Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Qua quỏ trỡnh ging dy v hc tp trong trng ph thụng, tụi thy phng trỡnh vụ t l mng kin thc hay v khú. Tt nhiờn cha cú ai cú th a ra mt phng phỏp gii tt c cỏc phng trỡnh vụ t. Quỏ trỡnh ging dy, tụi thy hc sinh thng lỳng tỳng khi ng trc mt bi toỏn v phng trỡnh vụ t. Lỳng tỳng trong la chn cỏch gii l mt lớ do. Vỡ vy, qua kinh nghim lm toỏn tụi mun a ra mt tng hp v cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vụ t( tt nhiờn l da trờn kinh nghim ca bn thõn) Trong ti liu tụi s trỡnh by t cỏc phng phỏp n gin thng dựng cho n cỏc phng phỏp khụng mu mc, ớt khi s dng. Hi vng ti liu cú th giỳp cho cỏc em hc sinh chun b thi i hc, cỏc em luyn thi hc sinh gii v cỏc bn ng nghờp tham kho ging dy tt hn. Do ti liu ra mt ln u nờn khụng th trỏnh khi sai xút, mong c s gúp ý ca tt c cỏc bn. CHNG I: CC DNG C BN V PHNG PHP BIN I TNG NG 1. Phng trỡnh dng: ( ) ( )f x g x= (1) gii phng trỡnh dng (1) thụng thng ta gii bng phộp bin i tng ng sau: (1) 2 ( ) 0 ( ) ( ) g x f x g x = (2) Nhiu bn hc sinh khi gii phng trỡnh dng ny vn thy thiu iu kin. Cỏc bn s t cõu hi ti sao cú biu thc ( )f x m khụng thy xut hin iu kin ( ) 0f x . Xin tha vi cỏc bn rng h (2) ó bao gm iu kin ( ) 0f x , bi vỡ: 2 ( ) ( ) 0f x g x= Cũn nu cỏc bn thc hin cỏch gii nh sau: K: ( ) 0f x v (1) 2 ( ) ( )f x g x = (2) Xin tha vi cỏc bn cỏch bin i ny vn cha ỳng. Bi vỡ cỏc bn mc dự ó t iu kin cho ( )f x nhng phộp bin i trờn khụng phi l phộp bin i tng, nờn sau khi gii cỏc bn phi th li cỏc giỏ tr ca x ó tỡm c phng trỡnh (2) loi b cỏc nghim ngoi lai. Vớ d1: Gii phng trỡnh: 2 4x x = Cỏch gii ỳng: Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2 2 4 0 4 2 ( 4) 9 18 0 x x x x x x = + = 4 6 3, 6 x x x x = = = . Vy phng trỡnh cú nghim duy nht 6x = Cỏch gii cha ỳng: K: 2 0 2x x . Vi iu kin ú phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2 2 ( 4)x x = 2 9 18 0 3, 6x x x x + = = = rừ rng c hai nghim ny u tho món iu kin. Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim 3, 6x x= = !??? Sai lm õu? Xin tha, sai lm ngay phộp bin i u tiờn. Phộp bỡnh phng hai v ca phng trỡnh ó cho ch l phộp bin i h qu, khụng phi phộp bin i tng ng. Do vy vic th li hai giỏ tr ny l cn thit. Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Nh vy trong mt phng trỡnh cha cn bc chn, khi gii, khụng phi lỳc no ta cng cn t iu kin biu thc di du cn khụng õm. Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 16 17 8 23x x+ = ( H An ninh khi D - 1997) Gii: Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2 8 23 0 16 17 (8 23) x x x + = 2 23 8 64 384 512 0 x x x + = 4x = Vy phng trỡnh cú nghim duy nht 4x = Vớ d 3: Gii phng trỡnh: 2 1 1x x = + ( H Hu khi A 1999) Gii: Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2 2 2 1 0 ( 1) 1 x x x = + 3 1 1 ( 2 1) 0 x x x x x = 2 1 1 ( 1)( 1) 0 x x x x x x + = 1 1 5 2 x x = + = 2. Phng trỡnh dng: ( ) ( )f x g x= (2) gii phng trỡnh dng (2) ta chn trong hai bt phng trỡnh: ( ) 0f x v ( ) 0g x ( gi s l ( ) 0f x d gii hn) a (2) v dng tng ng sau: ( ) ( )f x g x= ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x = (3) n õy li cú mt cõu hi t ra, ú l h (3) cú m bo cho ( )g x cú ngha cha? Cõu tr li xin dnh cho bn c. Ta xột vớ d sau: Vớ d 1: Gii phng trỡnh: 2 7 5 3 10x x x+ + = + (3) Gii: Phng trỡnh (3) tng vi: 2 3 10 0 7 5 3 10 x x x x + + + = + 2 10 3 4 5 0 x x x + = 10 3 1, 5 x x x = = 1x = Vy phng trỡnh cú nghim duy nht 1x = Li bỡnh: i vi phng trỡnh (3) ta chn bt phng trỡnh 3 10 0x + vỡ bt phng trỡnh ny d tỡm tp nghim hn bt phng trỡnh: 2 7 5 0x x+ + !??? Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 3 2 3 2 2x x x+ = (4) Gii: Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc (4) 3 2 2 0 3 2 2 x x x x + = 3 2 2 3 0 x x x x + + = 2 2 ( 3 1) 0 x x x x + + = H ny vụ nghim Vy phng trỡnh ó cho l vụ nghim 3. Phng trỡnh dng: ( ) ( ) ( )f x g x h x+ = Thụng thng trc khi gii phng trỡnh ny, hc sinh thng t iu kin phng trỡnh cú ngha l: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 f x g x h x . Tuy nhiờn nu s dng phộp bin i tng ng ta s thy khụng cn dựng n k: ( ) 0h x . Tht vy, phng trỡnh ó cho tng ng vi: ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) (*) f x g x f x g x f x g x h x + + = (*) chng t ( ) 0h x . Ta xột vớ d sau: Vớ d 1: Gii phng trỡnh: 3 2 1 3 2x x x+ = ( HV bỏo chớ Tp. HCM, nm 2000) Gii: Vit li phng trỡnh ó cho di dng: 3 2 2 1 3x x x + = + 3 2 0 2 1 0 3 2 2 1 2 (2 1)(3 2) 3 x x x x x x x + + = + 2 3 3 2 (2 1)(3 2) x x x x = (1) 2 2 3 3 2 2 5 7 0 x x x x + = (2) 2 3 3 2 7 1, 2 x x x x = = 1x = Li bỡnh 1: Ti sao ta cn chuyn v trc khi thc hin phộp bỡnh phng hai v ca phng trỡnh? Bi vỡ khi ú hai v ca phng trỡnh mi khụng õm, v khi ú mi cú th thc hin c phộp bin i tng ng, cũn nu bn bỡnh phng ngay t phng trỡnh u thỡ thc cht ú ch l phộp bin i h qu, sau khi thc hin phộp bin i ny ta cn th li cỏc giỏ tr ca x va tỡm c. Li bỡnh 2: Nhiu bn khi thc hin phộp bin i t (1) sang (2) thng quờn mt t iu kin 3 2 x . Cỏc bn cn chỳ ý, khi gii mt phng trỡnh vụ t cú th xut hin nhiu dng khỏc nhau khi bin i, ng vi mi dng ú ta cn nm c thc hin cỏc phộp bin i hp lớ Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 2 2 2 8 6 1 2 2x x x x+ + + = + ( H Bỏch khoa HN, nm 2002) Gii: Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2 2 2 2 2 2 2 2 8 6 0 1 0 2 8 6 1 2 (2 8 6)( 1) 4 8 4 x x x x x x x x x x x + + + + + + + + = + + 2 3 2 3 1 1 1 1 2 (2 8 6)( 1) x x x x x x x x = + + 2 2 2 3 1 1 1( 1 2 2 8 6) 0 (*) x x x x x x x = + + = (*) 2 2 1 1 2 2 8 6 (**) x x x x = = + + Gii(**) ta c: 25 1; 7 x x= = Vy phng trỡnh cú ba nghim: 1x = ; 25 1; 7 x x= = Li bỡnh: Nhiu bn bin i nh sau: K: 2 2 2 6 8 0 1 0 x x x + + 2 2 2 8 6 1 2 2x x x x+ + + = + 1( 2 3 1 2 1) 0x x x x + + + + = V sau ú gii tip. Cỏch bin i ny cha ỳng. Bi vỡ: . .A B A B= ch ỳng khi , 0A B Bi tp ỏp dng: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1. 