Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin Bài 1 ( 3 điểm) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: ( ) ( ) 3 2 1 2 3 1 3 y f x x x x C= = − + − ( 2 điểm) b. Tìm m để đường thẳng ( ) 2 1d y mx= − cắt ( ) C tại 3 điểm phân biệt? ( 1 điểm) Bài 2 ( 3 điểm) a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 2 2 2sin 2 3 f x cos x x = + − , với 0; 2 x π   ∈     ( 1 điểm) b. Giải phương trình 2 1 9 3 log 6log 1 0x x − − = ( 1 điểm) c. Giải hệ phương trình 2 3 2 0 27 3 .9 0 x y x x y  − + =   − =   ( 1 điểm) Bài 3 ( 1 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) 2 1 1 1 m x m x m y C x + + + + = + , m là tham số. Chứng minh rằng m ∀ bất kỳ, đồ thị ( ) m C luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị ( ) m C đến đường thẳng ( ) 3 4 2 0x y ∆ − + = bằng 4 ? ( 1 điểm) Bài 4 (3 điểm) Cho hình chóp .S ABC có ( ) SA ABC⊥ , đáy là ABC∆ vuông cân tại A . Biết 2 , 3, 3SA a AB a AC a= = = a. Tính thể tích của khối chóp .S ABC . ( 1,5 điểm) b. Xác định tâm I , tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . ( 1 điểm) c. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , , SB SC AC . Mặt phẳng ( ) MNP cắt AB tại Q . Tính diện tích toàn phần của khối đa diện MNPQBC . ( 0,5 điểm) --------------------------------------------------Hết ---------------------------------------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I- MÔN TOÁN Lớp 12- Ban khoa học tự nhiên Năm học 2010- 2011 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Đề chẵn ĐỀ THI HỌC KỲ I- MÔN TOÁN Lớp 12- Ban khoa học tự nhiên Năm học 2010- 2011 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Đề chẵn Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin Bài 1 ( 3 điểm) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: ( ) ( ) 3 2 1 2 3 1 3 y f x x x x C= = − + − Tập xác định D R= ( 0,25 điểm) Giới hạn 3 2 3 2 1 1 lim 2 3 1 ; lim 2 3 1 3 3 x x x x x x x x →+∞ →−∞     − + − = +∞ − + − = −∞  ÷  ÷     ( 0,25 điểm) Ta có 2 2 1 1 ' 4 3; ' 0 4 3 0 3 3 1 x y y x x y x x x y  = =   = − + = ⇔ − + = ⇔ ⇒   =  = −  ( 0,25 điểm) Bảng biến thiên ( 0,5 điểm) Hàm số nghịch biến trên ( ) 1;3 , đồng biến trên ( ) ;1−∞ và ( ) 3;+∞ Điểm cực tiểu ( ) 1 3; 1I − , điểm cực đại 2 1 1; 3 I    ÷   Ta có '' 2 4; '' 0 2 4 0 2y x y x x= − = ⇔ − = ⇔ = . Điểm uốn 1 2; 3 I   −  ÷   ( 0,25 điểm) Điểm đặc biệt: ( ) 0; 1A − , 1 4; 3 B    ÷   . Đồ thị hàm số nhận điểm uốn 1 2; 3 I   −  ÷   làm tâm đối xứng. ( 0,5 điểm) b. Tìm m để đường thẳng ( ) 2 1d y mx= − cắt ( ) C tại 3 điểm phân biệt? 2 1 3 1 − + 0 1 − ∞ 3 0 +∞ +∞ − ∞ +- x ( ) 'f x ( ) f x . 