Chu’ ong ’ ´ THUYET ˆ´ TU’ONG ` HAM ` HOI ˆ` QUI ’ LY QUAN VA ˜ NHIEN ˜’ HAI DAI LU’ONG ˆ´ QUAN HE ˆ GIUA ˆ ˆ MOI NGAU ¯ ’ ˜’ ch´ ’ s´at hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X, Y ta thˆa´y giua ung c´o thˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ Khi khao quan hˆe sau: ´’ nhau, tuc ´’ l`a viˆe.c nhˆa.n gi´a tri cua ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen n`ay i) X v`a Y d¯ˆo.c lˆa.p voi ´ ˜ ’ ’ hu’ong ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen khˆong anh ’ d¯ˆen viˆe.c nhˆa.n gi´a tri cua ii) X v`a Y c´o mˆo´i phu thuˆo.c h`am sˆo´ Y = ϕ(X) iii) X v`a Y c´o su.’ phu thuˆo.c tu’ong ’ quan v`a phu thuˆo.c khˆong tu’ong ’ quan ˆ SO ˆ´ TU’ONG ’ HE QUAN 2.1 Moment tu’ ong quan (Covarian) ’ ¯Di.nh nghi˜a ’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆ * Moment tu’ong a˜u nhiˆen X v`a Y, k´ı ’ quan (hiˆe.p phu’ong ’ sai) cua ´ hiˆe.u cov(X, Y ) hay µXY , l`a sˆo d¯u’o.’c x´ ac d¯.inh nhu’ sau cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} * Nˆe´u cov(X, Y ) = th`ı ta n´oi hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen X v`a Y khˆong tu’ong ’ quan Ch´ uy ´ cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) Thˆa.t vˆa.y, ta c´o cov(XY ) = E{X.Y − X.E(Y ) − Y.E(X) + E(X).E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) − E(X).E(Y ) + E(X).E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ) 99 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 100 ⊕ Nhˆ a.n x´ et `’ ra.c th`ı * Nˆe´u (X, Y ) roi cov(X, Y ) = n X m X i=1 j=1 xi yj P (xi , yj ) − E(X)E(Y ) * Nˆe´u (X, Y ) liˆen tu.c th`ı cov(X, Y ) = +∞ Z +∞ Z −∞ −∞ xyf (x, y)dxdy − E(X)E(Y ) ⊕ Nhˆ a.n x´ et i) Nˆe´u X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ c lˆa.p th`ı ch´ ung khˆong tu’ong ’ quan ii) Cov(X,X)=Var(X) 2.2 Hˆ e sˆ o´ tu’ ong quan ’ ’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆ ¯Di.nh nghi˜a Hˆe sˆo´ tu’ong a˜u nhiˆen X v`a Y, k´ı hiˆe.u rXY , ’ quan cua l` a sˆ o´ d¯u’o.’c x´ac d¯.inh nhu’ sau rXY = cov(X, Y ) SX SY ´’ Sx , SY l`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cua ’ X, Y voi ´ nghi˜a cua ’ hˆ •Y e sˆ o´ tu’ ong quan ’ ´’ d¯oˆ phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh giua ˜’ X v`a Y Khi |rXY | c`ang Hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan d¯o muc gˆa`n th`ı mˆo´i quan hˆe tuyˆe´n t´ınh c`ang ch˘ a.t, |rXY | c`ang gˆa`n th`ı quan hˆe tuyˆe´n ’ ’ t´ınh