2 1 1x x+ + = ( H Xõy dng 1998) 2. 2 1 2 1 2x x x x+ + = ( H Quy nhn khi D 2000) 3. 9 5 2 4x x+ = + (H Quc gia Tp. HCM khi D 1998) 4. 4 3 10 3 2x x = ( HSG Quc gia - 2000) 4. Phng trỡnh dng: 3 3 3 ( ) + ( ) ( )f x g x h x= (1). i vi dng phng trỡnh ny, khi gii ta dựng phng phỏp th trong. (1) 3 3 3 ( ) ( ) 3 ( ). ( )( ( ) ( )) ( )f x g x f x g x f x g x h x + + + = (2) 3 ( ) ( ) 3 ( ). ( ). ( ) ( )f x g x f x g x h x h x + + = (3) Chỳ ý: Phộp th 3 3 3 ( ) + ( ) ( )f x g x h x= khụng phi l hng ng thc, nú ch ỳng khi x l nghim ca phng trỡnh. Vỡ vy phộp bin i t (2) ra (3) khụng phi l phộp bin i tng. Phộp th ú c gi l phộp th trong. Do ú sau khi tỡm c nghim ca (3) nht thit phi th ngc tr li (1). Vớ d 1: Gii phng trỡnh: 3 3 3 2 1 1 3 1x x x + = + Gii: Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 3 3 3 2 1 1 3 (2 1)( 1)( 2 1 1) 3 1x x x x x x x + + + = + 2 3 3 3 (2 3 1)( 2 1 1) 1x x x x + + = (*) 2 3 (2 3 1)(3 1) 1x x x + + = (**) 3 2 6 7 0x x = 0 7 6 x x = = Th li hai giỏ tr ny thy ch 7 6 x = l tho món. Vy phng trỡnh cú nghim duy nht 7 6 x = Li bỡnh 1: Qua vớ d 1 ta thy phộp bin i t (*) n (**) ch l phộp bin i l h qu, vỡ vy vic th li cỏc giỏ tr ca x tỡm c l cn thit. Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 3 3 3 1 1 5x x x + + = Gii: Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 3 2 3 3 1 1 3 1( 1 1) 5x x x x x x + + + + + = 3 2 3 3 1( 1 1)x x x x + + = 2 3 ( 1)5x x x = 2 2 0 0 5 5( 1) 2 x x x x x = = = = Th li thy ba nghim ny u tho món. Vy phng trỡnh cú ba nghim 5 0; 2 x x= = Bi tp ỏp dng: Gii cỏc phng trỡnh: 1. 3 3 34 3 1x x+ = ( H S phm Tp. HCM 1996) 2. 3 3 5 7 5 12 1x x+ = 3. 3 3 9 1 7 1 4x x + + + + = 4. 3 3 3 1 2 2 3x x x + = 5. 3 3 24 5 1x x+ + = CHNG II: MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T I. Phng phỏp t n ph 1. S dng n ph a v phng trỡnh bc hai Dng Phng trỡnh: 2 2 ax ( 0)bx c px qx r ap+ + = + + v a p p q = i vi phng trỡnh dng ny ta t: 2 t px qx r= + + . Chuyn phng trỡnh ó cho v phng trỡnh bc hai: 2 0At Bt C+ + = Vớ d 1: Gii phng trỡnh: 2 2 11 11x x+ + = ( H Cnh sỏt nhõn dõn 2000) Gii: Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2 2 ( 11) 11 42 0x x+ + + = Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc t: 2 11 0t x= + > , ta c phng trỡnh: 2 7 42 0 6 6 t t t t t = + = = = Khi ú: 2 11 36 5x x+ = = Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 2 2 2 12 6 2 4 4x x x x+ + = + + Gii: t: 2 2 2 1 2 4 4 0 2 12 10 2 t x x x x t= + + > + + = + . Khi ú phng trỡnh tr thnh: 2 2 2 1 10 6 12 20 0 10 2 t t t t t t = + = + = = Vi 