0 -2 A 2 -1 x y I 1 -2 3 4 . . . . . . . . B . -1 Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và ( ) d là: 3 2 3 2 2 2 1 1 1 2 3 1 = 2 1 2 3 2 0 2 3 2 0 3 3 3 0 1 2 3 2 0 3 x x x mx x x x mx x x x m x x x m   − + − − ⇔ − + − = ⇔ − + − =  ÷   =   ⇔  − + − =  Đặt ( ) 3 1 2 3 2 3 g x x x m= − + − ( 0,5 điểm) Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình ( ) 0g x = có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ( ) ( ) 1 0 1 3 2 0 ' 0 3 3 0 0 3 2 2 m m g m m  > − − >   ∆ >     ⇔ ⇔ ⇒    ≠ ≠     ≠    ( 0,5 điểm) Bài 2 ( 3 điểm) a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 2 2 + 2sin 2 3 f x cos x x = − , với 0; 2 x π   ∈     Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2sin 2 sin 2sin , 0; 2 3 6 2 f x x sinx f x x x x π   = − + − ⇔ = − + − ∈     ( 0,25 điểm) Đặt ( ) [ ] 2 1 sin , 0 t 1 2 , 0;1 6 t x f t t t t= ≤ ≤ ⇒ = − + − ∈ . ( 0,25 điểm) ( ) ( ) [ ] ' 2 2, ' 0 1, 0;1f t t f t t t= − + = ⇔ = ∀ ∈ . ( 0,25 điểm) Ta có: ( ) ( ) 1 5 0 ; 1 6 6 f f= − = Gía trị lớn nhất là : [ ] ( ) ( ) ( ) 0;1 0; 2 5 5 max 1 t 1 max ; 6 6 2 f t f khi f x khi x π π       = = = ⇔ = = Giá trị nhỏ nhất là: [ ] ( ) ( ) ( ) 0;1 0; 2 1 1 min 0 t 0 min 0 6 6 f t f khi f x khi x π       = = − = ⇔ = − = Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1 6 − khi 0x = , đạt giá trị lớn nhất là 1 6 2 khi x π = ( 0,25 điểm) b. Phương trình 2 1 9 3 log 6log 1 0x x− − = . Điều kiện 0x > ( 0,25 điểm) Phương trình tương đương: 2 3 3 4log 3log 1 0x x − − = Đặt 3 logt x= , ta có phương trình: ( 0,25 điểm) 3 Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin 3 2 3 4 3 log 1 1 4 3 1 0 1 1 1 log 3 4 4 x x t t t x t x = =  =      − − = ⇔ ⇔ ⇒    = = − = −     ( 0,5 điểm) c. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 3 +2 = 0 1 27 3 .9 0 2 x x x y y  −   − =   ( ) 2 2 2 2 27 3 .9 3 3 x y x y x x y⇔ = ⇔ = ⇔ = thay vào phương trình ( ) 1 ta được: 2 1 1 1 1 3 2 0 2 4 2 2 y y y x y y y x y y =    = = − =   − + = ⇔ ⇔ ⇒    = = =     = −  ( 0,5 điểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1 ; 1; 1 ; 4;2 ; 4; 2− − ( 0,5 điểm) Bài 3 ( 1 điểm) Tập xác định { } \ 2D R= − ( 0,25 điểm) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ' ' 1 1 x m x x x m x m x x y y x x     + + + − + + + + +     = ⇔ = + + 2 0 1 ' 0 2 0 2 3 x y m y x x x y m = = +   = ⇔ + = ⇔ ⇒   = − = −   ( 0,25 điểm) Dựa vào đồ thị, điểm cực đại là: ( ) 1 2; 3I m− − ( 0,25 điểm) Phương trình đường thẳng ( ) 3 4 2 0x y∆ − + = . Khoảng cách từ điểm cực đại ( ) 1 2; 3I m− − của hàm số đến đường thẳng ( ) 3 4 2 0x y∆ − + = là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3. 2 4 3 2 8 4 ; 4 2 5 3 7 5 3 4 m m d I m m m − − − + − ∆ = = = ⇔ − = ⇔ = − ∨ = + − ( 0,25 điểm) 4 2 − 3m − 1m + + 0 − ∞ 0 0 +∞ +∞ − ∞ +- x ( ) 'f x ( ) f x - 1 − Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin Bài 4 (3 điểm) Vẽ hình đúng ( 0,5 điểm) a. Do ( ) SA ABC⊥ nên SA là đường cao của hình chóp .S ABC . Thể tích của khối chóp là: ( ) 1 . 3 V SA dt ABC= ∆ ( 0,25 điểm) Mà ABC ∆ vuông cân tại C ( ) 2 1 1 3 . 3. 