c`ang ”long leo” 2.3 ´’ lu’ o.’ng hˆ U’ oc e sˆ o´ tu’ ong quan ’ Lˆa.p mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WXY = [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ) (Xn , Yn )] E(XY ) − E(X).E(Y ) ’ ´’ lu’o’ng hˆe sˆo´ tu’ong ta d` ung thˆo´ng kˆe ’ quan rXY = ¯Dˆe u’oc SX SY R= XY − X.Y SX SY Y = n 1X Yi , n i=1 d¯´o X= n 1X Xi , n i=1 SX = n 1X (Xi − X)2 , n i=1 SY2 = XY = n 1X Xi Yi n i=1 n 1X (Yi − Y )2 n i=1 Hˆ e sˆ o´ tu’ong quan ’ 101 ´’ mˆa˜u cu thˆe’, ta t´ınh d¯u’o.’c gi´a tri cua ’ R l`a Voi rXY = xy − x.y sx sy d¯´o n 1X x= xi , n i=1 s2x = n 1X y= yi , n i=1 n 1X x2 − (x)2 , n i=1 i n 1X xy = xi yi n i=1 s2y = n 1X y − (y)2 n i=1 i Ta c´o rXY = 2.4 q n P P xy − ( P P n( x2 ) − ( x)2 P x)( q y) P P n( y ) − ( y)2 ’ a hˆ T´ınh chˆ a´t cu e sˆ o´ tu’ ong quan ’ xy − x.y ´’ d¯ˆo ch˘ ’ su.’ a.t che’ cua d¯u’o.’c d` ung d¯ˆe’ d¯a´nh gi´a muc sx sy ˜’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a Y , n´o c´o c´ac t´ınh phu thuˆo.c tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh giua chˆa´t sau d¯ˆay: Hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan r = i) |r| ≤ ’ che ii) Nˆe´u |r| = th`ı X v`a Y c´o quan hˆe tuyˆe´n t´ınh ´’ th`ı su.’ phu thuˆo.c tu’ong ˜’ X v`a Y c`ang ch˘ iii) Nˆe´r |r| c`ang lon a.t ’ quan tuyˆe´n t´ınh giua ˜’ X v`a Y khˆong c´o phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh tu’ong iv) Nˆe´u |r| = th`ı giua ’ quan v) Nˆe´u r > th`ı X v`a Y c´o tu’ong ang th`ı Y t˘ ang) Nˆe´u r < th`ı ’ quan thuˆa.n (X t˘ ’ th`ı Y giam) ’ X v`a Y c´o tu’ong ’ quan nghi.ch (X giam ’’ bang ’ sau, h˜ ’ Y v`a • V´ı du Tu`’ sˆo´ liˆe.u d¯u’o.’c cho boi ay x´ac d¯.inh hˆe sˆ o´ tu’ong ’ quan cua X X Y 4 ’ Giai ’ sau Ta lˆa.p bang 11 14 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 102 xi yi x2i xi yi yi2 1 1 4 16 16 16 36 24 16 64 40 25 81 63 49 11 121 88 64 14 196 126 81 P P P P P x = 56 y = 40 x = 524 xy = 364 y = 256 ’ X v`a Y l`a Hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan cua n P P P y) q P rXY = q P P P n( x2 ) − ( x)2 n( y ) − ( y)2 =q xy − ( x)( 8.364 − (56).