Chương 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC 3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao 3.1.1. Định nghĩa Cho hàm f xác định trên N δ (x 0 ). Ta nói f có đạo hàm tại x 0 nếu tồn tại giới hạn (có thể vô hạn) f  (x 0 ) := lim h→0 f(x 0 + h) − f(x 0 ) h . f  (x 0 ) được gọi là đạo hàm của hàm f tại x 0 . Nếu f  (x 0 ) hữu hạn ta nói f khả vi tại x 0 . Ta cũng gọi đạo hàm trái, phải của f tại x 0 lần lượt là các giới hạn sau f  − (x 0 ) := lim h→0− f(x 0 + h) − f(x 0 ) h ; f  + (x 0 ) := lim h→0+ f(x 0 + h) − f(x 0 ) h . Rõ ràng, f có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi tồn tại các đạo hàm trái, phải tại điểm đó và f  − (x 0 ) = f  + (x 0 ). Nếu f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a; b) ta nói f khả vi trên (a; b). Ta nói f khả vi trên [a; b] nếu f khả vi trên (a; b) và có các đạo hàm hữu hạn f  + (a), f  − (b). Ý nghĩa hình học f  (x 0 ) (f  − (x 0 ), f  + (x 0 )) chính là hệ số góc của tiếp tuyến (tiếp tuyến trái, tiếp tuyến phải) của đồ thị hàm f tại điểm M 0 (x 0 , f(x 0 )). Ý nghĩa cơ học Nếu s(t) là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của quãng đường đi vào thời gian, thì s  (t) thể hiện vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. Còn nếu v(t) là hàm biểu diễn vận tốc tức thời của chất điểm thì v  (t) thể hiện gia tốc tức thời của chuyển động. 49 Đạo hàm cấp cao Giả sử f khả vi trên khoảng (a; b). Lúc đó f  là một hàm số trên (a; b). Hàm số này có thể lại có đạo hàm. Nếu đạo hàm đó tồn tại ta gọi đó là đạo hàm cấp hai của f, và ký hiệu là f  . Vậy, f  := (f  )  . Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm cấp ba f (3) = (f  )  , và các cấp cao hơn bằng công thức quy nạp f (n+1) := (f (n) )  , với quy ước f (0) = f, f (1) = f  . Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm ta thấy s  (t) là gia tốc tức thời của chuyển động khi s(t) là hàm biểu diễn quãng đường đi. Tính chất của hàm khả vi Mệnh đề 3.1. f khả vi tại x 0 khi và chỉ khi f được biểu diễn dưới dạng f(x) = f(x 0 ) + A(x − x 0 ) + α(x − x 0 ), với A là một hằng số và α(x − x 0 ) là một vô cùng bé của x − x 0 tại x 0 . Lúc đó, A = f  (x 0 ). Hệ quả 3.1. Nếu f khả vi tại x 0 thì f liên tục tại điểm đó. 3.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm Định lý 3.2. Cho f và g là hai hàm khả vi tại x 0 . Lúc đó các hàm f ± g, fg, λf và f g (nếu g(x 0 ) = 0) cũng khả vi tại x 0 . Hơn nữa, ta có a) (f ± g)  (x 0 ) = f  (x 0 ) ± g  (x 0 ); b) (λf)  (x 0 ) = λf  (x 0 ); c) (fg)  (x 0 ) = f  (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g  (x 0 ); d)  f g   (x 0 ) = f  (x 0 )g(x 0 ) − g(x 0 )f  (x 0 ) g(x 0 ) 2 . Định lý 3.3. Nếu ϕ khả vi tại x 0 và f khả vi tại ϕ(x 0 ), thì f ◦ ϕ khả vi tại x 0 và (f ◦ ϕ)  (x 0 ) = f  [ϕ(x 0 )].