2 2 2 0 0; 2t x x x x= + = = = Vi 2 10 2 48 0 6; 8t x x x x= + = = = ụi khi cú nhng bi toỏn khụng phi l dng trờn, nhng vn cú th a v phng trỡnh bc hai c. Cỏi ny ph thuc vo s linh hot trong gii toỏn ca tng ngi. Ta xột vớ d sau: Vớ d 3: Gii phng trỡnh: 2 2 2 5 2 2 2 5 6 1x x x x+ + + = ( H S phm Tp. HCM 2000) Gii: t: 2 2 5 6 0t x x= + khi ú: 2 2 2 5 2 8x x t+ + = + Phng trỡnh tr thnh: 2 8 1 2t t = + 2 1 2 3 4 7 0 t t t + = 1t = Vi 2 2 1 1 2 5 6 1 2 5 7 0 7 2 x t x x x x x = = + = + = = Hon ton tng t cỏc bn cú th gii cỏc bi tp sau õy: 1. 2 2 3 3 3 6 3x x x x + + + = ( H Thng mi 1998) 2. 2 2 1 1 4x x x+ + + + = ( H Khi D 2005) 3. 2 2 15 2 5 2 15 11x x x x = + Dng Phng trỡnh: ( ) ( ) ( ). ( ) 0 ( 0)aP x bQ x c P x Q x abc+ + = Cỏch gii: Xột ( ) 0 ( ) 0Q x P x= = Xột ( ) 0Q x , chia c hai v ca phng trỡnh cho ( )Q x v t: ( ) ( ) P x t Q x = , chuyn phng trỡnh ó cho v dng: 2 0at ct b+ + = Lu ý: T cỏch t ( ) ( ) P x t Q x = ( , ) 0f x t = ( x l n) t ú suy ra iu kin ca t Vớ d 1: Gii phng trỡnh: 2 3 2 5 1 7 1x x x+ = (1) Gii: K: 1x Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Ta cú: (1) 2 2 2( 1) 3( 1) 7 ( 1)( 1)x x x x x x+ + + = + + (2) Vỡ 1x = khụng phi l nghim ca (2) nờn chia hai v ca (2) cho 1x ta c: 2 2 1 1 2 3 7 1 1 x x x x x x + + + + + = (3) t: 2 1 0 1 x x t x + + = 2 2 (1 ) 1 0x t x t + + + = cú: 4 2 6 3 x t t = . Nờn cú iu kin ca t l: 0 3 2 3 0 x t t + (4) Khi ú (3) tr thnh: 2 2 7 3 0t t + = 3 1 2 t t = = . Kt hp vi iu kin ca t ta cú: 3t = Vi t = 3 ta cú: 2 8 10 0 4 6x x x + = = tho món iu kin ca x . Vy phng trỡnh cú nghim: 4 6x = Chỳ ý: Hon ton bỡnh ng, cỏc bn cú th thc hin phộp chia cho ( )P x hoc ( ). ( )P x Q x Cỏc bn cú th gii bi toỏn trờn bng cỏch t: ( ) ( )P x t Q x= hoc ngc li Li bỡnh 1: Mu cht ca bi toỏn l phõn tớch v trỏi ca (1) thnh: 2 2( 1) 3( 1)x x x+ + + . Ti sao li cú s phõn tớch nh vy? Nú ph thuc vo v phi ca (1): 3 2 1 ( 1)( 1)x x x x = + + . Nh vy chc chn s cú s phõn tớch v trỏi thnh 2 ( 1) ( 1)a x b x x + + + v ta tỡm ,a b bng phng phỏp h s bt nh: 2 2 2 5 1 ( 1) ( 1)x x a x b x x+ = + + + 2 2 2 5 1 ( )x x bx a b x b a + = + + + 3; 2a b = = Li bỡnh 2: Cỏc bn cú th khụng cn tỡm iu kin ca t nh (4) nhng khi ú cỏc phộp bin i ch l phộp bin i h qu v nht thit phi thay cỏc giỏ tr ca t va tỡm c tỡm x . Cũn nu tỡm iu kin ca t nh bi trờn ta khụng cn phi thay giỏ tr: 1 2 t = ngc tr li. Li bỡnh 3: Bng cỏch phõn tớch nh li bỡnh 1 cỏc bn cú th xõy dng nờn cỏc phng trỡnh ny mt cỏch n gin: 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x + + + = + + + ta c phng trỡnh: 2 4 2 3 1 1x x x x + = + + . Rừ rng cỏch gii ca cỏc loi phng trỡnh ny l ging nhau, tuy nhiờn mc gõy nhiu li khỏc nhau. Cỏi ny tu theo tng i tng hc sinh m ta cú th chn cỏc mc gõy nhiu khỏc nhau. Nu hc sinh hiu rừ bn cht ca vn thỡ s gõy nhiu s khụng cú