MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH TỨ GIÁC I/MỞ ĐẦU: * Chương I “Tứ giác” ở hình học 8 là chương đặt nền móng đầy đủ cho việc nghiên cứu đa giác trong học hình học phẳng ở chương trình THCS. Nó hoàn thiện kiến thức về tam giác và cơ sở để mở rộng về đa giác nói chung. * Nhiều năm dạy toán THCS tôi nhận thấy HS thường hay lúng túng khi một tứ giác có thêm hoặc bớt đi một điều kiện thì loại hình tứ giác đó thay đổi như thế nào?Do các em chưa nắm chắc mối quan hệ giữa các loại hình tứ giác đó . * Để phần nào giúp HS có cơ sở làm tốt những bài toán chứng minh về tứ giác . Tôi xin đưa ra một số yếu tố về cạnh , góc , đường chéo của tứ giác , vò trí của điểm ,tam giác … thay đổi thì sẽ kéo theo loại hình tứ giác đó thay đổi. Làm nền tảng cho HS vẽ hình , dự đoán và chứng minh được tứ giác đó là hình gì.Từ đó HS tính được độ dài cạnh , số đo góc … II/KẾT QUẢ: * Để đạt hiệu quả cao khi sử dụng mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác . HS phải hiểu chắc hệ thống kiến thức về chương tứ giác . * Các em phải nắm vững những đònh nghóa , tính chất , dấu hiệu nhận biết , lưu ý… của từng loại hình tứ giác . * Từ đó khi thêm hoặc bớt một điều kiện các em có thể dự đoán ngay loại hình mới và tìm cách để chứng minh . -Có thể dựa vào sơ đồ nhận biết các loại tứ giác -Có thể dựa vào tính chất đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục của từng loại hình tứ giác) - Nắm chắc hết các phương pháp để chứng minh 1 tứ giác là hình gì ? -Tìm các mối liên hệ của cùng một tiểu mục như : giữa đònh nghóa với nhau , tính chất với nhau , dấu hiệu nhận biết với nhau . Để thấy sự giống nhau và khác nhau của từng loại hình tứ giác . Từ đó không nhầm lẫn khi chứng minh hoặc tìm điều kiện để hình này trở thành hình khác . SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC 1 . 2 đường chéo = . 1 góc vuông . 1đường chéo là đường phân giác của 1 góc . 2đường chéo vuông góc . 2cạnh kề = Hình chữ nhật 1 góc vuông 2 cạnh bên song song .2đường chéo = . 1góc vuông Hình thoi . 1đường chéo là đường phân giác của 1 góc . 2đường chéo vuông góc . 2cạnh kề = Hình thang cân Hình bình hành Hình thang vuông . 2đường chéo = . 2góc kề đáy = Góc vuông 2 cạnh bên song song Hình thang . 2 đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường . Các cạnh đối = . 2 cạnh đối song song và = . Các cạnh đối = . Các cạnh đối song song 2 cạnh đối song song TỨ GIÁC 4 cạnh bằng nhau 3 góc vuông *Tôi xin minh hoạ 1 số trường hợp cụ thể bằng các bài toán sau . Lời giải trình bày gọn , chủ yếu là gợi ý. HS hiểu và làm lại chi tiết hơn . A.LÝ THUYẾT : Để giúp HS nắm đầy đủ các phương pháp chứng minh một tứ giác là hình gì , tôi xin giới thiệu bảng các phương pháp sau : 1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG CÂN Chứng minh tứ giác là một hình thang có PP1) Hai góc kề một đáy bằng nhau . PP2) Hai đường chéo bằng nhau . PP3) Hai góc đối bù nhau . PP4) Đường nối các trung điểm của hai đáy là trục đối xứng . 2-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH Chứng minh tứ giác có PP1) Hai cặp cạnh đối song song . 2 PP2) Hai cặp cạnh đối băng nhau từng đôi một . PP3) Các cặp góc đối bằng nhau . PP4) Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . PP5) Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau . PP6) Một tâm đối xứng . 3-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT Chứng minh tứ giác PP1) Là hình bình hành có một góc vuông . PP2) Có bốn góc bằng nhau . PP3) Là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau . PP4) Là hình thang cân có một góc vuông . PP5) Có các đường thẳng qua các trung điểm của mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác 4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THOI Chứng minh tứ giác PP1) Là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau . PP2) Có bốn cạnh bằng nhau . PP3) Là hình bình hành có các đường chéo vuông góc . PP4) Có mỗi đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo đó . PP5) Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy . PP6) Có mỗi đường thẳng qua hai đỉnh đối nhau là một trục đối xứng của nó . 