Chuong ‹ có ‹ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG DAY SO 8.1 Phương trình sai phân tuyến tính uới hệ số 3.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính uới hệ số hang 3.3 Phương trình sai phân tuyến tính uới hệ số bién thiên 9.4 Phương trình sai phân dạng phân tuyến tính uới hệ số 2.5 Tuyến tính hố số phương trình sơi phân 9.6 Phương trình sai phân chứa tham biến 9.7 Một số dạng phương trình sai phân phi tuyến đặc biệt 3.8 Dãy số chuyển đổi phép tính số học 2.9 Day số chuyển đổi đại lượng trung bình 3.10 Phương trình dãy số uới cặp biến tự 8.11 Một số toán liên quan đến dạng truy hồi đặc biệt 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số Dưới ta trình bày số phương trình, hệ phương trình sai phân phương pháp giải chúng (không nêu cách chứng minh) 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình sai phơn tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng Uy =A, AUny + buy = Dns neN a, b,ø số, ø # ƒ„ biểu thức ø cho trước Dạng Tìm u, thoả mãn điều kiện Uy =, AUnyi + bun = 0, a, b, & cho trudc , n € N* 121 Các phép toán dấy số Phương phúp giỏi ———— Giải phương trình đặc trưng øÀ + b = để tìm À Khi |ưạ = qÀ"|(q số), g xác định biết uị = œ Bài toán Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Cách giải Ta có a=! A-2s© Phuong trinh dac trung’cé c = =.2 DoOo đÓd6 uy0, = 2771 [Uns = 2Un, nghiệm À = bh =.2 Uy = Vậy u„ = c2” Từ uạ = suy re Dạng Tìm z„ thoả mãn điều kiện Uy = OQ, đ.Ua+iy +D.uạ = ƒa, ne€cĐ', ƒ„ đa thức theo n Phương phúp giải , Giải phương trình đặc trưng øÀ + b = Ư ta tìm À Ta có uạ = Gn tu ti, nghiệm tổng quát phương trình a.u„ + b.u„ = u* nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng aua+ bu„ = ƒ Vậy ñ„a = qÀ", q số xác định sau Tà xác dinh uf nhu sau : a) Nếu À z uy đa thức bậc với f b) Nếu À = thi u* = n.g„ với g„ đa thức bậc với fh Up * Thay u} vào phương trình, đồng hệ số, ta tính hệ số c Bai toan Tim u,, thoa man diéu kién Uy = 2, Ung = Un H2n} 122 ne N* Các phép tốn dãy số Cách giỏi Phương trình đặc trưng À — l1 = 0O có nghiệm À = l1.;Ta có Un = Ủn + u}, ơ„ = c.1” = c, u}> = n(an + b) Thay u† vào phương trình, ta (n + 1)|[a(n + 1) + b| = n(an + b) + 2n Với n = 1, ta 3a + b = a=1,b=-1 Do uạ = n(n — 1) Với n = 2, ta 5a + b = Suy Ta có ứy = đ„ + u} = c+ nÍn — 1) Vì uị = nên = e+ 1(1— 1) ©c=2 Vậy „ = + n(n— 1), hay uạ = n2 —n + Dạng “VD Tìm +„ thoả mãn điều kiện Uy =, GUny, + bu, = vp", nE N* Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng øÀ + b = để tìm À Tacé uz, = ơ„ + 1ÿ, ủ„ = cÀ*, c số chưa xác định, u} xác định sau : a) Nếu À # ¿ uy = A1” b) Nếu À = / u}> = An” Thay u} vào phương trình, đồng hệ số tính hệ số u7 Biết , từ hệ thức u„ = ơ„ + u}, tính c Bài tốn Tìm +z„ thoả mãn điều kiện trị —= 1, Cách giải tứn+1 3Un + 2”, neN* Phương trình đặc trưng À — = có nghiệm À = Tà có Un = Un + us, đa = c.3” uy = a.2” Thay tư? = a.2” vào phương trình, ta thu a.2"†! = 3a.9" + 2” © 2a = 3ø + Ì © ø = —] QUY Tả tạ —2" Do uạ = c3” — 2n Un = 3% — 2” a 123 Vì uị = nên c = Vậy Các phép toán dãy số Dạng Tìm +„ thoả mãn điều kiện Uy =O, O.Un41 + btm = fin + fon, nEN*, ƒ;„ đa thức theo n va fon = vp” Phương pháp giỏi Tà có uạ = ñ„ + u} + u?