ϕ  (x 0 ). Định lý 3.4. Nếu f : (a; b) → (c; d) là song ánh liên tục và khả vi tại x 0 ∈ (a; b) sao cho f  (x 0 ) = 0. Lúc đó ánh xạ ngược f −1 cũng khả vi tại y 0 = f(x 0 ) và ta có (f −1 )  (y 0 ) = 1 f  (x 0 ) . 3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp Sử dụng định nghĩa ta có thể tính được đạo hàm của các hàm hằng (f(x) = C), hàm đồng nhất (f(x) = x), hàm sin, hàm cos và hàm e x . Từ đó, sử dụng các quy 50 tắc tính đạo hàm trong Mục 3.1.2. chúng ta dễ dàng suy ra các công thức tính đạo hàm của các hàm sơ cấp như sau: 1. y = C (= const) y  = 0, ∀x. 2. y = x y  = 1, ∀x. 3. y = e x y  = e x , ∀x. y = a x (a > 0) y  = a x ln a, ∀x. 4. y = ln x y  = 1 x , ∀x > 0. y = log a (x) (a > 0) y  = 1 x ln a , ∀x > 0. 5. y = x α (α ∈ R) y  = αx α−1 , ∀x > 0. 6. y = sin(x) y  = cos(x), ∀x. 7. y = cos(x) y  = − sin(x), ∀x. 8. y = tan(x) y  = 1 cos 2 (x) , ∀x = (2n + 1) π 2 . 9. y = cot(x) y  = − 1 sin 2 (x) , ∀x = nπ. 10. y = arcsin(x) y  = 1 √ 1 − x 2 , − 1 < x < 1. 11. y = arccos(x) y  = − 1 √ 1 − x 2 , − 1 < x < 1. 12. y = arctan(x) y  = 1 1 + x 2 , ∀x. 13. y = arccot(x) y  = − 1 1 + x 2 , ∀x. 3.2. Vi phân 3.2.1. Vi phân bậc nhất Cho hàm f xác định trên khoảng (a; b)  x 0 . Với mỗi số gia của biến số ∆x, ta ký hiệu số gia của hàm số bởi ∆y = f(x 0 + ∆x)− f(x 0 ). Ta muốn biểu diễn ∆y bằng một xấp xỉ tuyến tính của ∆x, cụ thể, ta cần tìm số A sao cho ∆y = A.∆x + ◦(∆x), với x 0 + ∆x ∈ (a; b). (3.1) Từ Mệnh đề 3.1 ta thấy biểu diễn (3.1) có được khi và chỉ khi f có đạo hàm hữu hạn tại x 0 , và A chính là đạo hàm của f tại điểm đó. Từ đó, f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) = f  (x 0 ).∆x + ◦(∆x). 51 Lúc này f khả vi tại x 0 và biểu thức: df(x 0 ) := f  (x 0 ).∆x được gọi là vi phân bậc nhất của hàm f tại x 0 ứng với số gia ∆x của biến số. Từ định nghĩa ta có ngay vi phân của biến độc lập đúng bằng số gia của biến số: dx = ∆x. Do đó, người ta thường viết vi phân dưới dạng df(x 0 ) = f  (x 0 ).dx. Bây giờ nếu f khả vi tại một điểm x ∈ (a; b) tuỳ ý thì ta cũng có vi phân của f tại điểm đó là biểu thức df(x) = f  (x).dx. Trong thực hành ta thường viết tắt: dy = df = f  dx. Từ các quy tắc tính đạo hàm ta dễ dàng suy ra các quy tắc tính vi phân tương ứng: d(f + g) = df + dg. d(λ.f) = λ.df. d(f.g) = f.dg + g.df. d  f g  = g.df − f.dg g 2 . Tính bất biến của vi phân bậc nhất. Giả sử hàm số hợp y = g(t) là hợp của hai hàm khả vi: y = f(x) và x = ϕ(t). Lúc đó nếu xem x như biến độc lập, ta có vi phân của y theo dx là: dy = f  (x).dx. (3.2) Mặt khác, nếu xem x là hàm của biến độc lập t thì y cũng là một hàm của t và ta có: dy = g  (t).dt = f  [ϕ(t)].ϕ  (t).dt, (3.3) dx = ϕ  (t).dt. (3.4) Chú ý rằng ϕ(t) = x, từ (3.3) và (3.4) ta nhận được trở lại công thức (3.2) nhưng dx lúc đó là vi phân của hàm x = ϕ(t). Ta nói vi phân bậc nhất có tính bất biến đối với phép đổi biến. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của hàm. Từ định nghĩa vi phân ta có, với số gia ∆x đủ nhỏ: f(x 0 + ∆x) ≈ f(x 0 ) + df(x 0 ) = f(x 0 ) + f  (x 0 ).∆x. Do đó giá trị ở vế phải thường được dùng để xấp xỉ giá trị hàm f tại x 0 +∆x. Chẳng hạn, tính gần đúng 3 √ 65; arctan(1, 02). 3.2.2. Vi phân cấp cao Giả sử hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b). Lúc đó df(x) là một hàm của x. Ta định nghĩa vi phân bậc hai của f là vi phân của df (nếu nó tồn tại) 52 và ký hiệu là d 2 f. Vậy: d 2 f := d(df). Một cách quy nạp, ta định nghĩa vi phân bậc n của f là d n f := d(d n−1 f). Chú ý rằng nếu x là biến độc lập thì đại lượng dx được xem là không đổi tại các điểm x khác nhau. Vì vậy d n x = 0 với mỗi n ≥ 2. Do đó d n f(x) = f (n) (x).(dx) n = f (n) (x).dx n . Vi phân cấp cao không có tính bất biến. Thật vậy, với y = f(x) và x = ϕ(t), bằng cách đặt g(t) = f[ϕ(t)] ta có vi phân bậc hai của y theo biến t là: d 2 y(t) = g  (t).dt 2 = (f  [ϕ(t)].ϕ  (t))  .dt 2 = f  [ϕ(t)].ϕ  (t) 2 .dt 2 + f  [ϕ(t)].ϕ  (t).dt 2 = f  (x).dx 2 + f  (x).d 2 x. (3.5) Trong khi đó, vi phân bậc hai của y theo biến x là d 2 y(x) = f  (x).d 2 x. (3.6) Từ (3.5) và (3.6) ta thấy vi phân bậc hai của y không bất biến qua phép đổi biến x = ϕ(t). 3.3. Các định lý cơ bản 3.3.1. Các định lý giá trị trung bình Cho hàm số f xác định trong một lân cận của điểm x 0 . x 0 được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) địa phương của f nếu tồn tại  > 0 sao cho ∀x ∈ N  (x 0 ) : f(x) ≥ f(x 0 ) (f(x) ≤ f(x 0 )). Trong cả hai trường hợp ta đều gọi x 0 là điểm cực trị (địa phương) của f hay f đạt cực trị tại x 0 . Định lý 3.5 (Fermat). Nếu f đạt cực trị địa phương tại x 0 và khả vi tại điểm đó thì f  (x 0 ) = 0. Định lý 3.6 (Rolle). Giả sử f liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và f (a) = f(b). Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f  (c) = 0. Định lý 3.7 (Lagrange). Giả sử f liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b). Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f  (c) = f(b) − f(a) b − a . (3.7) 53 Chú ý rằng, nếu chọn trước c thì không chắc tồn tại hai số a, b để a < c < b và (3.7) thoả mãn. Chẳng hạn, xét hàm f (x) = x 3 và c = 0. Định lý 3.8 (Cauchy). Cho f và g là các hàm liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b). Ngoài ra, g  (x) = 0 với mọi x ∈ (a; b). Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f(b) − f(a) g(b) − g(a) = f  (c) g  (c) . Hệ quả 3.2. Nếu f có đạo hàm bằng 0 trên khoảng (a; b) thì f là hàm hằng trên khoảng đó. Một hàm f được gọi là Lipschitz trên một tập A nếu tồn tại số dương L (gọi là hằng số Lipschitz) sao cho |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|; ∀x, y ∈ A. Hệ quả 3.3. Một hàm có đạo hàm bị chặn trên khoảng (a; b), thì Lipschitz trên khoảng đó. Ngoài ra, ứng dụng Định lý Fermat ta còn nhận được