CHU . O . NG I: L ˆ OGIC TO ´ AN V ` AT ˆ A . PHO . . P 1.1. L ˆ OGIC TO ´ AN. 1.1.1. Mˆe . nh d¯ˆe ` v`a c´ac ph´ep to´an lˆogic: 1.1.1.1. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Mˆe . n h d¯ ˆe ` l`a mˆo . t cˆau pha ’ n ´anh mˆo . td¯iˆe ` ud¯´ung ho˘a . c sai, ch´u . khˆong pha ’ iv`u . a d¯´ung v`u . a sai. Th´ıdu . : 1) Sˆo ´ 35 chia hˆe ´ t cho 5: mˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ ´ung. 2) M˘a . t tr`o . i quay quanh tr´ai d¯ˆa ´ t: mˆe . n h d¯ ˆe ` sai. 3) Tam gi´ac ABC c´o 3 g´oc vuˆong: mˆe . n h d¯ ˆe ` sai. 4) 2 < 5: mˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ ´ung. C´ac cˆau ho ’ i, cˆau ca ’ m th´an, cˆau mˆe . nh lˆe . nh, . v`a n´oi chung c´ac cˆau khˆong nh˘a ` m pha ’ n ´anh t´ınh d¯´ung sai cu ’ a thu . . ctˆe ´ kh´ach quan d¯ˆe ` u khˆong d¯u . o . . c coi l`a mˆe . n h d¯ ˆe ` . Trong lˆogic mˆe . n h d¯ ˆe ` , ta khˆong quan tˆam d¯ˆe ´ ncˆa ´ u tr´uc ng˜u . ph´ap c˜ung nhu . ´y ngh˜ıa nˆo . i dung cu ’ amˆe . n h d¯ ˆe ` m`a chı ’ quan tˆam d¯ˆe ´ n t´ınh d¯´ung sai cu ’ amˆo ˜ imˆe . nh d¯ ˆe ` . D - ˆe ’ chı ’ c´ac mˆe . n h d¯ ˆe ` chu . a x´ac d¯i . nh, ta d`ung c´ac ch˜u . c´ai: p, q, r, . v`a go . i ch´ung l`a c´ac biˆe ´ nmˆe . nh d¯ˆe ` .Taquyu . ´o . cviˆe ´ t p = 1 khi p l`a mˆe . nh d¯ˆe ` d¯ ´ung v`a p = 0 khi p l`a mˆe . n h d¯ ˆe ` sai. C´ac gi´a tri . 0 v`a 1 go . i l`a c´ac gi´a tri . chˆan l´ycu ’ a c´ac mˆe . n h d¯ ˆe ` . George Boole d¯˜a nghiˆen c´u . uphu . o . ng ph´ap ta . o ra c´ac mˆe . n h d¯ ˆe ` m´o . ib˘a ` ng c´ach tˆo ’ ho . . pt`u . mˆo . t ho˘a . c nhiˆe ` umˆe . n h d¯ ˆe ` d¯˜a c´o. C´ac mˆe . n h d¯ ˆe ` m´o . id¯u . o . . cgo . il`a c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` ph´u . cho . . p, ch´ung d¯u . o . . cta . orat`u . c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` hiˆe . nc´ob˘a ` ng c´ach d`ung c´ac ph´ep to´an lˆogic. 1.1.1.2. Ph´ep phu ’ d¯ i . nh: Phu ’ d¯ i . nh cu ’ amˆe . n h d¯ ˆe ` p ,k´yhiˆe . ul`a p,d¯o . c l`a “khˆong p”, l`a mˆe . n h d¯ ˆe ` sai khi p d¯ ´ung v`a d¯´ung khi p sai. Ph´ep phu ’ d¯ i . nh trong lˆogic mˆe . n h d¯ ˆe ` ph`uho . . pv´o . i ph´ep phu ’ d¯ i . nh trong ngˆon ng˜u . thˆong thu . `o . ng, ngh˜ıa l`a ph`u ho . . pv´o . i ´y ngh˜ıa cu ’ at`u . “khˆong” (“khˆong pha ’ i”). Th´ıdu . :1)p: “9 l`a mˆo . tsˆo ´ le ’ ”(D - ), p: “9 khˆong l`a mˆo . tsˆo ´ le ’ ” (S). 2) p: “v´o . imo . isˆo ´ thu . . c x, y, (x + y) 2 < 0” (S), p: “tˆo ` nta . isˆo ´ thu . . c x, y, (x + y) 2 ≥ 0” (D - ). 1.1.1.3. Ph´ep hˆo . i: Hˆo . icu ’ a hai mˆe . n h d¯ ˆe ` p, q,k´yhiˆe . ul`ap ∧ q,d¯o . cl`a“p v`a q”, l`a mˆo . tmˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ ´ung khi ca ’ p lˆa ˜ n q c`ung d¯´ung v`a sai trong c´ac tru . `o . ng ho . . p c`on la . i. Ph´ep hˆo . i ph`u ho . . pv´o . i ´y ngh˜ıa cu ’ a liˆen t`u . “v`a” cu ’ a ngˆon ng˜u . thˆong thu . `o . ng. Th´ıdu . :1)p: “2 l`a sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ ”(D - )v`aq: “2 l`a sˆo ´ ch˜an” (D - )th`ıp ∧ q: “2 l`a sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ v`a l`a ch˘a ˜ n” (D - ). 3 2) Mˆe . nh d¯ˆe ` “Sˆo ´ π l´o . n 3 v`a l`a mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ ” (S) l`a hˆo . icu ’ a hai mˆe . nh d¯ˆe ` “Sˆo ´ π l´o . nho . n 3” (D - ) v`a “Sˆo ´ π l`a mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ ” (S). 1.1.1.4. Ph´ep tuyˆe ’ n: Tuyˆe ’ ncu ’ ahaimˆe . nh d¯ˆe ` p, q,k´yhiˆe . u p ∨ q,d¯o . cl`a“p ho˘a . c q”, l`a mˆo . tmˆe . nh d¯ˆe ` sai khi ca ’ p lˆa ˜ n q d¯ ˆe ` u sai v`a d¯´ung trong mo . i tru . `o . ng ho . . p c`on la . i. Ph´ep tuyˆe ’ n´u . ng v´o . i liˆen t`u . “ho˘a . c” trong ngˆon ng˜u . thˆong thu . `o . ng theo ngh˜ıa khˆong loa . itr`u . , c´o ngh˜ıa l`a mˆe . n h d¯ ˆe ` “p ho˘a . c q”d¯´ung khi v`a chı ’ khi ´ıt nhˆa ´ tmˆo . t trong hai mˆe . n h d¯ ˆe ` p v`a q d¯ ´ung. Th´ıdu . :1)p: “3 nho ’ ho . n5”(D - )v`aq: “3 b˘a ` ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho ’ ho . n ho˘a . cb˘a ` ng 5” (D - ). 