ý ngha gỡ na. Chỳ ý cỏc ng thc sau cú th sỏng to ra cỏc bi toỏn dng ny: 4 2 4 2 2 2 2 1 ( 2 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x x+ + = + + = + + + 4 2 2 1 ( 2 1)( 2 1)x x x x x+ = + + + 4 2 2 4 1 (2 2 1)(2 2 1)x x x x x+ = + + + Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 2 2 5 14 9 20 5 1x x x x x+ + = + (1) Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Gii: Ta cú (1) 2 2 5 14 9 20 5 1x x x x x + + = + + 2 2 2 2 20 0 1 0 5 14 9 20 25( 1) 10 ( 20)( 1) x x x x x x x x x x x + + + = + + + + 2 5 (2) 2 5 2 5 ( 4)( 5)( 1) (3) x x x x x x + = + + (2) 2 2 3( 4) 2( 4 5) 5 ( 4)( 4 5)x x x x x x + + = + (4) D thy 4x = khụng phi l nghim ca (4) t 2 4 4 5x t x x+ = ( 0)t > , Khi ú (3) tr thnh: 2 2 2 1 ( 4 5)(3 5 2) 0 3 5 2 0 2 3 t x x t t t t t = + = + = = Vi 1t = ta cú: 2 5 61 4 4 5 2 x x x x + = = . Kt hp vi (2) v (3) ta cú: 5 61 2 x + = Vi 2 3 t = ta cú: 2 8 4 4 ( 4 5) 7 9 4 x x x x x = + = = . Kt hp vi (2) v (3) ta cú: 8x = Vy phng trỡnh cú hai nghim: 5 61 2 x + = v 8x = Chỳ ý: Nu phng trỡnh: ( ) ( ) ( ). ( ) 0 ( 0)aP x bQ x c P x Q x abc+ + = tho món: ( ). ( )P x Q x k= thỡ bi toỏn tr nờn n gin i rt nhiu. Ta xột vớ d sau: Vớ d 3: Gii phng trỡnh: 8 8 1 2 2 2 1 x x x x + + = + Gii: t: 8 1 0 2 x t x = > + khi ú: 8 2 1 1 x x t + = . Phng trỡnh tr thnh: 1 2t t + = 1t = Vi 1 1 1 2 2 t x x x= = + = tho món phng trỡnh ó cho. Bi tp ỏp dng: 1. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim thc: 2 4 3 1 1 2 1x m x x + + = 2. Gii cỏc phng trỡnh: a. 2 3 3 2( 1) 5 1x x+ = + b. 2 4 4 2 2 4 1x x x + = + c. 2 4 2 3 3 1 1 3 x x x x + = + + Dng Phng trỡnh: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( ) 0a P x Q x b P x Q x a P x Q x c + + + = ( 2 2 0a b+ > ) Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Cỏch gii: t 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )P x Q x t t P x Q x P x Q x = = + Chuyn phng trỡnh ó cho v phng trỡnh bc 2 n t Ta xột cỏc vớ d sau: Vớ d 1: Gii phng trỡnh: 2 2 2 2 4 2 2x x x x + = + (1) Gii: t: 2 2 2 2 0 2 2 4t x x t x x= + < = Khi ú (1) tr thnh: 2 2 0 2t t t+ = = Hay: 2 2 2 2x x x + = = ( tho món (1)) Vy phng trỡnh cú nghim 2x = Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 3 2 3 2 (1 ) 2(1 )x x x x+ = Gii: K: 1 1x t: 2 1 ; 2t x x t= + ( theo Bunhiacopxki) 2 2 1 2 1t x x = + 2 3 3 2 3 1 (1 ) 3 2 t t x x t = + + Phng trỡnh ó cho tr thnh: 3 2 2 3 2 0t t t+ = ( 2)( 2 1)( 2 1) 0t t t + + + = 2 1 2 t t = = Vi 2 2 2 0 1 2 2 1 2 2 (2 1) 0 x t x x x x < = = = = Vi 2 4 2 1 0 1 2 1 1 2 3 2 2 0 x t x x x x < < = = + = 2(1 8 2 11) 2 x + = Hon ton tng t cỏc bn cú th gii cỏc bi tp sau õy: 1. 2 1 1 2 2 x x + = 2. 2 35 12 11 x x x + = 3. 2 4 1 1 3 2 1 1x x x x+ = + + 4. 2 2 2 3( 1 )x x x x+ = 5. 