một kết quả quan trọng khác nói rằng hàm đạo hàm f  (cho dù không liên tục) cũng có tính chất là nhận mọi giá trị trung gian. Trước hết, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1. Giả sử f có đạo hàm trên đoạn [a; b] sao cho f  + (a) < 0 < f  − (b). Lúc đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f  (c) = 0. Định lý 3.9. Giả sử f có đạo hàm trên đoạn [a; b] sao cho f  + (a) < λ < f  − (b). Lúc đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f  (c) = λ. 3.3.2. Quy tắc L’Hospital Định lý 3.10. Cho f và g là các hàm khả vi trên (a; b), với −∞ ≤ a < b ≤ +∞, sao cho tồn tại các giới hạn lim x→a+ f(x) = lim x→a+ g(x) = 0, lim x→a+ f  (x) g  (x) = A ∈ R. Lúc đó, ta cũng có lim x→a+ f(x) g(x) = lim x→a+ f  (x) g  (x) = A. Kết quả tương tự cũng đúng cho trường hợp x → b− hay x → x 0 ∈ (a, b). Chứng minh. Trường hợp a > −∞. Đặt f(a) := 0, g(a) := 0. Áp dụng Định lý Cauchy. Trường hợp a = −∞. Xét các hàm F (t) := f(ln(t)), G(t) := g(ln(t)); t ∈ (0, e b ). 54 Định lý 3.11. Cho f và g là các hàm khả vi trên (a; b), với −∞ ≤ a < b ≤ +∞, sao cho tồn tại các giới hạn lim x→a+ f(x) = lim x→a+ g(x) = ±∞, lim x→a+ f  (x) g  (x) = A ∈ R. Lúc đó ta cũng có lim x→a+ f(x) g(x) = lim x→a+ f  (x) g  (x) = A. Kết quả tương tự cũng đúng cho trường hợp x → b− hay x → x 0 ∈ (a, b). Chứng minh. Trước tiên ta có nhận xét rằng A ≥ 0. Trường hợp A = +∞. Với mọi M > 0, tồn tại x 0 ∈ (a, b) sao cho với mọi u ∈ (a, x 0 ): f  (u) g  (u) > 4M. Lại tồn tại x 1 ∈ (a, x 0 ) để với mọi x ∈ (a, x 1 ):    f(x 0 ) f(x)    < 1 2 ,    g(x 0 ) g(x)    < 1 2 . Lúc đó, áp dụng Định lý Cauchy cho f, g trên [x, x 0 ] ta có f(x) g(x) > M; ∀x ∈ (a, x 1 ). Trường hợp A ∈ [0, +∞). Với mọi  ∈ (0, 1), đặt   := /4(1 + A), tồn tại x 0 ∈ (a, b) sao cho với mọi u ∈ (a, x 0 ):    f  (u) g  (u) − A    <   . Lại tồn tại x 1 ∈ (a, x 0 ) để với mọi x ∈ (a, x 1 ):    f(x 0 ) f(x)    <   ,    g(x 0 ) g(x)    <   . Lúc đó, áp dụng Định lý Cauchy cho f, g trên [x, x 0 ] ta có     f(x) g(x) − A     < ; ∀x ∈ (a, x 1 ). 3.4. Công thức Taylor 3.4.1. Đa thức Taylor Cho f là hàm có đạo hàm đến cấp n − 1 trên khoảng (a; b) và có đạo hàm cấp n hữu hạn tại điểm x 0 ∈ (a; b). Lúc đó, ta gọi đa thức sau là đa thức Taylor đến cấp n của f tại x 0 P n (x 0 ; f)(x) :=f(x 0 ) + f  (x 0 ) x − x 0 1! + f  (x 0 ) (x − x 0 ) 2 2! + ··· + f (n) (x 0 ) (x − x 0 ) n n! = n  k=0 f (k) (x 0 ) (x − x 0 ) k k! . (3.8) 55 Đa thức này cho một xấp xỉ của hàm f. Sự xấp xỉ càng tốt nếu n càng lớn và x càng gần x 0 . Ta gọi phần dư của hàm f tương ứng với xấp xỉ (3.8) là biểu thức sau: R n (x) := f(x) − P n (x 0 ; f)(x). 