2) p: “Paris l`a thu ’ d¯ ˆo n u . ´o . c Anh” (S) v`a q: “6 l´o . nho . n 8” (S) th`ı p ∨ q: “Paris l`a thu ’ d¯ ˆo n u . ´o . c Anh ho˘a . c6l´o . nho . n 8” (S). 1.1.1.5. Ph´ep tuyˆe ’ n loa . i: Tuyˆe ’ n loa . icu ’ a hai mˆe . n h d¯ ˆe ` p, q,k´yhiˆe . u p⊕ q,d¯o . c l`a “p ho˘a . c q (nhu . ng khˆong ca ’ hai)”, l`a mˆo . tmˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ ´ung khi chı ’ c´o mˆo . t trong hai mˆe . n h d¯ ˆe ` p v`a q l`a d¯´ung v`a sai trong mo . i tru . `o . ng ho . . p c`on la . i. Ph´ep tuyˆe ’ n loa . i´u . ng v´o . i liˆen t`u . “ho˘a . c” trong ngˆon ng˜u . thˆong thu . `o . ng theo ngh˜ıa loa . itr`u . . Th´ıdu . : p:“ √ 2 l`a mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ ” (S) v`a q:“ √ 2l`amˆo . tsˆo ´ vˆo tı ’ ”(D - )th`ı p ⊕ q: “ √ 2l`amˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ ho˘a . c l`a mˆo . tsˆo ´ vˆo tı ’ ”(D - ). 1.1.1.6. Ph´ep k´eo theo: Mˆe . n h d¯ ˆe ` k´eo theo p ⇒ q,d¯o . cl`a“p k´eo theo q”hay ”nˆe ´ u p th`ı q”, l`a mˆo . tmˆe . n h d¯ ˆe ` sai khi p d¯ ´ung v`a q sai v`a d¯´ung trong c´ac tru . `o . ng ho . . p c`on la . i. Trong ph´ep k´eo theo n´oi trˆen, p d¯ u . o . . cgo . i l`a gia ’ thiˆe ´ t, c`on q d¯ u . o . . cgo . il`akˆe ´ t luˆa . n. V`ı ph´ep k´eo theo xuˆa ´ thiˆe . no . ’ nhiˆe ` uno . i trong c´ac suy luˆa . n to´an ho . c, nˆen c´o nhiˆe ` u thuˆa . tng˜u . d¯ u . o . . cd`ung d¯ˆe ’ diˆe ˜ nd¯a . tmˆe . n h d¯ ˆe ` p ⇒ q.Du . ´o . i d¯ˆay l`a mˆo . tsˆo ´ th´ı du . thu . `o . ng g˘a . p nhˆa ´ t. –“Nˆe ´ u p th`ı q”, –“p k´eo theo q”, –“T`u . p suy ra q”, –“p l`a d¯iˆe ` ukiˆe . nd¯u ’ d¯ ˆe ’ c´o q”, –“q l`a d¯iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` n d¯ ˆe ’ c´o p”. Th´ıdu . :1)“Nˆe ´ u hˆom nay tr`o . in˘a ´ ng, ch´ung tˆoi s˜e d¯i ra b˜ai biˆe ’ n” l`a mˆo . tmˆe . nh d¯ ˆe ` k´eo theo v`a d¯u . o . . c xem l`a d¯´ung tr`u . phi hˆom nay tr`o . i thu . . csu . . n˘a ´ ng, nhu . ng ch´ung tˆoi khˆong d¯i ra b˜ai biˆe ’ n. 2) “Nˆe ´ u hˆom nay l`a th´u . hai th`ı 3 + 5 = 7” l`a mˆo . tmˆe . n h d¯ ˆe ` k´eo theo v`a l`a d¯ ´ung v´o . imo . i ng`ay tr`u . th´u . hai. Trong suy luˆa . n to´an ho . c, ch´ung ta x´et c´ac ph´ep k´eo theo thuˆo . c loa . itˆo ’ ng qu´at ho . n trong ngˆon ng˜u . thˆong thu . `o . ng. Kh´ai niˆe . m to´an ho . cvˆe ` ph´ep k´eo theo d¯ ˆo . clˆa . pv´o . imˆo ´ i quan hˆe . nhˆan - qua ’ gi˜u . a gia ’ thiˆe ´ tv`akˆe ´ t luˆa . n. 4 Khˆong may, cˆa ´ utr´uc nˆe ´ u - th`ı d¯u . o . . c d`ung trong nhiˆe ` u ngˆon ng˜u . lˆa . ptr`ınh la . i kh´ac v´o . icˆa ´ u tr´uc d¯u . o . . c d`ung trong lˆogic to´an. D - asˆo ´ c´ac ngˆon ng˜u . lˆa . p tr`ınh ch´u . anh˜u . ng cˆau lˆe . nh nhu . nˆe ´ u p th`ı S (if p then S), trong d¯´o p l`a mˆo . tmˆe . n h d¯ ˆe ` c`on S l`a mˆo . t d¯oa . nchu . o . ng tr`ınh (gˆo ` mmˆo . t ho˘a . c nhiˆe ` ulˆe . nh cˆa ` n pha ’ i thu . . chiˆe . n). Khi thu . . chiˆe . nmˆo . t chu . o . ng tr`ınh g˘a . pnh˜u . ng cˆa ´ utr´uc nhu . vˆa . y, S s ˜e d¯ u . o . . c thu . . c hiˆe . nnˆe ´ u p l`a d¯´ung, trong khi d¯´o S s˜e khˆong d¯u . o . . c thu . . chiˆe . nnˆe ´ u p l`a sai. 1.1.1.7. Ph´ep tu . o . ng d¯u . o . ng: Mˆe . n h d¯ ˆe ` “p tu . o . ng d¯u . o . ng q”, k´y hiˆe . ul`ap ⇔ q, l`a mˆo . tmˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ ´ung khi p v`a q c´o c`ung gi´a tri . chˆan l´y v`a sai trong c´ac tru . `o . ng ho . . p c`on la . i. D - i . nh ngh˜ıa cu ’ a ph´ep tu . o . ng d¯u . o . ng ph`uho . . pv´o . i ´y ngh˜ıa cu ’ acu . mt`u . “khi v`a chı ’ khi” hay “nˆe ´ u v`a chı ’ nˆe ´ u” cu ’ a ngˆon ng˜u . thˆong thu . `o . ng. Trong to´an ho . c, mˆe . n h d¯ ˆe ` “p tu . o . ng d¯u . o . ng q”c´othˆe ’ diˆe ˜ nd¯a . tdu . ´o . ida . ng: “d¯iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` n v`a d¯u ’ d¯ ˆe ’ c´o p l`a c´o q”. Th´ıdu . :1)D - iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` n v`a d¯u ’ d¯ ˆe ’ ABC cˆan l`a hai g´oc o . ’ d¯´ay cu ’ a n´o b˘a ` ng nhau. 2) Dˆa ´ ub˘a ` ng xa ’ y ra trong bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c Cauchy n √ a 1 a 2 .a n ≤ a 1 + a 2 + ···+ a n n khi v`a chı ’ khi a 1 = a 2 = ··· = a n . Sau d¯ˆay l`a ba ’ ng chˆan tri . cu ’ a c´ac ph´ep to´an lˆogic n´oi trˆen. p q p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p ⇒ q p ⇔ q 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1.1.1.8. C´ac ph´ep to´an lˆogic v`a c´ac ph´ep to´an bit: C´ac m´ay t´ınh d`ung c´ac bit d¯ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n thˆong tin. Mˆo . t bit c´o hai gi´a tri . l`a 0 v`a 1. ´ Y ngh˜ıa cu ’ at`u . n`ay b˘a ´ t nguˆo ` nt`u . binary digit (sˆo ´ nhi . phˆan). Thuˆa . tng˜u . n`ay do nh`a Thˆo ´ ng kˆe ho . cnˆo ’ itiˆe ´ ng John Turkey d¯u . a ra v`ao n˘am 1946. Bit c˜ung c´o thˆe ’ d¯ u . o . . cd`ung d¯ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n gi´a tri . chˆan l´y. Ta s˜e d`ung bit 1 d¯ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n gi´a tri . d¯ ´ung v`a bit 0 d¯ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n gi´a tri . sai. Tas˜ed`ung c´ac k´yhiˆe . u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ac ph´ep to´an −,∧,∨,⊕ nhu . thu . `o . ng d¯u . o . . c l`am trong c´ac ngˆon ng˜u . lˆa . p tr`ınh kh´ac nhau. Thˆong tin thu . `o . ng d¯u . o . . cbiˆe ’ udiˆe ˜ nb˘a ` ng c´ach d`ung c´ac xˆau bit, d¯´o l`a d˜ay c´ac sˆo ´ 0 v`a 1. Khi d¯˜a l`am nhu . thˆe ´ , c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit c˜ung c´o thˆe ’ d¯ u . o . . c d`ung d¯ˆe ’ thao t´ac c´ac thˆong tin d¯´o. Ta c´o thˆe ’ mo . ’ rˆo . ng c´ac ph´ep to´an bit t´o . i c´ac xˆau bit. Ta d¯i . nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v`a XOR bit d¯ˆo ´ iv´o . i hai xˆau 5 bit c´o c`ung chiˆe ` u d`ai l`a c´ac xˆau c´o c´ac bit cu ’ ach´ung l`a c´ac OR, AND v`a XOR cu ’ a c´ac bit tu . o . ng ´u . ng trong hai xˆau tu . o . ng ´u . ng. Th´ıdu . : xˆau 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 xˆau 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 OR bit 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 AND bit 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 XOR bit 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1.1.2. Su . . tu . o . ng d¯u . o . ng lˆogic cu ’ a c´ac cˆong th´u . c: Trong lˆogic mˆe . n h d¯ ˆe ` , ngu . `o . i ta d¯u . a ra kh´ai niˆe . m cˆong th´u . c, tu . o . ng tu . . nhu . kh´ai niˆe . mbiˆe ’ uth´u . c trong to´an ho . c. 1.1.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: 1) C´ac biˆe ´ nmˆe . n h d¯ ˆe ` p, q, r, . l`a c´ac cˆong th´u . c, 2) Nˆe ´ u P, Q l`a c´ac cˆong th´u . cth`ı P,P∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l`a c´ac cˆong th´u . c, 3) Chı ’ chˆa ´ p nhˆa . n c´ac cˆong th´u . cd¯u . o . . c th`anh lˆa . pb˘a ` ng viˆe . c ´ap du . ng mˆo . tsˆo ´ h˜u . uha . n c´ac quy t˘a ´ c 1)-2). 1.1.2.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cˆong th´u . c A go . il`ah˘a ` ng d¯´ung nˆe ´ u A nhˆa . n gi´a tri . 1v´o . i mo . ihˆe . gi´a tri . chˆan l´y c´o thˆe ’ c´o cu ’ a c´ac biˆe ´ nmˆe . n h d¯ ˆe ` c´o m˘a . t trong A. Cˆong th´u . c A go . i l`a h˘a ` ng sai nˆe ´ u A nhˆa . n gi´a tri . 