2 2 3 1 3 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + Dng phng trỡnh: (ax ) ( ' ') n n b p a x b qx r+ = + + + ( x l n s, , , ', ', ' 'a b a b p q r l cỏc hng s v aa ' 0p , n = 2, 3) Thụng thng cú cỏc phng trỡnh dng ny ngi ta thng i t cỏc h phng trỡnh i xng hai n hoc h phng trỡnh i xng gn hai n ( h cú nghim x = y). V phng phỏp gii tt nhiờn l t n ph a v gii h phng trỡnh. lm rừ iu ú ta xột h phng trỡnh sau: Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc ( ) ( ) 2 2 1 2 (1) 1 2 (2) x y y x + = + + = + Vic gii h ny n gin, xin khụng bn ti na. Bõy gi ta s i xõy dng phng trỡnh vụ t t h ó cho. Tht vy: Bng cỏch t ( )y f x= sao cho (2) luụn ỳng, ngha l t: 2 1y x= + , khi ú ta cú phng trỡnh : ( ) 2 2 1 ( 2 1) 1 2 2x x x x x+ = + + + = + Vy gii phng trỡnh : 2 2 2x x x+ = + ta t li nh trờn v a v h Bng cỏch tng t xột h tng quỏt dng bc 2 : ( ) ( ) 2 2 x ay b y ax b + = + + = + , ta s xõy dng c phng trỡnh dng sau : t y ax b + = + , khi ú ta cú phng trỡnh : ( ) 2 a x ax b b + = + + Tng t cho bc cao hn : ( ) n n a x ax b b + = + + Túm li phng trỡnh thng cho di dng kia trin ta phi vit v dng : ( ) ' ' n n x p a x b + = + + v t n y ax b + = + a v h , chỳ ý v du ca Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn vit di dng: ( ) ' ' n n x p a x b + = + + l chn c. Dng h gn i xỳng: Ta xột h sau : 2 2 (2 3) 2 1 (1) (2 3) 3 1 x y x y x = + + = + õy khụng phi l h i xng loi 2 nhng chỳng ta vn gii h c , v t h ny chỳng ta xõy dng c bi toỏn phng trỡnh sau: Vớ d 1: Gii phng trỡnh: 2 4 5 13 3 1 0x x x+ + + = Nhn xột : Nu chỳng ta nhúm nh nhng phng trỡnh trc : 2 13 33 2 3 1 4 4 x x = + ữ t 13 2 3 1 4 y x = + thỡ chỳng ta khụng thu c h phng trỡnh m chỳng ta cú th gii c. thu c h (1) ta t : 3 1y x + = + , chn , sao cho h chỳng ta cú th gii c , (i xng hoc gn i xng ) Ta cú h : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 1 0 (1) 3 1 (*) 4 13 5 0 (2) 4 13 5 y y x y x x x y x x y + + = + = + + + + = + = gii h trờn thỡ ta ly (1) nhõn vi k cng vi (2): v mong mun ca chỳng ta l cú nghim x y= [...]... 0 (ptvn) x [0;1] ta t : x = cos t , t 0; Khi ú phng trỡnh tr thnh: 2 1 1 1 2 6 cos x 1 + sin t ữ = 2 + sin t cos t = vy phng trỡnh cú nghim : x = 6 6 2 Bi 2 Gii cỏc phng trỡnh sau : 1 2x 1 + 2x 1 + 2cos x + 1) 1 2 x + 1 + 2 x = DH: tan x = 1 + 2x 1 2x 1 2cos x 1 2) 1 + 1 x 2 = x 1 + 2 1 x 2 s: x = 2 ( ) Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT... + x 2 3 3 3 4) 6 x + 1 = 8 x 4 x 1 15 5) ( 30 x 2 4 x ) = 2004 30060 x + 1 + 1 2 6) 3 3 x 5 = 8 x3 36 x 2 + 53 25 ( Phng phỏp t n ph khụng hon ton ) Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc T nhng phng trỡnh tớch ( )( x +1 1 ) x +1 x + 2 = 0 , ( 2x + 3 x )( ) 2x + 3 x + 2 = 0 Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt... 1) t + 2 ( x 1) = 0 t = x 1 T mt phng trỡnh n gin : ( 1 x 2 1+ x )( ) 1 x 2 + 1 + x = 0 , khai trin ra ta s c pt sau Bi 3 Gii phng trỡnh sau : 4 x + 1 1 = 3 x + 2 1 x + 1 x 2 Gii: Nhn xột : t t = 1 x , pttt: 4 1 + x = 3x + 2t + t 1 + x (1) ( ) 2 Ta rt x = 1 t 2 thay vo thỡ c pt: 3t 2 + 1 + x t + 4 ( ) 1+ x 1 = 0 ( Nhng khụng cú s may mn gii c phng trỡnh theo t = 2 + 1 + x khụng cú dng... = 2 ( 4 x ) + ( 9 + 2 ) x 8 lm sao cho t cú dng chỡnh phng Nhn xột : Thụng thng ta ch cn nhúm sao cho ht h s t do thỡ s t c mc ớch t nhiu n ph a v tớch Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Xut phỏt t mt s h i s p chỳng ta cú th to ra c nhng phng trỡnh vụ t m khi gii nú chỳng ta li t nhiu n ph v tỡm mi quan h gia cỏc n ph a v h 3 Xut phỏt... gii h ny ta tỡm c 3 x + y = 35 ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tc l nghim ca phng trỡnh l x {2;3} 1 2 1 x + 4 x = 4 Bi 2 Gii phng trỡnh: 2 iu kin: 0 x 2 1 Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc 2 1 x = u 0u t 4 x =v 2 1,0 v 4 2 1 1 1 u = 4 2 v u + v = 4 2 Ta a v h phng trỡnh sau: 2 u 2 + v 4 = 2 1 1 v + v 4 = 2 1 ữ 4 2 2 1... 9 5 x ) 2 Dựng bt ng thc A m Mt s phng trỡnh c to ra t du bng ca bt ng thc: nu du bng (1) v B m (2) cựng dt c ti x0 thỡ x0 l nghim ca phng trỡnh A = B Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Ta cú : 1 + x + 1 x 2 Du bng khi v ch khi x = 0 v x +1 + ch khi x=0 Vy ta cú phng trỡnh: 1 2008 x + 1 + 2008 x = 1 2 , du bng khi v x +1 1 + 1+ x x +1... 4 4 x + 4 x + 13 v x 3 3x 2 8 x + 40 0 ( x 3) Bi tp ngh Gii cỏc phng trỡnh sau 1 2x 1 + 2x + 1) 1 2 x + 1 + 2 x = 1 + 2x 1 2x 2 ( x + 3) x + 13 Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc 2) 4 x + 4 1 x + x 1 x = 2 + 4 8 3) 2 x 4 + 8 = 4 4 + x 4 + 4 x 4 4 4) 16 x 4 + 5 = 6 3 4 x 3 + x 5) x 3` 3x 2 8 x + 40 8 4 4 x + 4 = 0 6) 8 + x 3 +... xõy dng phng trỡnh : f ( x) = f ( ) 3x 1 2 x 3 + x 2 + 1 = 2 2 x 3 + x 2 3x + 1 = 2 ( 3 x 1) 3 x 1 ( ) 3 3x 1 + (3 x 1) 2 + 1 , Rỳt gn ta c phng trỡnh Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc ( T phng trỡnh f ( x + 1) = f 2 x 3 + 7 x 2 + 5 x + 4 = 2 ( 3 x 1) ) 3x 1 thỡ bi toỏn s khú hn ( 3x 1) gi hai bi toỏn trờn chỳng ta cú th lm nh sau :... : x = tan t 2 2 Nu : x , y l hai s thc tha: x 2 + y 2 = 1 , thỡ cú mt s t vi 0 t 2 , sao cho x = sin t , y = cos t T ú chỳng ta cú phng phỏp gii toỏn : Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc x = cos y Nu : x 1 thỡ t sin t = x vi t ; hoc vi y [ 0; ] 2 2 Nu 0 x 1 thỡ t sin t = x , vi t 0; hoc x = cos y , vi y 0; 2 2 2...Ph ơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc 2 2 3 2 1 = = Nờn ta phi cú : , ta chn c ngay = 2; = 3 4 13 5+ Ta cú li gii nh sau : 1 iu kin: x , 3 3 3 x + 1 = (2 y 3), ( y ) 2 (2 x 3) 2 . Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Qua quỏ trỡnh ging dy v hc tp. th li hai giỏ tr ny l cn thit. Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc Nh vy trong mt phng trỡnh cha