5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH VUÔNG Chứng minh tứ giác PP1) Là hình thoi có một góc vuông . PP2) Là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau . PP3) Là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau . PP4) Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc . PP5) Có bốn trục đối xứng là các đường thẳng qua các đỉnh đối nhau , các đường thẳng qua trung điểm các cạnh đối nhau . B.ÁP DỤNG: 1.Phương pháp :Đường chéo của tứ giác cho trước thay đổi dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình . * Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện gì về đường chéo để : MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông ? * Giải : a) Vẽ 2 đường chéo AC,BD Ta có : , 2 AC MN AC MN =P (tính chất đường trung bình của tam giác ) , 2 AC PQ AC PQ =P 3 Q P N M D C B A Q P N M D C B A Q P NM D C B A Q P N M D C B A ,MN PQ MN PQ⇒ =P Vậy MNPQ là hình bình hành . b)- MNPQ là hình chữ nhật thì ˆ M = 1v AC BD ⇒ ⊥ - MNPQ là hình thoi thì MN = MQ AC BD⇒ = - MNPQ là hình vuông thì AC BD⊥ và AC = BD 2.Phương pháp :Vò trí điểm trên cạnh tam giác và tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABCV ,D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song AB và AC. Chúng cắt các cạnh AC , AB theo thứ tự tại E và F . a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Điểm D ở vò trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ? c)Nếu ABCV vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vò trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ? * Giải : a) Ta có : DE AFP (gt) DF AEP (gt) Vậy AEDF là hình bình hành . b)Vẽ đường chéo AD Để AEDF là hình thoi thì AD là phân giác  Vậy D là giao điểm của phân giác  và BC c) Nếu ˆ : 1ABC A v=V thì AEDF là hình chữ nhật Để AEDF là hình vuông thì :  = 1v và AD là phân giác 3. Phương pháp : Khi tứ giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình . * Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình thoi thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? * Giải : a) (Xem bài 1 phần a ) b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình bình hành (tương tự phần a) - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì : AC = BD MN MQ⇒ = Vậy MNPQ là hình thoi . - Nếu ABCD là hình thoi thì : AC BD ⊥ MN MQ⇒ ⊥ hay ˆ M = 1v Vậy MNPQ là hình chữ nhật . - Nếu ABCD là hình vuông thì : MN = MQ và ˆ M = 1v 4 F E D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A Q P N M D B C A Q P N M D C B A Q P N M D C B A Q P N M C B D A Vậy MNPQ là hình vuông . 4. Phương pháp :Khi hình thang cho trước thay đổi loại hình và góc dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho hình thang ABCD ( AB CDP ). Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB, AC, DC, BD . a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì ? c) Khi MNPQ là hình vuông . Tính các góc của hình thang ABCD. * Giải : a) Ta có : , 2 AD MQ AD MQ =P ( tính chất đường trung bình của tam giác ) , 2 AD NP AD NP =P ,MQ NP MQ NP⇒ =P Vậy MNPQ là hình bình hành b) Nếu ABCD là hình thang cân thì AD = BC MQ MN⇒ = Vậy MNPQ là hình thoi . c) Khi MNPQ là hình vuông thì ˆ M = 1v hay MQ MN DK CK⊥ ⇒ ⊥ nên ˆ C = ˆ D = 45 0 Do đó  = ˆ B = 135 0 5.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến các tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABCV cân tại A . Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC . Q là điểm đối xứng của P qua N . a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang . b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật . c) ABCV phải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân , APCQ là hình vuông . * Giải : a) Ta có : PN ABP (tính chất đường trung bình của tam giác ) hay AM PQP Vậy PMAQ là hình thang b) Ta có NA = NC (gt) NP = NQ ( tính chất đối xứng) ABCV cân tại A nên AP cũng là đường cao , do đó ; AP BC ⊥ hay ˆ P = 1v Vậy APCQ là hình chữ nhật . c) - Nếu PMAQ là hình thang cân thì Q = P mà Q = B (góc đối hình bình hành) P = A (góc đối hình thoi ) Do đó :  = ˆ B ˆ ˆ ˆ A B C⇒ = = Vậy ABCV đều 5 K Q P N M C B D A Q P N M B C D A Q P N M D C B A N P Q C B A Q N P M C A B Q N P M C B A - Nếu APCQ là hình vuông thì AP = PC (= 2 BC ) Vậy ABCV vuông cân tại A 6.