3.4.2. Ước lượng phần dư Định lý 3.12. Giả sử f có đạo hàm đên cấp n− 1 trên đoạn [a; b], có đạo hàm hữu hạn đến cấp n tại x 0 . Lúc đó R n (x) = o(x − x 0 ) n . Ngược lại, nếu Q n (x) := a 0 + a 1 (x − x 0 ) + ··· + a n (x − x 0 ) n là đa thức sao cho f(x) − Q n (x) = o(x − x 0 ) n , thì Q n (x) chính là đa thức Taylor đến cấp n của f tại x 0 ; Tức là: a k = f (k) (x 0 ) k! ; ∀k. Để chứng minh định lý này ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.2. Nếu S(x) là hàm khả vi đến cấp n − 1 trên khoảng (a, b), khả vi cấp n tại x 0 và S(x 0 ) = S  (x 0 ) = ··· = S (n) (x 0 ) = 0, thì S(x) = ◦(x − x 0 ) n . Định lý 3.13 (Taylor). Giả sử f khả vi liên tục đến cấp n trên đoạn [a; b], khả vi đến cấp n + 1 trên khoảng (a; b). Lúc đó, với mọi x ∈ [a; b] tồn tại c nằm giữa x 0 và x sao cho f(x) − P n (x 0 ; f)(x) = f (n+1) (c) (x − x 0 ) n+1 (n + 1)! Khi đó, ta có khai triển Taylor của hàm f tại x 0 đến cấp n: f(x) = n  k=0 f (k) (x 0 ) (x − x 0 ) k k! + f (n+1) (c) (x − x 0 ) n+1 (n + 1)! . Từ định lý này, ta thấy nếu |f (n+1) (x)| bị chặn bởi M trên (a; b), thì ta có ước lượng sai số của phép xấp xỉ hàm f bởi đa thức Taylor như sau: |f(x) − P n (x 0 ; f)(x)| ≤ M |x − x 0 | (n+1) (n + 1)! . Khai triển Taylor của f tại x 0 = 0 còn được gọi là khai triển Maclaurin: f(x) = n  k=0 f (k) (0) x k k! + f (n+1) (θx) x n+1 (n + 1)! , với θ ∈ (0; 1). 56 3.4.3. Các khai triển quan trọng e x = 1 + x + x 2 2! + ··· + x n n! + e θx x n+1 (n + 1)! . cos(x) = 1 − x 2 2! + x 4 4! − ··· + (−1) n x 2n (2n)! + (−1) n+1 sin(θx) x 2n+2 (2n + 2)! . sin(x) = x − x 3 3! + x 5 5! − ··· + (−1) n−1 x 2n−1 (2n − 1)! + (−1) n cos(θx) x 2n+1 (2n + 1)! . ln(1 + x) = x − x 2 2 + x 3 3 − ··· + (−1) n−1 x n n + (−1) n x n+1 (n + 1)(1 + θx) n+1 . (1 + x) α = 1 + αx+ α(α − 1) 2! x 2 + ··· + α(α − 1) .(α − n + 1) n! x n + α(α − 1) .(α − n) (n + 1)! x n+1 (1 + θx) α−n−1 . 3.5. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Trong mục này ta luôn giả thiết hàm f khả vi trên đoạn [a; b]. 3.5.1. Tính đơn điệu, cực trị Định lý 3.14. f không giảm (không tăng) trên [a; b] nếu và chỉ nếu f  (x) ≥ 0 (f  (x) ≤ 0) với mọi x ∈ (a; b). Định lý 3.15 (Điều kiện đủ cực trị dùng đạo hàm cấp 1). Cho x 0 ∈ (a; b). a) Nếu f  đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x 0 thì x 0 là điểm cực tiểu địa phương. b) Nếu f  đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 0 thì x 0 là điểm cực đại địa phương. c) Nếu f  giữ nguyên dấu khi đi qua x 0 thì x 0 không phải là điểm cực trị. Định lý 3.16 (Điều kiện đủ cực trị dùng đạo hàm cấp cao). Giả sử f có đạo hàm đến cấp n hữu hạn tại x 0 ∈ (a; b). Hơn nữa, f  (x 0 ) = f  (x 0 ) = ··· = f (n−1) (x 0 ) = 0 còn f (n) (x 0 ) = 0. Lúc đó a) Nếu n lẻ thì thì x 0 không phải là điểm cực trị. b) Nếu n chẵn và f (n) (x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu địa phương. c) Nếu n chẵn và f (n) (x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại địa phương. 