*, 0„ nghiệm tổng quát phươi trình au„+ + bư„ = 0, u} nghiệm riêng phương trìi không aun, + bun = fin, z2" nghiệm riêng phươi trình khơng thudn nhat aujz4; + bun = fon Bai toan Tim u,, biét uy = 1, Cách giải Ung, = 2Un $7242.27, nEN* Phương trình đặc trưng À — = có nghiệm À = Tà ‹ Un = Un + us + ut", dé @, = ¢.2", ux = an? + bn + c, u* = An.2", Thay u} vào phương trình „+ = 2ư„ + ?2, ta a{n+ 1) + b(n+ 1) + c = 2an? + 2bn + 2e + n2 Cho n = 1, ta dugc 2a —c n = 3, ta duge 2a + 2b+c = Cho n = 2, ta duoc a—b-—c=4 = -9 Suy a = —l,b = -2,c = —3 us = —n? — 2n — CI Vi Thay u** vao phuong trình œ„„¡ = 2u„ + 2.2”, ta A(n + 1)2"*1 = 2Án.2" + 9.2" œ 2A(n + 1) = ĐÁn +3 A= ¬ Vậy x = n2” = 3n2n—1, Nol co tu Do tạ = c.2” +(=n?®~=2m—=3)+ần.2"~1, Tà có uạ = 1nén = 2c—2+3 = c= e Un = ần.2"~1 — n2 — 2n — ` VY 124 Các phép tốn dãy số 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng Uy = GŒ, tạ = ft, AUnsy + OUn + CUn-1 = Gn, NEN", g ø, Ị, ; c, 1, ,¿tu hang g s6, a # g„ biểu thức chứa n cho trước Dang Tìm u,, thoa man diéu kién Uy = GŒ, tạ = l, ~ Una, + bun + CUn-1 = 0, n E N* Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng øÀ? + bÀ + c = 0, tìm À a) Nếu À¡ À; hai nghiệm thực khác „ = AN + BÀ?, m— A B xác định biết u; va ue b) Nếu À¡ À¿ nghiệm thực kép, À¡ = À¿ = À uy = (A + B.n)À", A ƯÐ xác định biết uạ uo c) Nếu À nghiệm phức, À = z + 7, ta đặt r =|À|= V+° + 1, Bp ==, —T 7ï pe ( 2° =) Liic d6 A = r(cosy +isiny) va u, = r"(Acosny + Bsinny), A B xác định biết uị up Bai toan Tim u,, biét u, = 0, ug = 0, Un41 — Un + Un-1 = 0, ne N* Cách giải Phương trình đặc trưng À? — À + = có nghiệm phức Các phép tốn dấy số Ta có n=IÀ|=V v3 2+4 —T v tge=Š:s=V3 ©€(STx3) 29 ~3 Vậy \= cose +isin= 3) Suy tn = Acos n nT + Bin Ta có uy =1 uy =0 => AesE Áo TT + Bán + =1s Ban TC =0 B 2+ “Y5 —-A =1 PB Ay BY 4+ = 0= BVŠ =2 —4+ BVỂ (i =0 (2 Kết hợp (1) (2) ta hệ phương trình có nghiệm Vậy Dạng Tìm z„, biết tì =@G, Uaạ — QUn+1 + bun + CUn-1 = Fs n 2, dé a # 0, f, la_da thitc theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng øÀ2 + bÀ + c = để tìm À Tà có u„ = ơ„ + ñ„ nghiệm tổng quát phương trình œu„+ + bưạ CUn-1 = uƑ nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng nh: đ1„a+i + bun + Cun„_) = fr 126 (fn z 0) Các phép toán dãy số Theo Dang | ta tim ơ„, hệ số A / chưa xác định, u} xác định sau : a) Nếu À zZ u; đa thức bậc với ƒ- b) Nếu À = nghiệm đơn } = nøạ, ợ„ đa thức bậc với ƒa c©) Nếu À = nghiệm kép u* = n?.g, , gn 1a da thitc bậc với ƒa Thay u* vao phương trình, đồng hệ số, tính hệ s6 cia ux Biết uị, uạ, từ hệ thức uạ = ơ„ + uy tính A, B Bài tốn Xác định u., biết tì = Ì, ug=0, Uni — 2Un t+ Up_p =nNt+1, n> Cách giải Phương trình đặc trưng À” — 2À + = có nghiệm kép À = Ta C6 Un = i, + ue , ơ„ = (A+ Bn) - 1” = A+ Bn u} = nˆ(œn + b) Thay u} vào phương trình, ta (n + 1) {a(n + 1) + b] — 2n?(œn + b) + (m — 1)*[a(n — 1) + bÌ =n + Cho n = 1, ta 4(2a + b) — 2(a + b) =2 @© 3a + b = (3) Cho n = 2, ta 9(3a + b) — 8(2a + b) + (a+ b) =3 © 12a + 2b = (4) Kết hợp (3) (4), ta hệ phương trình có nghiệm =e + h = “78”? Vậy ut * Do o đóđó ; ¡ "“(§ „2 b= = ; s/n Un = ủy + tạ, = Á + Bn + nÊ(T + 2) Ta có u=1SAtBt uy =0 O45 =1S 1 At Bas, Á+2B + 4S +3) =0 127 (5) —10 A+2B = CC” (6) Các phép toán dãy số Giải hệ (5) (6), ta A=4 Vay tư, , —11 B=— 11 n ?t + S13)` " .= Dang Tim u,, biét rang Uy = A,U2 = 8, Unt + bun + CUn—1 = ve”, n> Phương phúp giải Giải phương trình đặc trưng aÀ? + bÀ + c = 0, tìm À Và Tạ có uạ = đ„ + u}, ơ„ tìm dạng 1, hệ số Ả Ö chưa đượ xác định, u„ xác định sau : a) Néu \ pe thi u} = kụ” b) Nếu nghiệm đơn À = ¿ u® = kn” c) Nếu nghiệm kép À = / u} = kn?u" Thay u} vào phương trình, dùng phương pháp đồng hệ số tính đưc hệ số k Biết ứị, uạ, từ hệ thức ư„ạ = ô„ + u* tinh dugc A, B Bài tốn Tìm „, biết ưìị =Ũ, ug =0, Ungy — 2Un + Un_1 = 2.2", n> Cách giải Phương trình đặc trưng \? — 21+ = có nghiệm kép \ = Ta có ưạ = đ„ + u?, ơ„ = (A+ Bn)1" = A+ Bn u} = k.2" Thay +¿} vào phương trình, ta kort) ok bo" Giải phương trình đặc trưng À? — 2À — = 0, ta À¡ = A = Tacé Ung Un = tin + UL + UP, Un = A.(—1)”+ B.3", ui =an+6, u™ =k.2” Thay u* va u** vao phuong trinh un41 — 2u, — 3un-1 = n, ta a{n + 1) +b~— 2(an + b) — 3[a(n — 1) + b} = n © (4ø + l}n — 4(a — b) = Vậy Cdc phép todn trén day sé Do w= Thay 1u" vào phương trình „+ Ft) 1) = —-{n.+ * — 2u k.2n+! 2k2" — 3ư„_¡ S— 2k2" Do — 92" + k— ust*xk = — 5.97 Là = —= 3 Vay Un = tn tu, tus= = n+1 3: 9M), A(-1)" + B.3" - 2í +1)—Ÿ —.2n+1, Uy =l=l=—-Á+ U2 = 2”, ta = =>0=4+98 3B ——=—=—=>_—Ä4+ 3° A+3B ả ———_— ga AAct 9B = 17 =— a 4s 12 Giải hệ phương trình (7) (8), ta 61 A=-—, 48’ Vay 25 B=— 48 61 25 1 ——.(-1)? T8 "+3 + —.3”—-—.(n+1)— Tự 1) -.2"11, Unn= Dang Tim un, biét rang Up =, Ug = 8B, AUng1 + bUn + CUn-) = Vcosn+ypsinn Phương phúp giải Giải phương trình đặc trưng aÀ? + bÀ + e = 0, tim dD 130 (a4#0), n> Các phép tốn dãy số Ta có uạ = Ủa + uy , ư„ nghiệm tổng quát phương trình nhất, xác định dạng u} = kcosn + Ìsinn l1, hệ số Ö chưa xác định, Thay u} vào phương trình, đồng hệ số, tính k, ỉ Từ hệ thức 1y = ủ„ + } va uj, Ue, ta tinh duoc A B Bài tốn Tìm z„, biết tì =Ì, ue =0, Uns, — 2Un + Un_1 = sinn, n> Cách giải Giải phương trình đặc trưng À? — 2À + = 0, ta nghiệm kép - À=l Ta c6 un, = Un + ux, đa = (A + Bn) -1” = A+ Bn, Thay +; vào phương trình „+ uạ = kcosn + [sinm — 2u + Un_1 = Sinn, ta thu k cos(n+1)+lsin(n+ 1) — 2(k cos n+Ï sin n)+k cos(n— 1)-EÍ sin(n— 1) = sinn ©k[cos(n + 1) + cos(n — 1)] + i|sin{n + 1) + sin{n — 1)] — 2k cosm — 2l sìn n =sinn «2k cosn.cos — 2k cosm, + 2Ï sin + cos Ì — 2Ï sin n = sinm 2k cos n(cos — 1) + 2ẽsin n(cos 1) = sinn đâ2k(cos — 1) cosn + [2l(cos — 1) — 1] sinn = Vì cosl — # a nên &k = ƠƯ 2(cos — 1) sinn Do đód6uạạ = tin tn tur == At Đn.+"+ ————- ost — 1) Ta có 7: nên sin Ì = ————.Vậy u} = ———— oY Un al sin =1>1=A+B4+————_ " + *2(6s1=1)' ” sin2 =0>0=41+2B+— Peet 2(cos1 — 1) Giải hệ phương trình (9) (10), ta A= 2sin | — 4cos — sin2 — 2(1 — cos 1) 131 2(cos — 1) /8) 7) (10) Các phép toán dãy số — sin + 2cos l + sIin — B= 2(1 — cos 1) Vậy nên — 2sinl— 4cos1— Un sin2 — 4+ (—sinl + 2cos + sin — 2)n — sinn ă 2(1 — cos 1) | 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trinh sai phan dang tị =Q, Uạ — 8, U3 = Y, @GUn+a TT bUn+1 + CUn + dUn—1 = fas n2 2, ( a,b,c,đ, œ, Ø,+y số, a # ƒ„ biểu thức n c trước Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln giải phương trình b ba giải Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính c ba có dạng ưạ = ơa + uy, œ} nghiệm riêng phương trình tính khơng nhất, ?„ nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính thu oo Phương phúp giải a) Xét phương trình đặc trưng a +b? +c\4+d=0 (i) Néu (2) cé ba nghiém thực À, Un (ii) = 8.ÀT + ^À¿, Às phân biệt 8s›.Às + 8.À3 Nếu (2) có nghiệm thực bội nghiệm đơn (À = 2¿ £ ñ„ = (Úi + a.n)ÀT + B33 (iii) Néu (2) cé mét nghiém thuc béi (A, = Ap = A3) tn = (Ay + Bon + ( B3.n?)d 132 : Các phép toán dãy số —sin l1 + 2cos l + sin — 2(1 — cos 1) Vậy nên — 2ginl ~ 4cos1 — sin2 — 4+ (— sin + 2cos + sin — 2)n — sinn Un s— 2(1 — cos1) 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân dạng tị = Œœ, tạ = 8, uạ = 7, đGữn+¿ Đưa + CUn + dun—1 = Tà n> 2, ( dé a,b,c,d,a, 3,7 số, a # ƒ„ biểu thức cha n c trước Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln giải phương trình t ba ln giải Nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính c ba có dạng u, = U, + u*, dé u* 1a nghiém riêng phương trình tính khơng nhất, ơ„ nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính thu Phương pháp giải a) Xét phương trình đặc trưng aÀ” + bÀ” + cÀ +j =0 (0) (ii) Nếu (2) có ba nghiệm thực À¡, A3 phan biét thi Nếu (2) có nghiệm thực bội nghiệm đơn (À¡ = À¿ # Un (iii) 2, => (6ì + Øa.n)Àt + ã.Às- Nếu (2) có nghiệm thực bội (À¡ = À¿ = Àa) tin = (6 + Bo.n + 6a.n?)AT 132 Các phép toán dãy số (iv) Nếu (2) có nghiệm thực À¡ hai nghiệm phức liên hợp A2,3 = r(cosy £ isin yp) thi tin = BAT +17" (Bo cosny + B3.sin ny) b) Goi u* nghiệm riêng cua (1) *Xét f, 1a đa thức m Ta có Nếu À z ư> đa thức bậc với ƒạ, ~ Nếu À = (nghiệm đơn) } = n.ga, ợ„ đa thức bậc với ƒ„, Nếu À = (bội 2) u} = n?.g„, ơ„ đa thức bậc với ƒ„, Nếu À = (bội 3) thi u* = n3.9,, gp, đa thức bậc với ƒ„ *Xét fp = vu” (ham mũ) Ta có - Nếu À FA wthiu® =knp” - - Nếu nghiệm đơn À = ¿ uy = k./” Nếu nghiệm bội À = / (bội $s) u} = k.n° Bài tốn Tìm z„ biết T+ạ=Ũ, 7¿=Ì, Ta =3, #n = 7Za_-qT— Ìlz„-a+ỗTaz_-a, nà Cách giải Xét phương trình đặc trưng À — 7A? + 11A — = 0, hay (A = 1)?(A — 5) = Phuong trình có ba nghiệm thực Ay = Aq = 1, Às =5 Vay In = C + cạ.n + ca.5" Chon =1, n=2, n= va giải hệ phương trình tạo thành, ta ae LỆ Vậy 1g: 21 ne 9318: 133 ony Các phép toán dãy số hay In» = 16Lay (51 1)I) ++ Zin Š3(n — 1).) Bài toán Cho dãy số nguyên {a,} thoa man điều kiện Qn42 = 20n+1 + 2a„ — đn_1, Tì C N* Chứng minh rang tồn s6 nguyén M cho cdc s6 M + 4aa+ia„ số phương Cách giải Đặt Ñn+2 — Ñn+1 — On = Un Khi đó, từ điều kiện ta có hệ thức u, = „_¡ + 2ø„ Do us = (Un_1 + 2an)? = u2_, + 4a„ua_ + 4a2 = ue_, + 4(ang1 — Gn — On—1)an + 402 = wy + 44n Ons) — 4AnAn—} Suy uw — 407418, = — 4q„dœ„_, Vn€ Ñ" Vậy u2 — 4a„„ia„ = ă hiển nhiên M + 4an+idaa = tí.2 2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số Trong mục ta chủ yếu xét hệ phương trình sai phân dạng Tn4+1 = PXn + QYn, T] Ynti = Tn + 8Yn; Y= =a, b Phương pháp giải Trong (1), thay mø n + 1, ta nhận Fn42 = Pln41 + WYn+1 = ĐZ#n+1 + q(rT› = PTn+ + QTLy + SYn) + S(Tn+1 = Đ7n+ ~ PEn) 134 + qTZn + 8(qYn) Các phép toán dãy số Suy #n+a — (p+.8)Ta+ + (ps — gr)z„ = 0, dé x = a Tir (1), ta lai c6 xo = pr, + gy; = pa+ qb Nhu vay ta phương trình sai phân tuyến tính cấp hai #ị =0, #ạ = pa +qbÙ, #a+| — (p + 5)Za + (ps — qr)TZa_¡ =0, n Giải phương trình ta tìm z„ Thay z„ vào (1), ta tìm yp Bài tốn Tìm z„-, Yn, biết {es ~ = 4%, — 2yn, Ynti =In+ Yn, = 1, Y= (2) Cách gidi Trong (2), thay n n + 1, ta có #n+a = ÂTn+t — 2Vn+l = 4#n+1 — 2(a + Yn) = 4Tn+t — 27a — 2Yn = 40n41 — 2% Ð Tn+a — 47 Suy ` *n+2 Từ (2), ta có z¿ = 47 — Đđn+1 — 2u, =4.1— + 6a =0 2.1 =2 Ta thu phương trình bậc hai #+i= Ì,Z¿= 2, Tra+i — 97a +Ö7„-¡ =0, n> — Giải phương trình này, ta nghiệm z„ = 2"~!, Thay z„ vào phương trình thứ (2), ta có 2" =4.2"~! ~ 2u„ © 20; = 2" œ@ u„ = 2"~1, " Vậy nghiệm hệ phương trình TS ... toán dấy số Phương phúp giỏi ———— Giải phương trình đặc trưng øÀ + b = để tìm À Khi |ưạ = qÀ"|(q số) , g xác định biết uị = œ Bài toán Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công... ần.2"~1 — n2 — 2n — ` VY 124 Các phép tốn dãy số 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng Uy = GŒ, tạ = ft, AUnsy + OUn +... fas n2 2, ( a,b,c,đ, œ, Ø,+y số, a # ƒ„ biểu thức n c trước Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln giải phương trình b ba ln giải Nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính c ba có dạng