0v´o . imo . ihˆe . gi´a tri . chˆan l´y c´o thˆe ’ c´o cu ’ a c´ac biˆe ´ nmˆe . nh d¯ˆe ` c´o m˘a . t trong A. Khi d¯´o ta go . i A l`a mˆo . t mˆau thuˆa ’ n. Mˆo . t cˆong th´u . c khˆong pha ’ i l`a h˘a ` ng d¯´ung, c˜ung khˆong pha ’ i l`a mˆau thuˆa ’ n d¯ u . o . . cgo . il`atiˆe ´ p liˆen. 1.1.2.3. D - i . nh ngh˜ıa: Hai cˆong th´u . c A v`a B d¯ u . o . . cgo . i l`a tu . o . ng d¯u . o . ng lˆogic, k´yhiˆe . u A ≡ B,nˆe ´ u A ⇔ B l`a mˆo . th˘a ` ng d¯´ung. Hˆe . th´u . c A ≡ B c`on d¯u . o . . cgo . il`a mˆo . td¯˘a ’ ng th´u . c. 1.1.2.4. C´ac tu . o . ng d¯u . o . ng lˆogic co . ba ’ n: 1) Luˆa . td¯ˆo ` ng nhˆa ´ t: p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p. 2) Luˆa . tnuˆo ´ t: p ∧ 0 ≡ 0,p∨ 1 ≡ 1. 3) Luˆa . tl˜uy d¯˘a ’ ng: p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p. 6 4) Luˆa . tphu ’ d¯ i . nh k´ep: p ≡ p. 5) Luˆa . t giao ho´an: p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p. 6) Luˆa . tkˆe ´ tho . . p: (p ∧ q) ∧ r ≡ p∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r). 7) Luˆa . t phˆan phˆo ´ i: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r),p∨ (q ∧ r) ≡ (p∨ q) ∧ (p ∨ r). 8) Luˆa . t De Morgan: p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q. 9) Mˆo . tsˆo ´ tu . o . ng d¯u . o . ng tiˆe . n ´ıch: p ∧ p ≡ 0,p∨ p ≡ 1, p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p),p⇔ q ≡ p ⇔ q, (p ⇒ q) ≡ ( p ∨ q), (p ⇒ q) ≡ ( q ⇒ p). 1.1.3. Suy luˆa . n to´an ho . c: 1.1.3.1. Suy luˆa . ndiˆe ˜ ndi . ch: Suy luˆa . nl`ar´ut ra mˆo . tmˆe . n h d¯ ˆe ` m´o . it`u . mˆo . thay nhiˆe ` umˆe . n h d¯ ˆe ` d¯˜a c´o. Phˆan t´ıch c´ac suy luˆa . n trong ch´u . ng minh to´an ho . c, ngu . `o . i ta thˆa ´ ymˆo ˜ ich´u . ng minh bao gˆo ` mmˆo . tsˆo ´ h˜u . uha . nbu . ´o . c suy luˆa . nd¯o . n gia ’ n. Trong mˆo ˜ ibu . ´o . c suy luˆa . nd¯o . n gia ’ n d¯´o, ta d¯˜a “ngˆa ` m” vˆa . ndu . ng mˆo . t quy t˘a ´ c suy luˆa . ntˆo ’ ng qu´at d¯ˆe ’ t`u . c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` d¯ ˜a d¯ u . o . . cth`u . a nhˆa . n l`a d¯´ung (tiˆen d¯ˆe ` ,d¯i . nh l´y, d¯i . nh ngh˜ıa, gia ’ thiˆe ´ t) c´o thˆe ’ r´ut ra mˆo . tmˆe . n h d¯ ˆe ` m´o . i. Ngu . `o . i ta go . i c´ac mˆe . n h d¯ ˆe ` xuˆa ´ t ph´at d¯˜a d¯ u . o . . cth`u . a nhˆa . n l`a d¯´ung l`a c´ac tiˆe ` n d¯ ˆe ` , c`on mˆe . n h d¯ ˆe ` m´o . id¯u . o . . c r´ut ra (nh`o . vˆa . n du . ng c´ac quy t˘a ´ c suy luˆa . ntˆo ’ ng qu´at) go . il`ahˆe . qua ’ lˆogic cu ’ a c´ac tiˆe ` n d¯ ˆe ` . Ph´ep suy luˆa . nnhu . thˆe ´ go . i l`a suy luˆa . ndiˆe ˜ ndi . ch hay go . it˘a ´ t l`a suy diˆe ˜ n. 1.1.3.2. D - i . nh ngh˜ıa: Gia ’ su . ’ A 1 ,A 2 , . ,A n ,B l`a nh˜u . ng cˆong th´u . c. Nˆe ´ utˆa ´ t ca ’ c´ac hˆe . gi´a tri . chˆan l´ycu ’ a c´ac biˆe ´ nmˆe . nh d¯ˆe ` c´o m˘a . t trong c´ac cˆong th´u . cd¯´o l`am cho A 1 ,A 2 , . ,A n nhˆa . n gi´a tri . 1c˜ung d¯ˆo ` ng th`o . i l`am cho B nhˆa . n gi´a tri . 1, t´u . cl`aA 1 ∧ A 2 ∧ .∧ A n ⇒ B l`a mˆo . t cˆong th´u . ch˘a ` ng d¯´ung, th`ı ta go . i B l`a hˆe . qua ’ lˆogic cu ’ a A 1 ,A 2 , . ,A n . Khi d¯´o ta c˜ung n´oi r˘a ` ng c´o mˆo . t quy t˘a ´ c suy luˆa . n t`u . c´ac tiˆe ` n d¯ ˆe ` A 1 ,A 2 , . ,A n t´o . ihˆe . qua ’ lˆogic B cu ’ ach´ung. 7 Quy t˘a ´ c suy luˆa . n d¯ ´o d¯ u . o . . ck´yhiˆe . u l`a: A 1 ,A 1 , . ,A n B . 1.1.3.3. Mˆo . tsˆo ´ quy t˘a ´ c suy luˆa . nthu . `o . ng d`ung: 1) p p ∨ q (Quy t˘a ´ ccˆo . ng). 2) p ∧ q p (Quy t˘a ´ cr´ut go . n). 3) p, p ⇒ q q (Quy t˘a ´ ckˆe ´ t luˆa . n - Modus ponens). 4) p ⇒ q, q p (Quy t˘a ´ ckˆe ´ t luˆa . n ngu . o . . c - Modus tollens). 5) p ⇒ q, q ⇒ r p ⇒ r (Quy t˘a ´ c tam d¯oa . n luˆa . n). 6) p ⇒ q, q ⇒ p p ⇔ q (Quy t˘a ´ cd¯u . atu . o . ng d¯u . o . ng v`ao). 7) p ∨ q, p q (Quy t˘a ´ c t´ach tuyˆe ’ n). 8) p ⇒ r, q ⇒ r p ∨ q ⇒ r (Quy t˘a ´ c t´ach tuyˆe ’ n gia ’ thiˆe ´ t). 