(40) q 8.524 − (56)2 8.256 − (40)2 2.5 = 672 = 0, 977 687, 81 Ty’ sˆ o´ tu’ ong quan ’ ’ ´’ d¯ˆo ch˘ `’ ta d` ’ su.’ phu thuˆo.c tu’ong a.t che’ cua ung ’ quan phi tuyˆe´n, ngu’oi ¯Dˆe d¯a´nh gi´a muc ty’ sˆ o´ tu’ong ’ quan: ηY /X = d¯´o sy = s 1X ni (yxi − y)2 ; n sy sy sy = s 1X mj (yj − y)2 n Ty’ sˆo´ tu’ong ’ quan c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau: i) ≤ ηY /X ≤ ii) ηY /X = v`a chi’ Y v`a X khˆong c´o phu thuˆo.c tu’ong ’ quan iii) ηY /X = v`a chi’ Y v`a X phu thuˆo.c h`am sˆo´ iv) ηY /X ≥ |r| ’ Y v`a X c´o da.ng tuyˆe´n t´ınh Nˆe´u ηY /X = |r| th`ı su.’ phu thuˆo.c tu’ong ’ quan cua 2.6 Hˆ e sˆ o´ x´ ac d ¯.inh mˆ a˜u `’ ta c`on x´et ’ mˆo h`ınh tuyˆe´n t´ınh ngu’ot Trong thˆo´ng kˆe, d¯ˆe’ d¯´anh gi´a chˆa´t lu’o.’ng cua ´’ r l`a hˆe sˆo´ tu’ong hˆe sˆ o´ x´ac d¯.inh mˆa˜u β = r voi ’ quan Ta c´o ≤ β ≤ 3 Hˆ o`i qui 103 ˆ` QUI HOI 3.1 K` y vo.ng c´ od ¯iˆ e`u kiˆ e.n `’ ra.c i) ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi ´’ d¯iˆe`u kiˆe.n X = x l`a `’ ra.c Y voi ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi * K` y vo.ng c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua E(Y /x) = m X yj P (X = x, Y = yj ) j=1 ´’ d¯iˆe`u kiˆe.n `’ ra.c X voi ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi * Tu’ong y vo.ng c´o d¯iˆe`u kiˆe.n cua ’ tu.’, k` Y = y l`a E(X/y) = n X xi P (X = xi , Y = y) i=1 ii) ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c E(Y /x) = +∞ R yf (y/x)dy −∞ E(X/y) = +∞ R xf (x/y)dx −∞ d¯´o ´’ x khˆong d¯ˆo’i f (y/x) = f (x, y) voi ´’ y khˆong d¯ˆo’i f (x/y) = f (x, y) voi 3.2 H` am hˆ o`i qui ´’ X l`a f (x) = E(Y /x) ’ Y d¯ˆo´i voi * H`am hˆo`i qui cua ´’ Y l`a f (y) = E(X/y) ’ X d¯ˆo´i voi * H`am hˆo`i qui cua ´’ nhau, `’ g˘ Trong thu.’c tˆe´ ta thu’ong a.p hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X, Y c´o mˆo´i liˆen hˆe voi ’ s´at X th`ı dˆe˜ c`on khao ’ s´at Y th`ı kh´o hon ’ d¯o´ viˆe.c khao ’ thˆa.m ch´ı khˆong thˆe’ khao `’ ta muˆo´n t`ım mˆo´i liˆen hˆe ϕ(X) n`ao d¯´o giua ˜’ X v`a Y d¯ˆe’ biˆe´t X ta c´o thˆe’ s´at d¯u’o.’c Ngu’oi du.’ d¯o´an d¯u’o.’c Y ’ l`a E[Y − ϕ(X)]2 Gia’ su’’ biˆe´t X, nˆe´u du.’ d¯o´an Y ba˘`ng ϕ(X) th`ı sai sˆo´ pha.m phai Vˆa´n d¯ˆe`d¯u’o.’c d¯a˘ t l`a t`ım ϕ(X) nhu’ thˆe´ n`ao d¯ˆe’ E[Y − ϕ(X)]2 l`a nho’ nhˆa´t ´’ minh cho.n ϕ(X) = E(Y /X) (voi ´’ ϕ(x) = E(Y /x)) th`ı E[Y − ϕ(X)]2 Ta s˜ e chung s˜ e nho’ nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y, ta c´o E[Y − ϕ(X)]2 = E{([Y − E(Y /X)] + [E(Y /X) − ϕ(X)])2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{[E(Y /X) − ϕ(X)]2 } +2E{[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)]} Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 104 Ta thˆa´y E(Y /X) chi’ phu thuˆo.c v`ao X nˆen c´o thˆe’ d¯a˘ t T (X) = E(Y /X) − ϕ(X) V`ı