Chương 2: Các phép biến đổi tích phân CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIỚI THIỆU Trong chương I sử dụng tính khai triển Laurent hàm giải tích hình vành khăn để xây dựng phép biến đổi Z Nhờ phép biến đổi Z ta biểu diễn tín hiệu số {x(n)} hàm giải tích X (z ) Trong chương nghiên cứu hai phép biến đổi tích phân biến đổi Laplace biến đổi Fourier ™ Nhiều vấn đề kỹ thuật, điện tử viễn thông, lý thuyết mạch…, đưa giải phương trình, hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân hàm đó, nghĩa phải giải phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng Việc giải trực tiếp phương trình nói chung khó Kỹ sư Heaviside người vận dụng phép biến đổi Laplace để giải toán liên quan đến mạch điện Phép biến đổi Laplace biến hàm gốc theo biến t thành hàm ảnh theo biến s Với phép biến đổi việc tìm hàm gốc thoả mãn biểu thức chứa đạo hàm, tích phân (nghiệm phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng…) quy tính tốn biểu thức đại số hàm ảnh Khi biết hàm ảnh, ta sử dụng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc cần tìm Trong mục ta giải hai toán phép biến đổi Laplace tìm biến đổi thuận, biến đổi nghịch vài ứng dụng Các hàm số chương ký hiệu x(t ), y (t ), thay cho f ( x), g ( x), x(t ), y (t ) ký hiệu cho tín hiệu phụ thuộc vào thời gian t ™ Phép biến đổi Fourier hữu hạn phát triển ý tưởng khai triển hàm số tuần hoàn thành chuỗi Fourier, hàm số hồn tồn xác định hệ số Fourier ngược lại Có ba dạng chuỗi Fourier: dạng cầu phương (công thức 2.57, 2.57'), dạng cực (công thức 2.63) dạng phức (công thức 2.64, 2.68) Phần mục trình bày ba dạng chuỗi Fourier, công thức liên hệ chúng kèm theo lời nhận xét nên sử dụng dạng trường hợp cụ thể Trường hợp hàm không tuần hoàn phép biến đổi Fourier rời rạc thay phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược xây dựng dựa vào cơng thức tích phân Fourier Khi hàm số biểu diễn cho tín hiệu biến đổi Fourier chúng gọi biểu diễn phổ Tín hiệu tuần hồn có phổ rời rạc, cịn tín hiệu khơng tuần hồn có phổ liên tục Đối số hàm tín hiệu thời gian đối số biến đổi Fourier tần số, phép biến đổi Fourier gọi phép biến đổi biến miền thời gian miền tần số Phép biến đổi Fourier rời rạc sử dụng để tính tốn biến đổi Fourier máy tính, tín hiệu rời rạc hoá cách chọn số hữu hạn giá trị mẫu theo thời gian phổ nhận số hữu hạn tần số Tuy nhiên để thực nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng thuật toán biến đổi Fourier nhanh 54 Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Hướng ứng dụng vào viễn thơng: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh vơ tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM NỘI DUNG 2.1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace Định nghĩa 2.1: Giả sử x(t ) hàm số thực xác định với t > Biến đổi Laplace hàm số x(t ) định nghĩa ký hiệu: ∞ L {x(t )} = X (s) = ∫ e − st x(t )dt (2.1) Phép biến đổi Laplace hàm số x(t ) gọi tồn tích phân (2.1) hội tụ với giá trị s thuộc miền Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace hàm số x(t ) không tồn Phép biến đổi Laplace thực hay phức biến số s hàm ảnh X ( s ) thực hay phức Theo thói quen người ta thường ký hiệu hàm gốc chữ thường x(t ), y (t ), cịn biến đổi chữ in hoa X ( s ), Y ( s ), Đôi ký hiệu ~ x ( s ), ~ y ( s ), 2.1.2 Điều kiện tồn Định nghĩa 2.2: Hàm biến thực x(t ) gọi hàm gốc thoả mãn điều kiện sau: 1) x (t ) = với t < 2) x(t ) liên tục khúc miền t ≥ Điều có nghĩa là, nửa trục thực t ≥ , hàm gián đoạn loại nhiều số hữu hạn điểm Tại điểm gián đoạn, hàm có giới hạn trái giới hạn phải hữu hạn 3) x(t ) không tăng nhanh hàm mũ t → ∞ Nghĩa tồn M > 0, α ≥ cho x (t ) ≤ Me α 0t , ∀ t > (2.2) α gọi số tăng x(t ) Rõ ràng α số tăng số α1 > α số tăng Ví dụ 2.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function) ⎧ nÕu t < η(t ) = ⎨ ⎩ nÕu t ≥ (2.3) Hàm bước nhảy đơn vị η(t ) liên tục với t ≥ , không tăng mũ với số tăng α0 = 55 Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Ví dụ 2.2: Các hàm sơ cấp x(t ) liên tục không tăng nhanh hàm mũ Nhưng chưa phải hàm gốc khơng thoả mãn điều kiện 1) định nghĩa 2.2 Tuy nhiên hàm số sau: nÕu t < nÕu t ≥ ⎧0 x(t )η(t ) = ⎨ ⎩ x(t ) (2.4) hàm gốc Định lý 2.1: Nếu x(t ) hàm gốc với số tăng α tồn biến đổi Laplace ∞ L {x(t )} = X (s) = ∫ e − st x(t )dt xác định với số phức s = α + iβ cho α > α lim Re( s ) → ∞ X (s) = Hơn hàm ảnh X ( s ) giải tích miền Re(s) > α với đạo hàm ∞ X ' ( s ) = ∫ (−t )e − st x(t )dt (2.5) Chứng minh: Với s = α + i β cho α > α , ta có: x(t )e ∞ (α −α ) t ∫ e dt hội tụ, tích phân ∞ ∫ x(t )e X ( s ) X ( s ) ≤ ∫ x(t )e − st dt hội tụ tuyệt đối Vì tồn biến đổi Laplace ∞ dt = ∫ x(t )e −α t − i β t e ∞ dt = ∫ x(t )e−α t dt Me( ) α −α t ≤ ∫ Me( ) dt = α0 − α α −α t ∞ Ngồi lim α →∞ Tích phân { M =0 ⇒ α − α0 lim Re( s )→∞ ∞ 0 − st ∫ x(t )e dt hội tụ tích phân miền s Re( s ) ≥ α1 với ∞ đạo hàm X ' ( s ) = ∫ ∂s (x(t )e ∂ − st ∞ = M α − α0 X ( s) = ∞ } ≤ Me(α0 −α )t mà 0 ∞ − st − st ( ) ∞ ∂ − st − st ∫ ∂s x(t )e dt = ∫ x(t )e (−t ) dt hội tụ α1 , α1 > α (theo định lý Weierstrass), suy hàm ảnh có )dt s thuộc miền Vì X (s) giải tích miền Re( s) > α 56 Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Nhận