Đường thẳng Một đường thẳng được hiểu như là một đường dài (vô hạn), mỏng (vô cùng) và thẳng tuyệt đối. Trong hình học Euclide, có một và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ khác nhau. Đường thẳng này tạo ra đoạn nối ngắn nhất giữa hai điểm đó. Hai hay ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng được gọi là cộng tuyến. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là song song tức không bao giờ gặp nhau, hoặc giao nhau tại một và chỉ một điểm. Hai mặt phẳng giao nhau nhiều nhất là một đường thẳng. Đường thẳng trong mặt phẳng Descartes có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính và hàm tuyến tính. Three lines — the red and blue lines have same slope, while the red and green ones have same y-intercept. Khái niệm trực quan về đường thẳng có thể được hình thức hóa bằng nhiều cách. Nếu hình học được phát triển theo phương pháp tiên đề (như trong tác phẩm Các phần tử của Euclid hay trong tác phẩm sau này Cơ sở của hình học của David Hilbert), thì đường thẳng chẳng được định nghĩa gì cả, mà chỉ được đặc trưng bởi các tính chất của nó trong hệ tiên đề. "Bất kỳ thứ gì thỏa mãn các tiên đề của đường thẳng thì nó chính là đường thẳng.". Trong khi Euclide đã từng định nghĩa đường thẳng là cái gì đấy "có chiều dài mà không có bề dày", thực ra ông chưa bao giờ dùng định nghĩa mơ hồ này ở các chứng minh phía sau trong tác phẩm của mình. Trong không gian Euclide R n (và cũng như trong mọi không gian vector khác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang xét và có dạng với a và b là hai vector cho trước trong R n , đồng thời b phải khác vector 0. Vector b xác định hướng của đường thẳng, và a là một điểm nằm trên đường thẳng. Chọn các vector a và b khác nhau có thể dẫn đến kết quả cùng một đường thẳng. Trong không gian hai chiều, chẳng hạn trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là hai đường thẳng song song hoặc phải cắt nhau tại một điểm. Tuy nhiên, trong không gian nhiều hơn hai chiều, hai đường thẳng có thể không song song nhau mà cũng chẳng cắt nhau, và hai đường thẳng như vậy gọi là hai đường thẳng chéo nhau. Trong R 2 , mọi đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính có dạng với a, b và c là các hệ số thực cố định trong đó a và b không đồng thời bằng 0 (xem phần phương trình tuyến tính để có thêm các dạng khác). Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều là độ dốc, giao điểm của nó với trục x, giao điểm của nó với trục y. Trừu tượng hơn, người ta thường nghĩ về trục số thực như là một nguyên mẫu điển hình cho một đường thẳng, và giả định rằng mỗi điểm trên đường thẳng tương ứng một-một với một số thực nào đó trên trục số thực. Thế nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng cả số siêu thực và kể cả đường thẳng dài trong lý thuyết topo để làm nguyên mẫu cho đường thẳng. Tính chất "thẳng" của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất cho phép đường thẳng cực tiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm, mà về sau có thể được tổng quát hóa thành khái niệm đường trắc địa trong đa tạp khả vi. Tia Trong hình học Ơclít, nếu cho một đường thẳng l và hai điểm A và B, một tia, hay nửa- đường thẳng, có gốc A và đi qua B là tập hợp các điểm C trên đường thẳng l sao cho A và