3 2 2 2 a dt ABC AC AB a a ∆ = = = ( 0,25 điểm) Suy ra 2 3 1 3 2 . 3 2 V a a a= = . ( 0,5 điểm) b. Gọi H là trung điểm BC . Ta có: HA HB HC= = (do ABC∆ vuông tại A ) Từ H dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . Suy ra d là trục mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA đi qua trung điểm E của SA , cắt d tại điểm I . Ta có ( ) 1IA IS= Tương tự, dựng mặt phẳng trung trực các cạnh ,SB SC . Ta có: ( ) 2IC IB IS= = Từ ( ) ( ) 1 , 2 suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp .S ABC . Bán kính R IA= . Ta có 2 2 10 2 a IA IH AH= + = ( 0,5 điểm) Diện tích mặt cầu là: 2 2 4 10S R a π π = = . Thể tích khối cầu là: 3 3 4 5 10 3 3 V R a π π = = ( 0,5 điểm) c. Mặt phẳng ( ) MNP cắt ( ) ABC theo giao tuyến PQ song song với BC , với Q là trung điểm của AB . ( 0,25 điểm) Diện tích toàn phần của khối đa diện MNPQBC bằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 3 3 9 3 33 6 3 9 3 33 2 4 4 8 8 2 2 8 8 dt MNPQ dt BMQ dt PNC dt BCPQ dt MNBC a a a a a a + + + + =   + + + + = + + +  ÷  ÷   ( 0,25 điểm) ------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 C S A B K E M N Q P I H d Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin Bài 1 ( 3 điểm) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: ( ) ( ) 3 2 1 2 3 1 3 y f x x x x C= = − + − + ( 2 điểm) b. Tìm m để đường thẳng ( ) 1d y mx= + cắt ( ) C tại 3 điểm phân biệt? ( 1 điểm) Bài 2 ( 3 điểm) a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 4 2 - 2sin 3 3 f x cos x x = − + , với 0; 2 x π   ∈     ( 1 điểm) b. Giải phương trình 2 2 2 2 2 4 log 5log 13log 4 0x x − + = ( 1 điểm) c. Giải hệ phương trình 1 1 2 16 4 3 0 y x xy − =     − − =  ( 1 điểm) Bài 3 ( 1 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 2 1 2 m x m x m m y C x + + + + = + , m là tham số. Tìm m để hàm số ( ) m C có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu bằng 5 ? ( 1 điểm) Bài 4 (3 điểm) Cho hình chóp .S ABC có ( ) SA ABC⊥ , đáy là ABC∆ vuông tại C . Biết 3, 2 , SA a AB a AC a= = = a. Tính thể tích của khối chóp .S ABC . ( 1,5 điểm) b. Gọi , H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A xuống , SC SB . Xác định tâm I , tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .H ABC . Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .H ABC và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .H ABC . ( 1 điểm) c. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp .A BHK và .A BCH ? ( 0,5 điểm) --------------------------------------------------Hết ---------------------------------------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) 6 ĐỀ THI HỌC KỲ I- MÔN TOÁN Lớp 12- Ban khoa học tự nhiên Năm học 2010- 2011 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Đề lẻ Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin Bài 1 ( 3 