E[E(Y /X)T (X)] = E[Y T (X)] nˆen 2E[Y − E(Y /X)][E(Y /X) − ϕ(X)] = 2E{[Y − E(Y /X)]T (X)} = 2E[Y T (X)] − 2E[E(Y /X)T (X)] = Do d¯´o E{[Y − ϕ(X)]2 } = E{[Y − E(Y /X)]2 } + E{E(Y /X) − ϕ(X)]2 nho’ nhˆa´t E{[(Y /X) − ϕ(X)]2 = Ta chi’ cˆa`n cho.n ϕ(X) = E(Y /X) (6.1) Phu’ong o`i qui ’ tr`ınh (6.1) d¯u’o.’c go.i l`a phu’ong ’ tr`ınh tu’ong ’ quan hay phu’ong ’ tr`ınh hˆ 3.3 X´ ac d ¯.inh h` am hˆ o`i qui `’ a) Tru’ ong ho.’p ´ıt sˆ o´ liˆ e.u (tu’ong a ’ quan c˘ p) ´’ l`a ˜’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a Y c´o tu’ong Gia’ su’’ giua ’ quan tuyˆe´n t´ınh, tuc E(Y /X) = AX + B ’ (X, Y ) ta t`ım h`am Du.’a v`ao n c˘ a.p gi´a tri (x1 , x2 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) cua yx = y = ax + b (∗) ´’ lu’o.’ng h`am Y = AX + B d¯ˆe’ u’oc (*) d¯u’o.’c go.i l`a hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆ a˜u ’ (*) mˆo.t c´ach xˆa´p xi.’ ’ x v`a y nˆen thoa V`ı c´ac c˘ a.p gi´a tri trˆen l`a tri xˆa´p xi’ cua Do d¯´o yi = axi + b + εi hay εi = yi − axi − b Ta t`ım a, b cho c´ac sai sˆo´ εi (i = 1, n) c´o tri tuyˆe.t d¯ˆo´i nho’ nhˆa´t hay h`am S(a, b) = n X i=1 (yi − axi − b)2 d¯a.t cu.’c tiˆe’u Phu’ong ap b`ınh phu’ong a´t ’ ph´ap t`ım n`ay d¯u’o.’c go.i l`a phu’ong ’ ph´ ’ b´e nhˆ `’ thoa ’ m˜ Ta thˆa´y S s˜ e d¯a.t gi´a tri nho’ nhˆa´t ta.i d¯iˆe’m dung an 0= n X ∂S = −2 xi (yi − axi − b) ∂a i=1 0= n X ∂S = −2 (yi − axi − b) ∂b i=1 Hˆ o`i qui hay n X x2i i=1 ! a + n X D= n P n x2i Pi=1 n i=1 xi ! n X xi b = i=1 ! i=1 n X xi a + nb = i=1 ´’ Hˆe trˆen c´o d¯.inh thuc n X 105 Pn i=1 xi n xi yi (6.2) yi i=1 =n n X x2i i=1 n X − xi i=1 !2 ´’ Bunhiakovsky ta c´o (Pni=1 xi )2 < V`ı c´ac xi kh´ac nˆen theo bˆa´t d¯a˘’ ng thuc ¯´o D > Suy hˆe trˆen c´o nghiˆe.m nhˆa´t i=1 xi Do d Pn a= b= Pn ( Nˆe´u d¯a˘ t n X x= xi , n i=1 n i=1 Pn P P xi yi − ( ni=1 xi ) ( ni=1 yi ) P P n ni=1 x2i − ( ni=1 xi )2 i=1 P P Pn x2i ) ( ni=1 yi ) − ( ni=1 xi ) ( P P n ni=1 x2i − ( ni=1 xi )2 n X y= yi , n i=1 i=1 n X xy = xi yi , n i=1 xi yi ) x2 n 1X = x2i n i=1 ´’ da.ng ’ hˆe c´o thˆe’ viˆe´t la.i du’oi th`ı nghiˆe.m cua a= xy − x.y xy − x.y ; = 2 s2x x − (x) b= x2 y − x.xy x2 y − x.xy = s2x x2 − (x)2 ´’ `’ c´ac cˆong thuc T´om la.i, ta c´o thˆe’ t`ım h`am yx = ax + b tu P P P xy − x.y n( xy) − ( x)( y) a= = P P s2x n( x2 ) − ( x)2 b = y − a.x Ch´ uy ´ -bb-error = `’ gˆa´p kh´ uc nˆo´i c´ac d¯iˆe’m (x1 , y1 ), ¯Du’ong `’ hˆ (x2 , y2 ) , , (xn , yn ) d¯u’o.’c go.i l`a d¯u’ong o`i qui thu.’c nghiˆe.m ’’ `’ tha˘’ ng y = ax + b nhˆa.n d¯u’o.’c boi ¯Du’ong ´ ´ cˆong thuc ’ b´e nhˆat khˆong d¯i qua ’ b`ınh phu’ong `’ tha˘’ ng d¯u’o.’c tˆa´t ca’ c´ac d¯iˆe’m nhung ’ l`a d¯u’ong `’ ”gˆa`n” c´ac d¯iˆe’m d¯o´ nhˆa´t d¯u’o.’c go.i l`a d¯u’ong ’ `’ tha˘ng hˆ o`i qui v`a thu’ tu.c l`am th´ıch ho.’p d¯u’ong ’ ’ ´’ tha˘ng thˆong qua c´ac d¯iˆem du˜’ liˆe.u cho tru’oc d¯u’o.’c go.i l`a hˆ o`i qui tuyˆe´n t´ınh `’ tha˘’ ng hˆo`i qui Theo trˆen ta c´o b = y − a.x, d¯o´ d¯iˆe’m (x, y) luˆon na˘`m trˆen d¯u’ong Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 106 ´’ lu’o.’ng h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆ ’ Y theo X trˆen co’ so’’ bang ’ tu’ong • V´ı du U’oc a˜u xua ’ quan c˘ a.p sau X 15 38 Y 145 228 23 150 16 130 16 160 13 114 20 142 24 265 ’ Giai ’ sau Ta lˆa.p bang xi yi x2i xi yi 15 145 225 3175 38 228 1444 8664 23 150 529 3450 16 130 256 2080 16 160 256 2560 13 114 169 1482 20 142 400 2840 24 265 576 6360 P P P P x = 165 y = 1334 x = 3855 xy = 29611 Ta c´o a= = P n( P P xy) − ( x)( y) P P n( x ) − ( x)2 8(19611) − (165)(1334) 16778 = = 4, 64 8(3855)(165) 3615 b = y − ax =  1334 16778 − 3615   165 = 71 Vˆa.y h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u l`a yx = 4, 64x + 71 ´’ son ’’ d¯ˆe´n su.’ bay hoi ’ khˆong kh´ı anh ’ ’ nu’oc • V´ı du ¯Dˆo ˆa’m cua hu’ong ’ cua ’ ’ ´ ´ ´ ` ˜ ’ phun Ngu’oi oi liˆen hˆe giua o ˆ am cua khˆong kh´ı X v` a d¯ˆ o ’ ta tiˆen h`anh nghiˆen cuu ’ mˆ ’ d¯ˆ bay hoi ay s˜ e gi´ up ta tiˆe´t kiˆe.m d¯u’o.’c lu’o.’ng son ’ Y Su.’ hiˆe’u biˆe´t vˆe` mˆo´i quan hˆe n` ’ ba˘`ng ’ s´ c´ ach chinh ung phun son o´ ’ mˆo.t c´ach th´ıch ho.’p Tiˆe´n h`anh 25 quan s´at ta d¯u’o.’c c´ac sˆ liˆe.u sau: Hˆ o`i qui Quan s´ at ¯Dˆ o ˆ a’m ¯Dˆ o (%) 35,3 29,7 30,8 58,8 61,4 71,3 74,4 76,7 70,7 10 57,5 11 46,4 12 28,9 13 28,1 bay hoi ’ (%) 11,0 11,1 12,5 8,4 9,3 8,7 6,4 8,5 7,8 9,1 8,2 12,2 11,9 Quan s´ at ¯Dˆ o ˆ a’m ¯Dˆ o (%) 14 39,1 15 46,8 16 48,5 17 59,3 18 70,0 19 70,0 20 74,4 21 72,1 22 58,1 23 44,6 24 33,4 25 28,6 107 bay hoi ’ (%) 9,6 10,9 9,6 10,1 8,1 6,8 8,9 7,7 8,5 8,9 10,4 11,1 H˜ ay t`ım h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u yx = ax + b ’ Giai Ta c´o X n = 25 X x = 1314, X x2 = 76308, 53 X X y = 235, y = 2286, 07 xy = 11824, 44 Do d¯´o a= P n( P P xy) − ( x)( y) 25 × 11824, 44 − (1314, × 235, 7) = = −0, 08 P P n( x ) − ( x) 25 × 76308, 53 − (1314, 9)2 b = y − ax = 9, 43 − (−0, 08) × 52, = 13, 64 Vˆa.y h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u l`a yx = −0, 08x + 13, 64 `’ ’ b) Tru’ ong ho.’p nhiˆ e`u sˆ o´ liˆ e.u (tu’ong ’ quan bang) Gia’ su’’ ´’ tˆa`n suˆa´t ni i = 1, k, X nhˆa.n c´ac gi´a tri xi voi ´’ tˆa`n suˆa´t mj j = 1, h, Y nhˆa.n c´ac gi´a tri yj voi ´’ tˆa`n suˆa´t nij i = 1, k, j = 1, h, XY nhˆa.n c´ac gi´a tri xi yj voi `’ ho.’p c´o nhiˆe`u sˆo´ liˆe.u Theo Ta t`ım hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u yx = ax + b tru’ong (6.2) ta c´o Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 108 k X ni x2i i=1 ! a + k X ! ni xi a + nb = i=1 Thay k X ni xi = nx, i=1 k X h X h X ni xi b = i=1 k X ! mj yj = ny, j=1 k X h X nij xi yj i=1 j=1 h X (6.3) mj yj j=1 k X ni x2i = nx2 , i=1 h X mj yj2 = ny , j=1 nij xi yj = nxy v`ao (6.3) ta d¯u’o.’c i=1 j=1 x2 a + x.b = xy (i) x.a + nb = y (ii) `’ (ii) ta c´o b = y − a.x Tu Thay b v`ao yx = ax + b ta suy yx − y = a(x − x) ’’ Ta t`ım a boi a= Pk i=1 Ph (6.4) P P nij xi yj − ( ki=1 ni xi )( hj=1 mj yj ) n2 xy − nx.ny = P P n ki=1 ni x2i − ( ki=1 ni xi )2 n.nx2 − (nx)2 j=1 = xy − x.y xy − x.y = 2 s2x x − (x) ´’ a = T´om la.i, ta t`ım hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u yx = ax + b voi Ch´ uy ´ i) Ta biˆe´t hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan rXY = xy − x.y , b = y − ax s2x xy − xy sy nˆen a = rXY sx sy sx Thay a v`ao (6.4) ta c´o yx − y = rXY sy (x − x) sx hay (x − x) yx − y = rXY sy sx `’ phu’ong Tu ’ tr`ınh n`ay ta c´o thˆe’ suy phu’ong ’ tr`ınh hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u yx = ax+b mˆo.t c´ach thuˆa.n lo.’i hon ’ v`ı thˆong qua viˆe.c t`ım rXY ta d¯a˜ t´ınh sx , sy ´’ ta c´o thˆe’ d` ’ X, Y kh´a lon, ii) Khi c´ac gi´a tri cua ung ph´ep d¯ˆo’i biˆe´n ui = xi − x0 hx (∀i = 1, k); vj = yj − y0 hy (∀j = 1, h) Hˆ o`i qui 109 d¯´o ´’ voi ´’ tˆa`n sˆo´ ˜’ gi´a tri t` `’ cho.n x0 , y0 l`a gi´a tri cua ’ X, Y ung * x0 , y0 l`a nhung uy y ´ (thu’ong ´’ nhˆa´t bang ’ tu’ong nij lon ’ quan thu.’c nghiˆe.m), `’ cho.n hx , hy l`a khoang ’ c´ach c´ac gi´a tri kˆe´ tiˆe´p * hx , hy l`a c´ac gi´a tri t` uy y ´ (thu’ong ’ X, Y) cua ´’ c´ac biˆe´n moi ´’ U, V v`a t´ınh to´an c´ac gi´a tri cˆa`n thiˆe´t ta ’ tu’ong Lˆa.p bang ’ quan d¯ˆo´i voi t`ım d¯u’o.’c h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u vu = a0 u + b0 d¯´o a0 = uv − u.v , s2u b0 = v − a0 u ´’ a, b d¯u’o.’c t`ım boi ´’ ’’ cˆong thuc Khi d¯´o ta suy h`am yx = ax + b voi a = a0 hy , hx b = y0 + b0 hy − a0 hy x0 hx ’ • V´ı du X´ac d¯.inh hˆe sˆo´ tu’ong o`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆ a˜u yx = ax + b cua ’ quan v`a h`am hˆ ˜ ’ ’ c´ ac d¯a.i lu’ong ng a ˆ u nhiˆ e n X v` a Y cho b oi b ang t u ong quan th u c nghiˆ e m sau: ’ ’ ’’ ’ X Y 10 20 30 30 1 48 20 ’ Giai ’ sau Ta lˆa.p bang X Y 10 200 |20 20 30 ni ni xi ni x2i 1200 60 20 20 20 31 62 124 60 |30 |1 4320 49 147 441 |1 |48 mj mj yj mj yj2 20 200 2000 31 620 12400 49 1470 44100 n=100 P x = 229 P x = 585 P y = 2290 P y P = 58500 xy = 5840 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 110 X xy = 200 + 1200 + 60 + 60 + 4320 = 5840 ’ ˆo ghi c´ac t´ıch nij xi yj Ta c´o Phˆa`n trˆen g´oc tr´ai cua x= x2 = 229 = 2, 29; 100 585 = 5, 58; 100 y2 = y= 2290 = 22, 9; 100 58500 = 585 100 xy = 5840 = 58, 4; 100 =⇒ sx ≈ 0, 78 s2x = x2 − (x)2 = 5, 85 − (2, 29)2 ≈ 0, 6059 sy = Do d¯´o a= q y − (y)2 = q 585 − (22, 9)2 ≈ 7, 78 xy − x.y 58, − 2, 29 × 22, = = 9, 835 sx 0, 6059 b = y − a.x = 22, − 9, 835 × 2, 29 = 0, 378 H`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u l`a yx = 9, 835x + 0, 378 Hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan l`a rxy = xy − x.y 58, − 2, 29 × 22, = ≈ 0, 982 sx sy 0, 78 × 7, 78 ` TA ˆ P BAI ’ hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a Y o’’ bang ’ sau: Cho c´ac gi´a tri quan s´at cua X Y 20 10 20 10 30 10 30 15 30 15 40 15 50 20 50 20 60 20 60 Gia’ su’’ X v`a Y c´o su.’ phu thuˆo.c tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh T`ım h`am hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u: y x = ax + b `’ ta d¯o chiˆe`u d`ai vˆa.t d¯u ’ qui d¯.inh nhusau: Ngu’oi ´c v`a khuˆon th`ı thˆa´y ch´ ung lˆe.ch khoi ’ X Y 0.90 -0,30 1,22 0,10 1,32 0,70 0,77 -0,28 1,30 0,25 1,20 0,02 1,32 0,37 0,95 -0,70 0,45 0,55 1,30 0,35 1,20 0,32 Trong d¯o´ X, Y l`a c´ac d¯ˆo lˆe.ch X´ac d¯.inh hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan ´’ quan hˆe giua ´’ ˜’ tˆo’ng san ’ phˆa’m nˆong nghiˆe.p Y voi Sˆo´ liˆe.u thˆo´ng kˆe nha˘`m nghiˆen cuu ’ cˆo´ d¯.inh X cua ’ 10 nˆong tra.i (t´ınh trˆen 100 ha) nhu’ sau: tˆo’ng gi´a tri t`ai san 111 B` tˆ a p X Y 11,3 13,2 12,9 15,6 13,6 17,2 16,8 18,8 18,8 20,2 20,0 23,9 22,2 22,4 23,7 23,0 26,6 24,4 27,5 24,6 `’ hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u y x = ax + b Sau d¯o´ t`ım phu’ong X´ac d¯.inh d¯u’ong ’ sai sai ´ ´ ` `’ hˆoi qui trˆen ’ tin cˆa.y 95% cho hˆe sˆo g´oc cua ’ d¯u’ong sˆo thu.’c nghiˆe.m v`a khoang ’ 100 ho.c sinh, ta d¯u’o.’c kˆe´t qua’ sau: ¯Do chiˆe`u cao X (cm) v`a tro.ng lu’o.’ng Y (kg) cua Y 35 40 45 50 55 − − − − − X 145 − 150 40 45 50 55 60 150 − 155 155 − 160 160 − 165 165 − 170 20 15 12 10 14 Gia’ thuyˆe´t X v`a Y c´o mˆo´ phu thuˆo.c tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh T`ım c´ac h`am hˆo`i qui a) y x = ax + b; b) xy = cy + d ’ 100 hecta l´ Theo d˜ oi lu’o.’ng phˆan b´on v`a n˘ ang suˆa´t l´ ua cua ua o’’ mˆo.t v` ung, ta thu ’ sˆo´ liˆe.u sau: d¯u’o.’c bang X Y 2,2 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 120 140 11 160 180 15 10 17 200 12 Trong d¯o´ X l`a phˆan b´on (kg/ha) v`a Y l`a n˘ ang suˆa´t l´ ua (tˆa´n/ha) ´’ lu’o.’ng hˆe sˆo´ tu’ong a) H˜ ay u’oc ’ quan tuyˆe´n t´ınh r b) T`ım phu’ong ’ tr`ınh tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh: y x = ax + b `’ k´ınh cua ’ mˆo.t loa.i cˆay, ta d¯u’o.’c kˆe´t qua’ cho bo’’ bang ’ sau: ¯Do chiˆe`u cao v`a d¯u’ong X Y 30 35 40 45 50 10 12 14 17 10 17 24 16 24 11 13 12 22 112 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ `’ k´ınh (cm) v`a Y l`a chiˆe`u cao (m) Trong d¯o´ X l`a d¯u’ong a) X´ac d¯.inh hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u r b) T`ım c´ac phu’ong ’ tr`ınh hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u c) C´ac phu’ong e thay d¯ˆo’i nhu’ thˆe´ n`ao nˆe´u X d¯u’o.’c t´ınh theo d¯on ’ tr`ınh trˆen s˜ ’ vi l`a m´et (m)? `’ BAI ` TA ˆ P • TRA’ LOI x = 14, y = 39, y x = 83 x + 53 r = −0, 3096 y x = 0, 67x + 7, 18, σ = 1, 126, (0, 6280 ; 0, 7176) a) y x = 0, 7018x − 61, 5537, b) xy = 0, 91y + 112, 96 r = 0, 8165; y x = 0, 017x + 0, 5622 a) r = 0, 69, b) y x = 0, 218x + 2, 434, xy = 2, 18y + 15, 87 c) y x0 = 21, 8x0 + 2, 434, xy = 0, 0218y + 0, 1587  ... 160 13 114 20 142 24 265 ’ Giai ’ sau Ta lˆa.p bang xi yi x2i xi yi 15 145 225 3175 38 228 1444 866 4 23 150 529 3450 16 130 2 56 2080 16 160 2 56 2 560 13 114 169 1482 20 142 400 2840 24 265 5 76. .. 5 76 6 360 P P P P x = 165 y = 1334 x = 3855 xy = 2 961 1 Ta c´o a= = P n( P P xy) − ( x)( y) P P n( x ) − ( x)2 8(1 961 1) − ( 165 )(1334) 167 78 = = 4, 64 8(3855)( 165 ) 361 5 b = y − ax =  1334 167 78... ’ quan cua X X Y 4 ’ Giai ’ sau Ta lˆa.p bang 11 14 Chu’ong ’ L´ y thuyˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ 102 xi yi x2i xi yi yi2 1 1 4 16 16 16 36 24 16 64 40 25 81 63 49 11 121 88 64