B đều thuộc tập hợp này và A không nằm giữa C và B. Điều này có nghĩa là, trong hình học, một tia phát xuất từ một điểm rồi đi mãi về một hướng. Trong quang học, nhất là trong quang hình, đường lan truyền của ánh sáng hoặc các bức xạ điện từ khác, trong môi trường đồng nhất, là một đường thẳng và được gọi là tia sáng hay quang tuyến. Tia này vuông góc với mặt sóng trong lý thuyết quang sóng. Mặt phẳng Mặt phẳng là một khái niệm cơ bản trong toán học (được thừa nhận không định nghĩa), là một tập hợp tất cả các điểm trong không gian ba chiều mà tọa độ Descartes x, y, z của chúng thoả mãn một phương trình có dạng ax + by + cz + d = 0, trong đó a, b, c, d là các hằng số sao cho a, b, c không đồng thời bằng 0. Mặt phẳng được hình dung chỉ có chiều dọc và chiều ngang mà không có chiều dày Song song Đồ thị vẽ a và b là hai đường thẳng song song Trong hình học Euclide, hai đường thẳng được gọi là song song khi chúng cùng nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung. Trong trường hợp này, chúng được gọi là không cắt nhau, không giao nhau, hoặc không tiếp xúc nhau. Hai đường thẳng bất kỳ trong hình học phẳng Euclide chỉ có thể rơi vào hai trường hợp: • cắt nhau tại ít nhất một điểm nào đó • song song với nhau Mở rộng ra trên hình học phi Euclide, khái niệm đường thẳng được thay bằng khái niệm đường trắc địa. Hai đường trắc địa trong hình học phi Euclide chỉ có thể rơi vào 3 trường hợp: • cắt nhau tại ít nhất một điểm xác định nào đó • song song: cắt nhau tại một điểm ở vô cực (có điểm chung ở vô cực) • siêu song song: không bao giờ cắt nhau (không bao giờ có điểm chung) Đoạn thẳng Trong hình học, một đoạn thẳng là một phần của đường thẳng mà bị giới hạn bởi hai đầu mút, và là quĩ tích của tất cả những điểm nằm giữa hai đầu mút này trong quan hệ thẳng hàng. Các ví dụ về đoạn thẳng là: các cạnh của một tam giác hay một hình vuông. Tổng quát hơn, nếu cả hai đầu mút là hai đỉnh kề nhau của một đa giác, đoạn thẳng đó là một cạnh (của đa giác đang xét), nếu hai đầu mút không phải là hai đỉnh kề nhau thì đoạn thẳng đó là đường chéo của đa giác. Khi các đầu mút nằm trên cùng một đường như là đường tròn, thì đoạn thẳng đó được gọi là một dây cung (của đường đang xét). Định nghĩa Giả sử (đường thẳng) là một không gian vector trên (mặt phẳng số thực) hay , và là một tập con của . Khi đó được gọi là một đoạn thẳng nếu L có thể được biểu diễn dưới dạng tham số như sau: với thuộc và . Định nghĩa hình học của đoạn thẳng Đôi khi người ta muốn phân biệt giữa "đoạn thẳng mở" và "đoạn thẳng đóng". Để làm điều đó, người ta định nghĩa đoạn thẳng mở như phần trên và định nghĩa đoạn thằng đóng như là tập con được biểu diễn dưới dạng tham số sau đây: với thuộc và . Một định nghĩa khác hoàn toàn tương đương: Một đoạn thẳng (đóng) là bao lồi của hai điểm phân biệt. Tính chất • Đoạn thẳng là một tập hợp không rỗng và liên thông. • Nếu V là một không gian vector topo, khi đó một đoạn thẳng đóng là một tập đóng trong V. Tuy nhiên, một đoạn thẳng mở là một tập mở trong V nếu và chỉ nếu V là không gian một chiều. • Tổng quát hơn so với tất cả những gì trình bày ở trên, khái niệm đoạn thẳng có thể được định nghĩa trong hình học sắp thứ tự. Khoảng (toán học) Trong toán học, khoảng là một khái niệm liên quan đến dãy và