xét: Theo định lý hàm gốc có ảnh qua phép biến đổi Laplace Tên gọi "hàm gốc" vai trị phép biến đổi Từ ví dụ 2.2, cơng thức (2.4) suy hàm sơ cấp x(t ) có biến đổi L {x(t )η(t )} L {x(t )} Chẳng hạn ta viết L {sin t} thay cho L {η(t ) sin t}, L {1} thay cho L {η(t )} Laplace L {x(t )η(t )} Tuy nhiên, để đơn giản thay viết ta viết tắt lim x(t ) = x(0) Ta quy ước hàm gốc liên tục phải Nghĩa t →0+ Ví dụ 2.3: Vì hàm η(t ) có số tăng α = biến đổi ∞ L {1} = ∫ e − st ∞ e − st dt = −s = với s , Re( s ) > s Ví dụ 2.4: Hàm sin t có số tăng α = biến đổi ∞ L {sin t} = X (s) = ∫ e − st sin t dt tồn với s , Re( s ) > Áp dụng công thức tích phân phần ta được: X ( s ) = − cos te − st ∞ ( ∞ − ∫ se − st cos t dt = − se − st sin t ( ∞ ) ∞ − s ∫ e − st sin t dt ) ⇒ + s X (s) = ⇒ X (s) = 1+ s2 2.1.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 2.1.3.1 Tính tuyến tính Định lý 2.2: Nếu x(t ) , y (t ) có biến đổi Laplace với số A, B, Ax(t ) + By (t ) có biến đổi Laplace L {Ax(t ) + By (t )} = AL {x(t )} + BL {y (t )} Ví dụ 2.5: L {5 + sin t} = L {1} + L {sin t} = + s s2 +1 (2.6) 2.1.3.2 Tính đồng dạng Định lý 2.3: Nếu X ( s ) = L {x(t )} với a > , L {x(at )} = X ⎛⎜ s ⎞⎟ a Ví dụ 2.6: L {sin ωt} = ⋅ ω (s / ω) + = ω s + ω2 57 ⎝a⎠ (2.7) Chương 2: Các phép biến đổi tích phân 2.1.3.3 Tính dịch chuyển ảnh Định lý 2.4: Nếu X ( s ) = L {x(t )} với a ∈  , L {e at x(t )}= X (s − a ) Ví dụ 2.7: L {e at }= L {e } ⎧ L {sh ωt} = L ⎪⎨ e ⎧⎪ e ωt + e −ωt ⎫⎪ s ; L {ch ωt} = L ⎨ ⎬= 2 ⎪⎩ ⎪⎭ s − ω at ⇒ ⋅1 = s−a ωt ω − e −ωt ⎫⎪ ⎬= 2 ⎪⎭ s − ω ⎪⎩ (2.8) L {e at sin ωt}= ω ( s − a) + ω2 2.1.3.4 Tính trễ Định lý 2.5: Nếu X ( s ) = L {x(t )} với a ∈  , L {η(t − a) x(t − a)} = e − sa X (s ) (2.9) Đồ thị hàm η(t − a ) x (t − a ) có cách tịnh tiến đồ thị η(t ) x (t ) dọc theo trục hoành đoạn a Nếu x(t ) biểu diễn tín hiệu theo thời gian t x (t − a ) biểu diễn trễ a đơn vị thời gian trình x x η (t ) x(t ) t O Ví dụ 2.8: L {η(t − a)} = e O η (t − a) x(t − a ) a t − as s Ví dụ 2.9: Hàm xung (Impulse) hàm khác khơng khoảng thời gian ⎧0 ⎪ x(t ) = ⎨ϕ(t ) ⎪0 ⎩ nÕu t < a nÕu a < t < b nÕu t > b (2.10) Hàm xung đơn vị đoạn [a ; b ] : ⎧0 ⎪ η a,b (t ) = ⎨ ⎪0 ⎩ nÕu t < a nÕu a < t < b = η(t − a) − η(t − b) nÕu t > b (2.11) Hàm xung (2.10) biểu diễn qua hàm xung đơn vị x(t ) = η (t − a )ϕ (t ) − η (t − b)ϕ (t ) = ηa,b (t )ϕ (t ) 58 (2.12) Chương 2: Các phép biến đổi tích phân L {ηa,b (t )} = L {η (t − a)} − L {η (t − a)} = e x − as − e−bs s x ϕ (t ) a O O t b a t b x Ví dụ 2.10: Tìm biến đổi Laplace hàm bậc thang ⎧0 ⎪2 ⎪ x(t ) = ⎨ ⎪4 ⎪⎩ nÕu nÕu nÕu nÕu t < hc t > < t