57 3.5.2. Tính lồi lõm, điểm uốn Bổ đề 3.3. Một hàm f xác định trên đoạn [a; b] là lồi khi và chỉ khi với mọi bộ ba điểm x 1 < x 2 < x 3 thuộc đoạn đó các bất đẳng thức sau thoả mãn: f(x 2 ) − f(x 1 ) x 2 − x 1 ≤ f(x 3 ) − f(x 1 ) x 3 − x 1 ≤ f(x 3 ) − f(x 2 ) x 3 − x 2 . Định lý 3.17. Hàm f lồi trên [a; b] khi và chỉ khi f  là hàm không giảm trên (a; b). Hệ quả 3.4. Hàm f khả vi bậc hai là lồi trên [a; b] khi và chỉ khi f  là hàm không âm trên (a; b). Điểm M 0 (x 0 , f(x 0 )) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm f nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho f lõm (lồi) trên (x 0 − δ, x 0 ) và lồi (lõm) trên (x 0 , x 0 + δ). Định lý 3.18. Cho hàm f khả vi đến cấp hai trên N δ (x 0 ). Lúc đó, a) Nếu f  đổi dấu khi đi qua x 0 thì M 0 là điểm uốn. b) Nếu f  giữ nguyên dấu khi đi qua x 0 thì M 0 không phải là điểm uốn. 3.6. Thực hành tính toán trên Maple 3.6.1. Tính đạo hàm của một hàm số a) Tính đạo hàm cấp một. Cú pháp: [> diff(f(x), x); (dùng Diff thì cho công thức hình thức) Ví dụ: [> diff(sqrt(1+x∧2), x); x √ 1 + x 2 Nhiều lúc máy cho ta một biểu thức đạo hàm khá cồng kềnh. Lúc đó, muốn đơn giản biểu thức ta dùng lệnh simplify có cú pháp [> simplify(biểu thức); Ví dụ: [> f:=x− > cos(x)∧2/sin(2*x); f := x → cos(x) 2 sin(2x) [...]... khoảng đơn điệu của hàm số Vi c sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm được làm tương tự 3.7 Bài tập 3.1 Chứng minh hàm số f (x) = √ 3 x2 không khả vi tại 0 3.2 Khảo sát sơ lược và vẽ đồ thị các hàm số y= x ; 1 + |x| y= x 1 + x2 60 Từ đó cho biết bao đóng của các tập hợp A= x |x∈R ; 1 + |x| B= x |x∈R 1 + x2 3.3 Xét các hàm số sau, phụ thuộc hai tham số thực m và n: f (x) :=... tất cả các giá trị của m và n để mỗi hàm trên: a) liên tục trên R, b) khả vi trên R 3.4 Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng các biểu thức sau: √ 30 1.0012 (1.002)40 ; arctan(0.997); 3.5 Chứng minh hàm số sau khả vi trên R nhưng có đạo hàm không liên tục: f (x) = 1 x2 sin( x ); x = 0, 0; x = 0 3.6 Chứng minh hàm số sau khả vi vô hạn lần trên R: 1 f (x) = e− x2 ; x = 0, 0; x = 0 3.7 Cho hàm số y = f (x)... dáng điệu của hàm số chúng ta có thể vẽ ngay đồ thị của hàm đó Tuy nhiên, để biết chính xác toạ độ của các điểm cực trị, điểm uốn, khoảng đơn điệu, lồi lõm v.v chúng ta phải biết vận dụng lý thuyết và các kỹ thuật tính toán trên máy để đạt được mục đích Chẳng hạn, trước tiên chúng ta phải tính đạo hàm cấp một sau đó dùng kỹ thuật giải phương trình và bất phương trình để xác định các cực trị và các khoảng... định, tăng/giảm, cực trị, tiệm cận) và vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh f là một song ánh từ [0, +∞) lên (0, 2], xác định ánh xạ ngược c) Khai triển Maclaurin hàm f đến cấp 3 3.8 Cho một hàm số f khả vi đến cấp 8 trên khoảng [0, 1] và phương trình f (x) = 0 có 9 nghiệm phân biệt trên khoảng đó Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (0, 1) sao cho f (8) (c) = 