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình và góc giữa 2 trung tuyến thay đổi dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABCV . Các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G . Gọi I,J là trung điểm GB, GC . a) Chứng minh tứ giác EFIJ là hình bình hành . b) ABCV phải có điều kiện gì để tứ giác EFIJ là hình chữ nhật ? c) Nếu BE CF⊥ thì tứ giác EFIJ là hình gì ? * Giải : a) Ta có : , 2 BC FE BC FE =P (tính chất đường trung bình của tam giác) , 2 BC IJ BC IJ =P ,FE IJ FE IJ⇒ =P Vậy EFIJ là hình bình hành . b) Để EFIJ là hình chữ nhật thì FJ = IE . Do đó BE = CF . Vậy ABCV cân tại A c) Nếu BE CF⊥ hay FJ IE⊥ Vậy EFIJ là hình vuông . * BÀI TẬP THAM KHẢO : Tôi xin giới thiệu thêm một số bài toán để HS thử sức và đồng nghiệp hướng dẫn cho các em . Với mục đích tìm thêm nguyên nhân mà tứ giác thay đổi loại hình . Từ đó thấy được mối liên hệ của các loại hình tứ giác thật phong phú đa dạng . 1. Cho ABCV , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AC , D là điểm đối xứng với M qua I . a) Tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ? b) Nếu ABCV có  = 90 0 thì tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ? c) Tìm điều kiện của ABCV để AMCD là hình vuông ? 2. Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo BD lấy E,K sao cho BE = DK . a) Chứng minh AKCE là hình bình hành . b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để AKCE là hình thoi ? 3. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Vẽ đường thẳng qua B và song song AC , vẽ đường thẳng qua C và song song BD . Hai đường đó cắt nhau tại K . a)Tứ giác OBKC là hình gì ? Vì sao ? b) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông ? 6 l G JI F E C B A G J I F E C B A JI G F E C B A 4. Cho tứ giác ABCD , các phân giác các góc Â, B,C,D cắt nhau tại M,N P,Q . a) Chứng minh tứ giác MNPQ có tổng các góc đối bù nhau . b) Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? c) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? d) Nếu ABCD là hình thoi , hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? 5. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E,F là trung điểm AB, CD . AF cắt BC tại G , BF cắt AD tại H. a) Chứng minh ABGH là hình thoi . b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để ABGH là hình vuông ? 6. Cho hình thang ABCD ( AB CDP ) . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD , DA . a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) Với điều kiện nào của hình thang ABCD thì MNPQ là hình thoi , hình vuông . 7. Cho ABCV , gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC . gọi M,N,P,Q là trung điểm AD, AE, EF, FD . a) Chứng minh các tứ giác ADFE, MNPQ là hình bình hành . b) Khi ABCV có A = 1v thì ADFE, MNPQ là hình gì ? Vì sao ? 8. Cho ABCV có AA’, BB’,CC’ là các trung tuyến , Trọng tâm G . Trên tia đối của tia B’G lấy D sao cho B’D = B’G . Trên tia đối của tia C’G lấy E sao cho C’E = C’G . a) Chứng minh BEDC là hình bìng hành . b) Tìm điều kiện của ABCV để BEDC là hình chữ nhật ? c) Tứ giác BEDC có thể là hình vuông , hình thoi được không ? Vì sao ? 9. Cho ABCV và H là trực tâm . Các đường thẳng vuông góc với AB tại B , vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D . a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành . b) Nếu ABCV có  = 1v thì BDCH là hình gì ? c) Tìm điều kiện của ABCV để BDCH là hình thoi ? 10. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M,N,P,Q là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD ,DA . Nối AN, BP, CQ, DM chúng cắt nhau tại E, F, G, H . a) Chứng minh EFGH là hình bình hành . b) Nếu ABCD là hình vuông thì EFGH là hình gì ? Chứng minh . III/ KẾT LUẬN : • Thực tế khi giảng dạy tôi nhận thấy nếu HS làm loại toán này được nhiều thì các em nhớ nhanh kiến thức các loại tứ giác đã học . • Khi mỗi một câu có điều kiện đưa ra tạo cho HS tích cực suy nghó và tiết học sẽ sôi nổi , sinh động hơn . • Rất mong các đồng nghiệp góp ý để “sáng kiến kinh nghiệm” có chất lượng hơn. HS nên tìm thêm nhiều bài toán dạng này và giải chi tiết , hình vẽ cụ thể cho từng trường hợp . Từ đó các em tìm được điều kiện nhanh và vô hình chung HS tích luỹ được nhiều kiến thức . Chúc các đồng nghiệp và các em HS thành công . , ngày 15/2/2009 Người viết : 7 8 . mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác 4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ H NH THOI Chứng minh tứ giác PP1) Là h nh bình h nh có hai cạnh liên tiếp. 5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ H NH VUÔNG Chứng minh tứ giác PP1) Là h nh thoi có một góc vuông . PP2) Là h nh chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau