TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ TỔ TOÁN - TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN - Khối A + B Ngày thi: 25/11/2010 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 2 1= + − −y x mx m (1) với m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1. 2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: sin cos sin cosx x x x + = + − 3 2 4 2 3 4 4 2. Giải hệ phương trình : 2 2 1 ( ) 4 ( 1)( 2)  + + + =   + + − =   x y x y y x x y y Câu III. (2,0 điểm) 1. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x thuộc tập xác định: ( ) m x x x x x − − ≥ − + − 2 3 2 2 2 3 2 4 2 4 2. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b a b = + + + 2 2 2 2 1 1 . Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Câu V (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 7)- , phương trình một đường cao và một trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là: 3x y 11 0, x 2y 7 0+ + = + + = . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. 2. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 4 8 2 log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + + . Câu VI. (1 điểm) Tìm hệ số của x trong khai triển: n x x   +  ÷   3 1 , biết ( ) n n C C n + + − = + 3 3 4 3 7 3 .… Hết … . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………; Số báo danh: ……… ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2010 -2011 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I-1 (1 điểm) Với m = -1 ta có y = x 4 - 2x 2 . * Tập xác định D = R * Sự biến thiên: -Chiều biến thiên: y’ = 4x 3 - 4x = 4x(x 2 - 1); y’ = 0 ⇔ x x =   = ±  0 1 . Dấu của y’: x -∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞; - 1) và (0; 1). Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1 ; + ∞). - Cực trị: + Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y CT = -1. + Hàm số đạt cực đại tại x = 01, y CĐ = 0. 0,25 - Giới hạn: 4 2 2 lim lim (1 ) →±∞ →±∞ = − = +∞ x x y x x . 0,25 -Bảng biến thiên: x -∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ -1 0 -1 +∞ 0,25 Đồ thị: - Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm: (0;0), ( 2 ; 0), (- 2 ;0) - Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 0) - Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. 0,25 I-2 (1 điểm) 4 2 2 1= + − −y x mx m y’ = 4x 3 + 4mx; y’ = 0 ⇔ x x m =   = −  2 0 . Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi m < 0. 0,25 Khi đó hoành độ các điểm cực trị là x = 0, x = m− − , x = m− . Gọi A(0; - m -1), B( m− − ; -m 2 - m - 1), C( m− ; -m 2 - m - 1) là toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số. 0,25 Gọi H là trung điểm BC, có H(0; -m 2 - m - 1). . . ABC S AH BC m m m m= = − = − 2 2 1 1 2 2 2 0,25 ABC S = 4 2 ⇔ m m m− = ⇔ = − 2 4 2 2 (t/m). 0,25 4 2 -2 -4 -10 -5 5 10 O - 2 2 -1 II-1 (1 điểm) ⇔ sin cos ( cos ) sin cosx x x x x + − = + − 2 6 4 2 1 3 4 4 ⇔ cos ( sin cos ) sin cosx x x x x + = + 2 3 4 3 4 0,25 2cos 1 0 3sin 4cos 0 − =  ⇔  + =  x x x 0,25 1 2 cos 3 2 4 4 arctan tan 3 3   = ± + =    ⇔ ⇔      − + = −  ÷       x k x k x π π π 0,5 II-2 (1 điểm) Dễ thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình: hệ 2 2 1 4 1 ( 2) 1  + + + =   ⇔  +  + − =   x x y y x x y y . Đặt 2 1  + =  ⇔   = +  x u y v x y đưa hệ về dạng 4 ( 2) 1 + =   − =  u v u v 0,5 4 1 (4 )( 2) 1 3 = − =   ⇔ ⇔   − − = =   u v u v v v 0,25 Với 1 3 =   =  u v có 2 2 2 1 1 1 1 2 0 2 3 3 3 3  =   + =   + = + − =    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −      = − = −     + = = −   x x x y x x x y y x y x x y y x KL: HPT có nghiệm: (1 ; 2), (-2 ; 5) 0,25 III - 1 (1 điểm) ĐK: -2 < x < 2 . BPT ⇔ ( )( )m x x x x m x x x− − ≥ − + ⇔ ≥ − + + + 2 3 2 2 4 3 2 3 2 4 2 2 5 8 0,25 Xét hàm số x x x− + + + 4 3 2 2 5 8 với -2 < x < 2. Có : '( )f x x x x= − + + 3 2 4 6 10 ; f’(x) = 0 ⇔ / x x x =   = −   =  0 1 5 2 . BBT: x -2 -1 0 2 y’ + 0 - 0 + y -4 10 8 28 0,25 0,25 Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi x ∈(-2; 2) khi m >28. 0,25 III - 2 (1 điểm) Vì ,a b > 0 , Áp dụng BĐT Côsi ta có: ,a a b b+ ≥ + ≥ 2 2 1 1 4 4 ⇒ a b a b+ ≥ + − = 2 2 1 1 2 2 . Dấu “=” xảy ra ⇔ a b= = 1 2 . Mặt khác: a b ab a b + ≥ ≥ = +    ÷   2 2 2 1 1 2 2 8 2 . Dấu “=” xảy ra ⇔ a b= = 1 2 . 0,5 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 17 2 . Đạt được khi a b= = 1 2 0,25 IV (1 điểm) Gọi E là trung điểm của AB, ta có: ,OE AB SE AB⊥ ⊥ , suy ra ( ) SOE AB⊥ . Dựng ( ) OH SE OH SAB⊥ ⇒ ⊥ , vậy OH là khoảng cách từ O đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1. Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 8 1 9 9 9 3 8 2 2 OH SO OE OE OH SO OE OE = + ⇒ = − = − = ⇒ = ⇒ = 2 2 2 9 81 9 9 8 8 2 2 SE OE SO SE= + = + = ⇒ = 0,25 2 1 36 . 8 2 9 2 2 2 SAB SAB S S AB SE AB SE = ⇔ = = = ( ) 2 2 2 2 2 2 1 9 9 265 4 2 32 2 8 8 8 OA AE OE AB OE   = + = + = + = + =  ÷   0,25 Thể tích hình nón đã cho: 2 1 1 265 265 . . .3 3 3 8 8 V OA SO π π π = = = Diện tích xung quanh của hình nón đã cho: 2 2 2 265 337 337 9 8 8 8 265 337 89305 . . . 8 8 8 xq SA SO OA SA S OA SA π π π = + = + = ⇒ = = = = 0,25 0,25 V.-1 (1 điểm) Vì A(2; -7) không thuộc hai đường thẳng đã cho nên ta có thể giả sử phương trình đường cao qua B là BH: 3x + y + 11 = 0 và phương trình đường trung tuyến kẻ từ C là CI: x + 2y + 7 = 0 Đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác ABC đi qua A và nhận vecto chỉ phương của BH làm vecto pháp tuyến. Suy ra AC có phương trình là: 1.(x - 2) - 3(y + 7) = 0 ⇔ x - 3y - 23 = 0 0,25 + Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: ( ; ) x y x C x y y − − = =   ⇔ ⇒ −   + + = = −   3 23 0 5 5 6 2 7 0 6 . 0,25 Gọi B(x 1 ; y 1 ). Có B ∈ BH nên: 3x 1 + y 1 + 11 = 0 (1) Toạ độ trung điểm I của AB là: I( ; x y+ − 1 1 2 7 2 2 ). I ∈ CI nên: x y + + − + = 1 1 2 7 7 0 2 (2) Từ (1) và (2) ta có x 1 = -4; y 1 = 1. Suy ra B(-4; 1). 0,25 + Đường thẳng AB đi qua A và B nên có PT là: 4x + 3y + 13 = 0. + Đường thẳng BC đi qua B và C nên có phương trình là: 7x + 9y +19 = 0 0,25 ( ) ( ) 2 3 4 8 2 log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + + (2) Điều kiện: 1 0 4 4 4 0 1 4 0 x x x x x + ≠  − < <   − > ⇔   ≠ −   + >  0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16 log 4 1 log 16 4 1 16 x x x x x x x x x ⇔ + + = − + + ⇔ + + = − ⇔ + = − ⇔ + = − 0,25 + Với 1 4x− < < ta có phương trình 2 4 12 0 (3)x x+ − = ; ( ) 2 (3) 6 x x =  ⇔  = −  lo¹i 0,25 + Với 4 1x− < < − ta có phương trình 2 4 20 0x x− − = (4); ( ) ( ) 2 24 4 2 24 x x  = − ⇔  = +   lo¹i Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2x = hoặc ( ) 2 1 6x = − . 0,25 VI. (1 điểm) Ta cã ( )! ( )! ( ) ( ) !( )! ! ! n n n n C C n n n n + + + + − = + ⇔ − = + + 3 3 4 3 4 3 7 3 7 3 3 1 3 ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) n n n n n n n n n n n n + + + + + + ⇔ − = + ⇔ + + − + + = ⇔ = 4 3 2 3 2 1 7 3 6 6 4 2 2 1 42 12 0,5 Xét khai triển ( ) k k k k k k k x C x C x x x − − = =     + = =  ÷  ÷     ∑ ∑ 12 12 5 4 12 12 6 12 12 3 3 0 0 1 1 Hệ số của x trong khai triển trên là k C 12 ứng với k k − = ⇔ = 5 4 1 2 6 . Vậy x trong khai triển trên là C = 2 12 66 0,5 . TOÁN - TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN - Khối A + B Ngày thi: 25/11 /2010 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu. coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………; Số báo danh: ……… ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2010 -2 011