy 2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng  . Gọi M ; N ; P lần lƣợt là giao điểm AB ; BC ; AC với . Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đƣờng chéo ; M ; N lần lƣợt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đƣờng thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng  không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD lần lƣợt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ? 2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ? Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :  Giả sử : a không chéo b  Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong cùng mặt phẳng  ( đồng phẳng )  Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc mâu thuẫn với một điều đúng nào đó Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng  Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn điểm đó cắt nhau hoặc song song với nhau b a   A  B C D     A  B C D    trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 21 3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? 3. 2: Cho hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D a)Chứng minh AC chéo BD ? b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đƣờng thẳng MN có song song AB hoặc CD không ? c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 3. 3: Cho đƣờng thẳng a cắt hai đƣờng thẳng b và c. Hỏi ba đƣờng thẳng a, b, c có đồng phẳng không ? Tại sao ? 3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC. a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ? Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG  Giả sử phải tìm giao điểm d   = ? Phương pháp 1: Tìm a   Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và chúng cắt nhau tại M  d   = M ( hình vẽ ) Phương pháp 2: Tìm  chứa d thích hợp Giải bài toán tìm giao tuyến a của  và  Trong  : a  d = M  d   = M ( hình vẽ b) 4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lƣợt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt (ABC) tại P. Xác định giao điểm P 4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lƣợt là các điểm nằm trên AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm : a) MN với (BCD) b) BD với (MNP) c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD) 4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lƣợt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) 4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO) b) SO với (ADE)   d a M   M  d a trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 22 4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lƣợt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS. a)Tìm giao điểm của đƣờng thẳng BC với (IHK) ? b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đƣờng thẳng KM với (ABC) ? 4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC 4. 7: Gọi I ; J lần lƣợt là hai điểm nằm trong ABC; ABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) 4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ? c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ? Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG  VỚI KHỐI ĐA DIỆN Lần lượt xét giao tuyến của  với các mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng  Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm. Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; . . . trong mặt phẳng  cũng nhờ vào quá trình đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản : I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ 5. 1: 1) Cho hình lập phƣơng ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lƣợt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phƣơng ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lƣợt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) 5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lƣợt là trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K 2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lƣợt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp *5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA = 2 1 MD ; ND = 2 1 NC A  B D C E F trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 23 a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ? c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ? *5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lƣợt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp 5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC . a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ? b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ? c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ? *5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lƣợt là trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1 5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đƣờng thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ? *5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm SAB ; SAD a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp 5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng  qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q. a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? [...].. .Bài tập Tốn khối 11 trungtrancbspkt@gmail.com 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh BC a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ? c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành F là trung điểm CD;... với hình 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình. .. định lí menelaus b) đƣờng IJ Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thơng 24 tin tổng hợp Bài tập Tốn khối 11 trungtrancbspkt@gmail.com Vấn đề 6 HAI ĐT SONG SONG Phương pháp : Có thể dùng một trong các cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ) - Chứng minh... phẳng kia 8.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC a) Chứng minh (HIK)// (ABCD) b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI Chứng minh (SMN) //(HIK) 8.2 Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’ a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C) b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD và CB’D’ 8.3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm... song song AD và SD a)Mặt phẳng ( a )  cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ? b)Chứng minh SA //  7.3 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng ( a )  di động ln ln song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC a)Mặt phẳng ( a )  cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lƣợt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình gì ? b)Chứng minh rằng ( a )  khi chuyển động ln ln chứa một... di động thì M di động trên đƣờng thẳng cố định 7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng () chứa AM và  BD a)Chứng minh () ln ln đi qua một đƣờng thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thơng 25 tin tổng hợp trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Tốn khối 11 b) () cắt SB và SD tại E ; F Trình bày cách dựng E... sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) 7.1 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi ( a )  là mặt phẳng chứa đƣờng thẳng MN và song song với CD a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( a )  ? b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ? 7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang... điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ khơng song song với BC Mặt phẳng  quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N a) Chứng minh MN ln đi qua một điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ? 9 Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả : SA’ = 1 1 1 SA ; SB’ = SB ; SC’ = SC n 1 3n  1 2n  1 a) Chứng minh A’B’ đi qua một... chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ? 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đƣờng thẳng CD và IC = 2ID ? b) Tìm giao điểm J của (OMG) với... hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3 - Áp dụng định lý về giao tuyến 6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong mặt phẳng Trên hai đƣờng thẳng chéo nhau AC và BF lần lƣợt lấy hai điểm M ; N sao cho AM : AC = BN : BF = 1: 3 Chứng minh MN // DE 6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong mặt phẳng Trên hai đƣờng thẳng chéo nhau AC và BF lần . trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Tốn khối 11 Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thơng tin tổng hợp 17 PHẦN II. HÌNH HỌC CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH Câu 1: Trong. theo (2;1)v  : Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng: A) tam giác đều B) hình chữ nhật C) Hình vuông D )Hình thoi Câu5: Trong mặt phẳng