0 61 3.9 Cho f là hàm xác định trên R sao cho |f (x)... với mọi x, y ∈ R Chứng minh rằng f là hàm hằng trên R 3.10 Chứng minh các hàm số sau đây xác định, khả vi trên R Tính đạo hàm của chúng 1 arcsin 1 2 + x2 ; g(x) = ln arccos f (x) = e , 2 + x2 h(x) = arctan x + 2ex2 3.11 Chứng minh các bất đẳng thức sau |a − b| ≥ ln 1 + a3 1 + b3 ; ∀a, b ≥ 3; |a − b| ≥ ln 1 + a2 1 + b2 ; ∀a, b ∈ R 3.12 Tìm một hàm f : R → R khả vi sao cho a) lim f (x) = a ∈ R nhưng... đồng thời cả tử và mẫu và tính giới hạn của thương cho đến khi máy tính được Trong ví dụ trên, khi tính đến đạo hàm cấp hai thì ta có kết quả [> f:=value(diff(x*exp(2*x)-5*tan(x),x$2); f := 4e(2x) + 4xe(2x) − 10 tan(x)(1 + tan(x)2 ) [> g:=value(diff(tan(x)∧2+x∧3,x$2); g := 2(1 + tan(x)2 )2 + 4 tan(x)2 (1 + tan(x)2 ) + 6x [> limit(f/g, x=0); 2 3.6.4 Khảo sát hàm số Để sử dụng máy tính trong vi c khảo sát... − b) lim n→∞ 1+ 1 n2 3.17 Vi t khai triển Taylor các hàm số sau a) f (x) = cot(x) tại x = π 2 đến cấp 3 b) f (x) = tan(x) tại x = π đến cấp 4 3.18 Vi t khai triển MacLaurin các hàm số sau 1 + x + x2 a) f (x) = đến cấp 4 1 − x + x2 2 b) f (x) = e2x−x đến cấp 5 3.19 Chứng minh bất đẳng thức H¨lder: o uv ≤ up v q + ; p q ∀u, v ≥ 0; p, q > 0 : 1 1 + = 1 p q Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi up = v q 2 1... : 1 1 + = 1 p q Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi up = v q 2 1 + x2 a) Khảo sát (miền xác định, tăng/giảm, cực trị, tiệm cận) và vẽ đồ thị hàm số 3.20 Cho hàm số y = f (x) = b) Chứng minh f là một song ánh từ [0, +∞) lên (0, 2], xác định ánh xạ ngược c) Khai triển Maclaurin hàm f đến cấp 3 ... Df:=value(%); Df := −2 cos(x) sin(x) cos(x)2 cos(2x) −2 sin(2x) sin(2x)2 [> simplify(%); 2 cos(x)2 −1 + cos(2x)2 b) Tính đạo hàm cấp k Cú pháp: [> diff(f(x), x$k); Ví dụ: [> g:=x− >3*x∧3-4*x*sin(x); g := x → 3x3 − 4x sin(x) [> diff(g(x),x$2); 18x − 8 cos(x) + 4x sin(x) 3.6.2 Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n Cú pháp: [> taylor(f(x), x=a, n); Ví dụ: [> taylor(exp(x), x=0, 7); 1 1 1 1 5 1 6 1 +... như các hàm thông thường, bởi vì máy đã biết dùng Công thức L’hospital trong tính toán Tuy vậy, cũng có lúc chúng ta cũng phải hỗ trợ bằng những bước thích hợp 59 Ví dụ: [> limit((six(x)-x)/(x*(1-cos(x))), x=0); − 1 3 [> limit((x*exp(2*x)-5*tan(x))/(tan(x)∧2+x∧3), x=0); undef ined Như vậy, máy đã không tính nổi giới hạn này Chúng ta có thể giúp máy bằng cách cho lần lượt tính đạo hàm cấp một, rồi . Chương 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC 3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao 3.1.1. Định nghĩa Cho hàm f xác định trên N δ (x 0 ). Ta nói f có đạo hàm tại. 3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp Sử dụng định nghĩa ta có thể tính được đạo hàm của các hàm hằng (f(x) = C), hàm đồng nhất (f(x) = x), hàm sin, hàm cos và hàm