điểm) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: ( ) ( ) 3 2 1 2 3 1 3 y f x x x x C= = − + − + Tập xác định D R= ( 0,25 điểm) Giới hạn 3 2 3 2 1 1 lim 2 3 1 ; lim 2 3 1 3 3 x x x x x x x x →+∞ →−∞     − + − + = −∞ − + − + = +∞  ÷  ÷     ( 0,25 điểm) Ta có 2 2 1 1 ' 4 3; ' 0 4 3 0 3 3 1 x y y x x y x x x y  = = −   = − + − = ⇔ − + − = ⇔ ⇒   =  =  ( 0,25 điểm) Bảng biến thiên ( 0,5 điểm) Hàm số đồng biến trên ( ) 1;3 , nghịch biến trên ( ) ;1−∞ và ( ) 3;+∞ Điểm cực đại ( ) 1 3;1I , điểm cực tiểu 2 1 1; 3 I   −  ÷   Ta có '' 2 4; '' 0 2 4 0 2y x y x x= − + = ⇔ − + = ⇔ = . Điểm uốn 1 2; 3 I    ÷   ( 0,25 điểm) Điểm đặc biệt: ( ) 0;1A , 1 4; 3 B   −  ÷   . Đồ thị hàm số nhận điểm uốn 1 2; 3 I    ÷   làm tâm đối xứng. ( 0,5 điểm) 7 1 3 − 1 - 0 1 − ∞ 3 0 +∞ − ∞ -+ x ( ) 'f x ( ) f x 0 -2 A 2 -1 x y I 1 -2 3 4 . . . . . . . . . . . B ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I- MÔN TOÁN Lớp 12- Ban khoa học tự nhiên Năm học 2010- 2011 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Đề lẻ Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin b. Tìm m để đường thẳng ( ) 1d y mx= + cắt ( ) C tại 3 điểm phân biệt? Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và ( ) d là: 3 2 3 2 2 2 1 1 1 2 3 1 = 1 2 3 0 2 3 0 3 3 3 0 1 2 3 0 3 x x x mx x x x mx x x x m x x x m   − + − + + ⇔ − + + = ⇔ − + + =  ÷   =   ⇔  − + + =  ( 0,5 điểm) Đặt ( ) 2 1 2 3 3 g x x x m= − + + . Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình ( ) 0g x = có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ( ) ( ) 1 ' 0 0 1 3 0 3 0 0 3 3 m m g m m  ∆ >  < − + >    ⇔ ⇔ ⇒    ≠ ≠ −     ≠ −  ( 0,5 điểm) Bài 2 ( 3 điểm) a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 4 2 - 2sin 3 3 f x cos x x = − + , với 0; 2 x π   ∈     Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 2 1 2sin 2 sin 2sin 1, 0; 3 3 3 2 f x x sinx f x x x x π   = − − − + ⇔ = − + ∈     ( 0,25 điểm) Đặt ( ) [ ] 2 2 sin , 0 t 1 2 1, 0;1 3 t x f t t t t= ≤ ≤ ⇒ = − + ∈ . ( 0,25 điểm) ( ) ( ) [ ] 4 ' 2, ' 0, 0;1 3 f t t f t t= − < ∀ ∈ . ( 0,25 điểm) Gía trị lớn nhất: [ ] ( ) ( ) ( ) 0;1 0; 2 max 0 1 t 0 max 1 x 0f t f khi f x khi π       = = = ⇔ = = Giá trị nhỏ nhất là: [ ] ( ) ( ) ( ) 0;1 0; 2 1 1 min 1 t 1 min x 3 3 2 f t f khi f x khi π π       = = − = ⇔ = − = Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 khi 0x = , đạt giá trị nhỏ nhất là 1 3 2 khi x π − = . ( 0,25 điểm) b. Phương trình 2 2 2 2 2 4 log 5log 13log 4 0x x − + = . Điều kiện 0x > ( 0,5 điểm) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 log 5log 13log 4 0 log 5 2 2log 26 0 log 10log 16 0x x x x x x − + = ⇔ − − + = ⇔ + + = Đặt 2 logt x= , ta có phương trình: ( 0,25 điểm) 8 Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin 2 2 2 8 2 1 log 2 2 2 4 10 16 0 1 8 log 8 2 256 x x t x t t t x x x − −  =   = − = − =   + + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇒     = − = − =      =   ( 0,25 điểm) c. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 1 1 2 1 16 4 3 0 2 y x xy −  =    − − =  ( ) 1 1 2 y x ⇔ = thay vào phương trình ( ) 2 ta được: 1 2 4 4 16 4 3 0 4 3 0 3 0, t =4 0 4 y y y y y t t − − − = ⇔ − − = ⇔ − − = > ( 0,5 điểm) Phương trình 2 1 4 3 0 3 4 0 4 t t t t t t = −  − − = ⇔ − − = ⇔  =  ( 0,25 điểm) Kết hợp điều kiện, ta chọn 4 4 4 1 2 y t y x= ⇔ = ⇔ = ⇒ = ( 0,25 điểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) 2;1 Bài 3 ( 1 điểm) Tập xác định { } \ 2D R= − ( 0,25 điểm) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4 3 4 ' ' 2 2 x m x x x m x m m x x m m y y x x     + + + − + + + + + − + +     = ⇔ = + + Đặt ( ) 2 2 4 3 4g x x x m m= + − + + . Để hàm số đã cho có cực trị thì ' 0y = có hai nghiệm phân biệt khác 2− và 'y đổi dấu khi đi qua hai nghiệm phân biệt đó ( ) 0g x⇔ = có hai nghiệm phân biệt khác 2− . Ta có hệ: ( ) 2 2 ' 0 3 0 0 3 2 0 3 0 m m m m g m m ∆ >   − >   ⇔ ⇒ < ∨ >   − ≠ − + ≠     ( 0,25 điểm) Vậy ( ) ( ) ;0 3;m∈ −∞ ∪ +∞ thì hàm số đã cho có cực trị. Với ( ) ( ) ;0 3;m∈ −∞ ∪ +∞ , gọi hai điểm cực trị là ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; 2 2 2 ; ; 2 2 2I x x m I x x m+ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 5 5 2 2 5 5 5 4 1 *I I I I x x x x x x x x x x = ⇔ = ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ + − = Áp dụng hệ thức Viet, ta có 1 2 2 1 2 4 3 4 x x x x m m + = −    = − + +   . ( 0,25 điểm) Thay vào ( ) * ta được phương trình 2 3 10 2 4 12 1 0 3 10 2 m m m m  − =   − − = ⇔  + =   ( 0,25 điểm) 9 Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin Bài 4 (3 điểm) Vẽ hình đúng ( 0,5 điểm) a. Do ( ) SA ABC⊥ nên SA là đường cao của hình chóp .S ABC . Thể tích của khối chóp là: ( ) 1 . 3 V SA dt ABC= ∆ ( 0,25 điểm) Mà ABC ∆ vuông tại C nên diện tích là: ( ) 2 1 1 3 . . 3 2 2 2 a dt ABC AC BC a a ∆ = = = ( 0,25 điểm) Suy ra 3 2 1 3 3. 3 2 2 a V a a= = . ( 0,5 điểm) b. Ta có: ( ) BC SAC⊥ ( do ; BC AC BC SA⊥ ⊥ ) Suy ra BC AH⊥ . Mặt khác, SC AH⊥ .Từ đó, ( ) AH SBC AH HB⊥ ⇒ ⊥ . AHB∆ vuông tại H . Gọi I là trung điểm của AB , ta có ( ) 1IA IB IH= = ACB∆ vuông tại C , ta có ( ) 2IA IB IC= = Từ ( ) ( ) 1 , 2 suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .H ABC . Bán kính 2 AB R IA a= = = . ( 0,5 điểm) Diện tích mặt cầu là: 2 2 4 4S R a π π = = . Thể tích khối cầu là: 3 3 4 4 3 3 V R a π π = = ( 0,5 điểm) c. Tỉ số thể tích 2 khối chóp .A BHK và .A BCH Ta có ( ) 3 2 . . 1 1 1 1 3 . . . 3. . 3 3 2 3 8 8 A BCH B AHC a V V BC dt ACH BC AH HC a a= = ∆ = = = ( 0,25 điểm) ( ) 3 . . 1 1 1 3 . . . 3 3 2 14 H ABK B AHK a V V BK dt AHK BK AH HK= = ∆ = = Suy ra 3 . 3 . 3 12 14 1 7 8 A BHK A BCH a V V a = = ( 0,25 điểm) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 B S A C I K H