tích thuộc về tập hợp của một hoặc nhiều số. Giới thiệu trên số thực Trên trường số thực, một khoảng là một tập hợp chứa mọi số thực nằm giữa hai số được cho trước, và có thể chứa cả hai số đó. Ký hiệu khoảng là ký hiệu biểu diễn các giá trị nằm trong một khoảng. Ví dụ: 5 < x < 9 Trong ký hiệu khoảng truyền thống, cặp ngoặc đơn, "()", có nghĩa là tập hợp khoảng không chứa hai điểm đầu mút, còn cặp ngoặc vuông, "[]", hàm ý chứa cả hai đầu mút. Ví dụ, (10,20) ký hiệu tập hợp mọi số thực x nằm giữa 10 và 20 nhưng không bao gồm hai giá trị đầu và cuối của khoảng (10 và 20). Tức là 10 < x < 20 Trong khi đó, khoảng [10,20] bao gồm tất cả các số nằm giữa 10 và 20 và cả hai đầu mút 10 và 20. Tức là: 10 ≤ x ≤ 20 Khoảng sử dụng cặp ngoặc vuông còn được gọi là đoạn, có ý nghĩa gần giống đoạn thẳng trong hình học. Có thể kết hợp "[)" hay "(]": [10,20) tức là 10 ≤ x < 20 (10,20] tức là 10 < x ≤ 20 Tổng quát Định nghĩa tổng quát của khoảng được phát biểu như sau: Một khoảng là một tập con liên tục S của một tập thứ tự đầy đủ (totally ordered set) T có tính chất như sau: Với mọi phần tử x và y thuộc S và x<z<y thì z thuộc S. Trường hợp ở mục trên tương ứng với T là tập hợp số thực. Phân loại trên số thực Các khoảng của trên tập hợp số thực thuộc một trong 11 loại sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. chính là tập tất cả các số thực 10. {a} 11. tập rỗng Với a và b là các số thực, và a < b; chúng được gọi là các đầu mút của khoảng. Như vậy ngoặc vuông [ hoặc ] có nghĩa rằng đầu mút đó được bao hàm trong khoảng, trong khi ngoặc ( hoặc ) có nghĩa ngược lại. Để biết thêm thông tin về ký hiệu trên, xem lý thuyết tập hợp ngây thơ (Naive set theory). Các khoảng thuộc các loại (1), (5), (7), (9) và (11) được gọi là các khoảng mở (vì chúng là các tập mở. Các khoảng thuộc các loại (2), (6), (8), (9), (10) và (11) được gọi là các khoảng đóng (vì chúng là các tập đóng. Các khoảng thuộc loại (3) và (4) đôi khi được gọi là các khoảng nửa-đóng (hoặc nửa-mở). Lưu ý rằng các khoảng (9) và (11) vừa mở vừa đóng, điều đó không giống với nửa-đóng và nửa-mở. Các khoảng (1), (2), (3), (4), (10) và (11) được gọi là các khoảng bị chặn hay khoảng đóng, và các khoảng (5), (6), (7), (8) và (9) là các khoảng không bị chặn hay khoảng mở. Độ dài của các khoảng đóng (1), (2), (3), (4) là b − a tương ứng cho mỗi trường hợp. Khoảng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết về tích phân, vì chúng là các tập hợp đơn giản nhất với "kích thước", "độ đo" (measure) hay "độ dài" dễ định nghĩa. Khái niệm độ đo có thể được mở rộng cho các tập phức tạp hơn, dẫn đến độ đo Borel và cuối cùng là độ đo Lebesgue. Điểm • Điểm (toán học): khái niệm cơ bản trong toán học, được thừa nhận như một khái niệm xuất phát để xây dựng môn hình học, được hình dung như là cái gì đó rất nhỏ bé, không có kích thước hay kích thước bằng không. Trong toán học hiện đại, điểm được hiểu là một phần tử trong một không gian trừu tượng. . Đường thẳng Một đường thẳng được hiểu như là một đường dài (vô hạn), mỏng (vô cùng) và thẳng tuyệt đối. Trong hình học Euclide, có một và chỉ có một đường. nằm trên cùng một đường như là đường tròn, thì đoạn thẳng đó được gọi là một dây cung (của đường đang xét). Định nghĩa Giả sử (đường thẳng) là một không gian