9) p ⇒ q, p ⇒ r p ⇒ q ∧ r (Quy t˘a ´ chˆo . ikˆe ´ t luˆa . n). 10) q ⇒ p p ⇒ q (Quy t˘a ´ c pha ’ nd¯a ’ o). 11) p ⇒ q, p ⇒ q p (Quy t˘a ´ c pha ’ nch´u . ng). Th´ıdu . : 1) Cho: Nˆe ´ u tr`o . imu . a(p) th`ı sˆan u . ´o . t(q) (d¯´ung) Tr`o . i d¯ang mu . a (d¯´ung) Kˆe ´ t luˆa . n: Sˆan u . ´o . t (d¯´ung). 2) Cho: Nˆe ´ u hai g´oc d¯ˆo ´ id¯ı ’ nh (p)th`ıb˘a ` ng nhau (q) (d¯´ung)  A v`a  B khˆong b˘a ` ng nhau (d¯´ung) Kˆe ´ t luˆa . n:  A v`a  B khˆong d¯ˆo ´ id¯ı ’ nh (d¯´ung). 3) Cho: Mo . ih`ınh vuˆong d¯ˆe ` ul`ah`ınh thoi (p ⇒ q) (d¯´ung) Mo . ih`ınh thoi c´o c´ac d¯u . `o . ng ch´eo vuˆong g´oc (q ⇒ r) (d¯´ung) Kˆe ´ t luˆa . n: Mo . i h`ınh vuˆong d¯ˆe ` u c´o c´ac d¯u . `o . ng ch´eo vuˆong g´oc (p ⇒ r) (d¯´ung). 8 1.1.3.4. Suy luˆa . n nghe c´o l´y: Suy luˆa . n nghe c´o l´y l`a suy luˆa . n khˆong theo mˆo . t quy t˘a ´ c suy luˆa . ntˆo ’ ng qu´at n`ao d¯ˆe ’ t`u . nh˜u . ng tiˆe ` n d¯ ˆe ` d¯˜a c´o, r´ut ra d¯u . o . . cmˆo . tkˆe ´ t luˆa . n x´ac d¯i . nh. Nˆe ´ u c´ac tiˆe ` nd¯ˆe ` d¯ ˆe ` u d¯´ung th`ıkˆe ´ t luˆa . nr´ut ra khˆong ch˘a ´ cch˘a ´ n d¯ ´ung, m`a chı ’ c´o t´ınh chˆa ´ tdu . . d¯o´an, gia ’ thuyˆe ´ t. Trong to´an ho . c c´o hai kiˆe ’ u suy luˆa . n nghe c´o l´ythu . `o . ng d`ung, d¯´o l`a – Ph´ep quy na . p khˆong ho`an to`an, – Ph´ep tu . o . ng tu . . . Th´ıdu . :1)T`u . d¯ i . nh l´y trong h`ınh ho . c ph˘a ’ ng: “Hai d¯u . `o . ng th˘a ’ ng c`ung vuˆong g´oc v´o . imˆo . td¯u . `o . ng th˘a ’ ng th´u . ba th`ı song song v´o . i nhau”, ch´ung ta nˆeu ra mˆo . t “du . . d¯o´an”: “Hai m˘a . t ph˘a ’ ng c`ung vuˆong g´oc v´o . imˆo . tm˘a . t ph˘a ’ ng th´u . ba th`ı song song v´o . i nhau”. D - ˆay l`a mˆo . tth´ıdu . vˆe ` ph´ep suy luˆa . nb˘a ` ng tu . o . ng tu . . . 2) C´ac sˆo ´ 2 2 0 +1, 2 2 1 +1, 2 2 2 +1, 2 2 3 +1, 2 2 4 + 1 l`a nh˜u . ng sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ . Kˆe ´ t luˆa . n: v´o . imo . isˆo ´ tu . . nhiˆen n,sˆo ´ 2 2 n + 1 l`a sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ . D - ˆay l`a lˆo ´ i suy luˆa . n quy na . p khˆong ho`an to`an d¯˜a nˆeu lˆen bo . ’ i Fermat (1601- 1665) sau khi d¯˜a kiˆe ’ m nghiˆe . mv´o . i c´ac sˆo ´ n =0, 1, 2, 3, 4. Nhu . ng sau d¯´o Euler d¯˜a chı ’ ra r˘a ` ng v´o . i n = 5, kh˘a ’ ng d¯i . nh n`ay khˆong d¯´ung, ngh˜ıa l`a 2 2 5 + 1 khˆong l`a sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ . 3) 6=3+3, 8=3+5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, Kˆe ´ t luˆa . n: mo . isˆo ´ nguyˆen du . o . ng ch˘a ˜ nl´o . nho . n4l`atˆo ’ ng cu ’ a hai sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ . Mˆe . nh d¯ˆe ` n`ay mang tˆen l`a b`ai to´an Goldbach. D - ˆay l`a mˆo . t trong nhiˆe ` u kh˘a ’ ng d¯ i . nh trong to´an ho . cchu . ad¯u . o . . cch´u . ng minh. 4) Phu . o . ng tr`ınh x 3 + y 3 = z 3 khˆong c´o nghiˆe . m nguyˆen, phu . o . ng tr`ınh x 4 + y 4 = z 4 khˆong c´o nghiˆe . m nguyˆen. Kˆe ´ t luˆa . n: phu . o . ng tr`ınh x n + y n = z n khˆong c´o nghiˆe . m nguyˆen v´o . imo . isˆo ´ nguyˆen n>2. Mˆe . n h d¯ ˆe ` n`ay d¯u . o . . c nˆeu ra bo . ’ i Fermat n˘am 1637, go . i l`a “d¯i . nh l´y cuˆo ´ ic`ung cu ’ a Fermat”. M˜ai d¯ˆe ´ n th´ang 5 n˘am 1995, mˆe . nh d¯ˆe ` n`ay m´o . id¯u . o . . c ho`an to`an ch´u . ng minh xong bo . ’ i nh`a to´an ho . c ngu . `o . i Anh tˆen l`a Wiles. To´an ho . c l`a khoa ho . ccu ’ a suy luˆa . ndiˆe ˜ ndi . ch. Tˆa ´ tca ’ c´ac vˆa ´ n d¯ ˆe ` trong to´an ho . cchı ’ d¯ u . o . . c tr`ınh b`ay b˘a ` ng c´ac suy luˆa . ndiˆe ˜ ndi . ch. Tuy nhiˆen, trong qu´a tr`ınh ph´at minh, s´ang ta . o to´an ho . c, l´y luˆa . ndiˆe ˜ ndi . ch g˘a ´ nch˘a . tv´o . i c´ac suy luˆa . n nghe c´o l´y. Ta d`ung quy na . p khˆong ho`an to`an hay tu . o . ng tu . . d¯ ˆe ’ nˆeu ra c´ac gia ’ thuyˆe ´ t. Sau d¯´o m´o . ich´u . ng minh c´ac gia ’ thuyˆe ´ t n`ay b˘a ` ng diˆe ˜ ndi . ch. 1.1.4. C´ac phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh: 1.1.4.1. Ch´u . ng minh l`a g`ı? Trong suy luˆa . ndiˆe ˜ ndi . ch, nˆe ´ ut`u . c´ac tiˆe ` n d¯ ˆe ` A 1 ,A 2 , . ,A n , ta r´ut ra kˆe ´ t luˆa . n B b˘a ` ng c´ach vˆa . ndu . ng nh˜u . ng quy t˘a ´ c suy luˆa . ntˆo ’ ng qu´at th`ı ta n´oi B l`a kˆe ´ t luˆa . n lˆogic cu ’ a c´ac tiˆe ` n d¯ ˆe ` A 1 ,A 2 , . ,A n v`a suy luˆa . n d¯´o l`a ho . . p lˆogic. Nˆe ´ utˆa ´ tca ’ c´ac tiˆe ` nd¯ˆe ` A 1 ,A 2 , . ,A n d¯ ˆe ` u d¯´ung th`ı ta go . ikˆe ´ t luˆa . n lˆogic B l`a mˆo . tkˆe ´ t luˆa . nch´u . ng minh v`a go . i suy luˆa . n d¯´o l`a mˆo . t ch´u . ng minh. 9 Phˆan t´ıch c´ac ch´u . ng minh to´an ho . c ta thˆa ´ ymˆo ˜ ich´u . ng minh gˆo ` mmˆo . tsˆo ´ h˜u . uha . nbu . ´o . c, mˆo ˜ ibu . ´o . cl`amˆo . t suy luˆa . ndiˆe ˜ ndi . ch trong d¯´o ta vˆa . ndu . ng mˆo . t quy t˘a ´ c suy luˆa . ntˆo ’ ng qu´at. Nhu . vˆa . y, mˆo . tch´u . ng minh to´an ho . cgˆo ` m ba bˆo . phˆa . n cˆa ´ u th`anh: 1) Luˆa . nd¯ˆe ` , t´u . cl`amˆe . n h d¯ ˆe ` cˆa ` nch´u . ng minh. 2) Luˆa . nc´u . , t´u . cl`anh˜u . ng mˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ u . o . . cth`u . a nhˆa . n (d¯i . nh ngh˜ıa, tiˆe ` n d¯ ˆe ` , d¯ i . nh l´y, gia ’ thiˆe ´ t) d¯u . o . . clˆa ´ y l`am tiˆe ` n d¯ ˆe ` trong mˆo ˜ i suy luˆa . n. 3) Luˆa . nch´u . ng, t´u . c l`a nh˜u . ng quy t˘a ´ c suy luˆa . ntˆo ’ ng qu´at d¯u . o . . cvˆa . ndu . ng trong mˆo ˜ ibu . ´o . c suy luˆa . ncu ’ ach´u . ng minh. 1.1.4.2. Phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh tru . . ctiˆe ´ p: Khi ta ch´u . ng minh mˆe . n h d¯ ˆe ` B b˘a ` ng c´ach va . ch r˜o B l`a kˆe ´ t luˆa . n lˆogic cu ’ anh˜u . ng tiˆe ` n d¯ ˆe ` d¯ ´ung A 1 ,A 2 , . ,A n , ngh˜ıa l`a B l`a mˆo . tkˆe ´ t luˆa . nch´u . ng minh th`ı ta n´oi l`a d¯˜a ch´u . ng minh tru . . ctiˆe ´ p mˆe . n h d¯ ˆe ` B. Th´ıdu . : H˜ay ch´u . ng minh tru . . ctiˆe ´ pmˆe . n h d¯ ˆe ` :“Nˆe ´ u n l`a mˆo . tsˆo ´ le ’ th`ı n 2 c˜ung l`a mˆo . tsˆo ´ le ’ ”. Gia ’ su . ’ r˘a ` ng gia ’ thiˆe ´ tcu ’ amˆe . n h d¯ ˆe ` k´eo theo n`ay l`a d¯´ung, t´u . cl`an l`a mˆo . tsˆo ´ le ’ . Khi d¯´o n =2k + 1, v´o . i k l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen. T`u . d¯´o suy ra n 2 =4k 2 +4k +1 = 2(2k 2 +2k) + 1. Do d¯´o n 2 l`a mˆo . tsˆo ´ le ’ . 1.1.4.3. Phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh t`ım pha ’ nth´ıdu . : Gia ’ su . ’ ta cˆa ` nch´u . ng minh mˆe . n h d¯ ˆe ` p sai. Nˆe ´ u ta t`ım d¯u . o . . cmˆe . n h d¯ ˆe ` q, tru . `o . ng ho . . pd¯˘a . cbiˆe . tcu ’ a p l`a sai. Khi d¯´o q d¯ ´ung v`a p ⇒ q l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a ´ ckˆe ´ t luˆa . n ngu . o . . cth`ı p l`a d¯´ung. T`u . d¯ ´o p l`a sai. Th´ıdu . : Cho m v`a n l`a nh˜u . ng sˆo ´ kh´ac khˆong bˆa ´ tk`y. Ch´u . ng minh r˘a ` ng n + m< nm l`a khˆong d¯´ung. Chı ’ cˆa ` nlˆa ´ y n = m =1th`ı1+1=2> 1.1. 1.1.4.4. Phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh pha ’ nd¯a ’ o: Gia ’ su . ’ ta cˆa ` nch´u . ng minh p ⇒ q.Nˆe ´ utach´u . ng minh d¯u . o . . c q ⇒ p th`ı theo quy t˘a ´ c pha ’ nd¯a ’ o, ta c´o p ⇒ q d¯ ´ung. Nhu . vˆa . y , d¯ ˆe ’ ch´u . ng minh p ⇒ q, ta c´o thˆe ’ chuyˆe ’ n sang ch´u . ng minh q ⇒ p l`a d¯u ’ . Th´ıdu . : Cho a l`a mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ kh´ac 0. Ch´u . ng minh r˘a ` ng nˆe ´ u b l`a mˆo . tsˆo ´ vˆo tı ’ th`ı ab c˜ung l`a mˆo . tsˆo ´ vˆo tı ’ . Ta viˆe ´ t a = m n ,v´o . i m, n l`a hai sˆo ´ nguyˆen kh´ac 0. Nˆe ´ u ab l`a sˆo ´ h˜u . utı ’ th`ı ta c´o thˆe ’ viˆe ´ t ab = k l v´o . i k, l l`a hai sˆo ´ nguyˆen v`a l = 0. Khi d¯´o b = ab a = k/l m/n = kn lm v`a suy ra b l`a mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ . 1.1.4.5. Phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh pha ’ nch´u . ng: Co . so . ’ lˆogic cu ’ aphu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh pha ’ nch´u . ng l`a nhu . sau: muˆo ´ nch´u . ng minh mˆe . n h d¯ ˆe ` p l`a d¯´ung, ta gia ’ thiˆe ´ t p l`a sai, t´u . cl`a p l`a d¯´ung. Sau d¯´o ta ch´u . ng minh r˘a ` ng p ⇒ q l`a d¯´ung v`a q l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a ´ c pha ’ nch´u . ng th`ı p l`a d¯´ung. D - iˆe ` u n`ay dˆa ˜ n d¯ ˆe ´ n mˆau thuˆa ’ n (luˆa . t b`ai trung). 10 Th´ıdu . : Ch´u . ng minh r˘a ` ng u . ´o . csˆo ´ tu . . nhiˆen nho ’ nhˆa ´ t kh´ac 1 cu ’ amˆo . tsˆo ´ tu . . nhiˆen l´o . nho . n1l`amˆo . tsˆo ´ nguyˆen tˆo ´ . Gia ’ su . ’ k l`a u . ´o . ctu . . nhiˆen nho ’ nhˆa ´ t kh´ac 1 cu ’ asˆo ´ tu . . nhiˆen n (n>1) v`a k khˆong l`a sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ . Do d¯´o tˆo ` nta . iu . ´o . csˆo ´ m cu ’ a k sao cho 1 <m<k.Nhu . ng khi d¯´o m c˜ung l`a mˆo . tu . ´o . csˆo ´ cu ’ a n.D - iˆe ` u n`ay mˆau thuˆa ’ nv´o . i k l`a u . ´o . ctu . . nhiˆen nho ’ nhˆa ´ t kh´ac 1 cu ’ a n. 1.1.4.6. Phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh x´et tˆa ´ tca ’ c´ac tru . `o . ng ho . . p: Trong to´an ho . c , d¯ ˆe ’ ch´u . ng minh mˆe . n h d¯ ˆe ` n`ao d¯´o l`a d¯´ung, ta c´o thˆe ’ x´et n´o trong tˆa ´ tca ’ c´ac tru . `o . ng ho . . p c´o thˆe ’ c´o. Th´ıdu . : Ch´u . ng minh r˘a ` ng t´ıch cu ’ a3sˆo ´ nguyˆen liˆen tiˆe ´ pchiahˆe ´ t cho 3. V´o . i n l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen, ta viˆe ´ t n =3q + r v´o . i q l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen v`a r =0, 1, 2. a) r =0: n =3q hay n chia hˆe ´ t cho 3, khi d¯´o n(n + 1)(n + 2) chia hˆe ´ tcho 3. b) r =1: n =3q +1hayn +2=3(q + 1) hay n + 2 chia hˆe ´ t cho 3, khi d¯´o n(n + 1)(n + 2) chia hˆe ´ t cho 3. c) r =2: n =3q +2 hay n +1 = 3(q + 1) hay n + 1 chia hˆe ´ tcho3, n(n + 1)(n + 2) chia hˆe ´ t cho 3. 1.1.4.6. Phu . o . ng ph´ap ch´u . ng minh quy na . p: Phu . o . ng ph´ap n`ay s˜e d¯u . o . . c tr`ınh b`ay trong Chu . o . ng IV vˆe ` “Sˆo ´ nguyˆen v`a sˆo ´ tu . . nhiˆen”. 1.2. T ˆ A . PHO . . P. 1.2.1. Tˆa . pho . . p v`a c´ach x´ac d¯i . nh mˆo . ttˆa . pho . . p: 1.2.1.1. Kh´ai niˆe . mtˆa . pho . . p: Nh˜u . ng d¯ˆo ´ itu . o . . ng d¯u . o . . ctu . tˆa . p do mˆo . tt´ınh chˆa ´ t chung n`ao d¯´o th`anh lˆa . pmˆo . ttˆa . pho . . p. D - ˆay khˆong pha ’ i l`a mˆo . td¯i . nh ngh˜ıa m`a chı ’ l`a mˆo . tsu . . mˆo ta ’ cho ta mˆo . th`ınh a ’ nh tru . . c quan cu ’ a kh´ai niˆe . m d¯´o. Su . . mˆo ta ’ mˆo . ttˆa . pho . . p c´ac d¯ˆo ´ itu . o . . ng du . . a trˆen mˆo . t kh´ai niˆe . m tru . . c quan vˆe ` mˆo . td¯ˆo ´ itu . o . . ng n`ao d¯´o d¯˜a d¯u . o . . c nh`a to´an ho . c ngu . `o . iD - ´u . c Georg Cantor d¯u . ara lˆa ` nd¯ˆa ` u tiˆen v`ao n˘am 1895. L´y thuyˆe ´ th`ınh th`anh t`u . kh´ai niˆe . m tru . . c quan d¯´o cu ’ atˆa . pho . . pd¯˜adˆa ˜ n d¯ ˆe ´ nnh˜u . ng nghi . chl´yho˘a . c c´ac mˆau thuˆa ’ n lˆogic nhu . nh`a triˆe ´ t ho . c ngu . `o . i Anh Bertrand Russell d¯˜a chı ’ ra n˘am 1902. Nh˜u . ng mˆau thuˆa ’ n lˆogic d¯´o c´o thˆe ’ tr´anh d¯u . o . . cb˘a ` ng c´ach xˆay du . . ng mˆo . tl´y thuyˆe ´ ttˆa . pho . . p xuˆa ´ t ph´at t`u . nh˜u . ng gia ’ thiˆe ´ tco . ba ’ n, go . i l`a c´ac tiˆen d¯ˆe ` . Tuy nhiˆen, ch´ung ta s˜e d`ung phiˆen ba ’ n ban d¯ˆa ` ucu ’ a Cantor, d¯u . o . . cgo . il`al´y thuyˆe ´ ttˆa . pho . . p ngˆay tho . ,ch´u . khˆong ph´at triˆe ’ n phiˆen ba ’ n t i ˆe n d¯ ˆe ` cu ’ al´ythuyˆe ´ t n`ay, bo . ’ iv`ıtˆa ´ tca ’ c´ac tˆa . pho . . pd¯u . o . . c xem x´et trong t`ai liˆe . u n`ay c´o thˆe ’ xu . ’ l´y phi mˆau thuˆa ’ nb˘a ` ng c´ach d`ung l´y thuyˆe ´ t ban d¯ˆa ` ucu ’ a Cantor. C´ac vˆa . thayd¯ˆo ´ itu . o . . ng th`anh lˆa . pmˆo . ttˆa . pho . . pgo . i l`a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . p ho . . p d¯´o. 11 Trong ngˆon ng˜u . thˆong thu . `o . ng, ngu . `o . i ta d`ung nh˜u . ng t`u . nhu . : nh´om, to`an thˆe ’ ,tˆa . pthˆe ’ , ch`um, bˆa ` y, d¯`an, . d¯ˆe ’ n´oi vˆe ` mˆo . ttˆa . pho . . p n`ao d¯´o. Mˆo . ttˆa . pho . . pthu . `o . ng d¯u . o . . ck´yhiˆe . ubo . ’ ic´acch˜u . c´ai in hoa: A, B, C, D, E, X, Y , Z, . Phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . pthu . `o . ng d¯u . o . . ck´yhiˆe . ubo . ’ i c´ac ch˜u . c´ai in thu . `o . ng: a, b, c, d, x, y, z, . Th´ıdu . : 1) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen, k´yhiˆe . u N. 2) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ nguyˆen, k´yhiˆe . u Z. 3) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ ,k´yhiˆe . u Q. 4) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ thu . . c, k´y hiˆe . u R. 5) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ ph´u . c, k´yhiˆe . u C. 6) Tˆa . pho . . p c´ac d¯iˆe ’ m trˆen m˘a . t ph˘a ’ ng. 7) Tˆa . pho . . p c´ac nghiˆe . m thu . . ccu ’ aphu . o . ng tr`ınh sin 3x − sin x + sin 2x =0. 8) Tˆa . pho . . p c´ac sinh viˆen n˘am th´u . nhˆa ´ t ng`anh tin ho . ccu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Khoa ho . c. K´y hiˆe . u: –D - ˆe ’ chı ’ a l`a mˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p A, ta viˆe ´ t a ∈ A v`a d¯o . cl`a“a thuˆo . c A”hay“a l`a phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p A”. –D - ˆe ’ chı ’ b khˆong pha ’ i l`a mˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p A, ta viˆe ´ t b/∈ A ho˘a . c b ∈A v`a d¯o . cl`a“b khˆong thuˆo . c A” ho˘a . c“b khˆong pha ’ i l`a mˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . p ho . . p A”. 1.2.1.2. Tˆa . pho . . prˆo ˜ ng: Tˆa . pho . . p khˆong ch´u . a phˆa ` ntu . ’ n`ao go . il`atˆa . prˆo ˜ ng, k´y hiˆe . u ∅. Th´ıdu . : Tˆa . pho . . p c´ac nghiˆe . m thu . . ccu ’ aphu . o . ng tr`ınh x 2 +1=0l`atˆa . pho . . prˆo ˜ ng. 1.2.1.3. C´ach x´ac d¯i . nh mˆo . ttˆa . pho . . p 1. Liˆe . tkˆetˆa ´ tca ’ c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p: Theo c´ach n`ay, d¯ˆe ’ x´ac d¯ i . nh mˆo . ttˆa . pho . . p n`ao d¯´o ta liˆe . t k ˆe d¯ ˆa ` yd¯u ’ tˆa ´ tca ’ c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a n´o. Th´ıdu . :1)Tˆa . pho . . p4sˆo ´ nguyˆen du . o . ng d¯ˆa ` u tiˆen d¯u . o . . cviˆe ´ t l`a: {1, 2, 3, 4}. 2) Tˆa . pho . . p c´ac ch˜u . c´ai trong ba ’ ng ch˜u . c´ai tiˆe ´ ng Anh d¯u . o . . cviˆe ´ t l`a: {a,b,c, . ,z}. 3) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen ch˘a ˜ nd¯u . o . . cviˆe ´ t l`a: {0, 2, 4, 6, . ,2n, .}. Ch´u´yr˘a ` ng khi liˆe . t kˆe c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ amˆo . ttˆa . pho . . p ta khˆong quan tˆam d¯ˆe ´ n th´u . tu . . cu ’ a ch´ung. 2. Chı ’ r˜o thuˆo . ct´ınh d¯˘a . c tru . ng cu ’ a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p. Ta c´o thˆe ’ x´ac d¯i . nh mˆo . ttˆa . pho . . pb˘a ` ng c´ach chı ’ r˜o c´ac t´ınh chˆa ´ t chung cu ’ a c´ac phˆa ` n tu . ’ cu ’ atˆa . pho . . pd¯´od¯ˆe ’ sau d¯´o du . . a v`ao c´ac t´ınh chˆa ´ t n`ay ta c´o thˆe ’ kh˘a ’ ng d¯i . nh mˆo . td¯ˆo ´ itu . o . . ng n`ao d¯´o c´o l`a mˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p d¯´o hay khˆong. C´ac t´ınh chˆa ´ tnhu . vˆa . ygo . i l`a thuˆo . c t´ınh d¯˘a . c tru . ng cu ’ a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p. Th´ıdu . : Tˆa . pho . . p c´ac u . ´o . csˆo ´ nguyˆen du . o . ng cu ’ a 24 l`a: 12