CHUYÊN ĐỀ 2: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN • Các phương pháp chính để tính nguyên hàm, tích phân. 1. Phương pháp bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm tích phân. 2. Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm, tích phân. 3. Phương pháp tích phân từng phần trong các bài toán nguyên hàm tích phân. • Định nghĩa nguyên hàm: - Giả sử f(x) là một hàm số liên tục / (a;b). Khi đó hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) /(a;b) khi và chỉ khi F’(x)=f(x) , ( ) ;x a b∀ ∈ . - Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) / (a;b) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) là tập hợp { } ( ) ;I F x C C R= + ∈ . Và họ các nguyên hàm của f(x) được kí hiệu: ( ) ( ) ;f x dx F x C C R= + ∈ ∫ . • Vi phân: ( ) '( )df x f x dx = • Các công thức cơ bản của nguyên hàm: 1. Nếu f(x) có nguyên hàm thì ( ) ( ) ( ) ' ( ); ( ) ( )f x dx f x d f x dx f x dx= = ∫ ∫ 2. Nếu f(x) có nguyên hàm thì: ( ) ( )dF x F x C= + ∫ 3. Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì: + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ + . ( ) . ( ) ,k f x dx k f x dx k R= ∈ ∫ ∫ • Định nghĩa tích phân: giả sử f(x) /(a;b) có nguyên hàm là F(x) khi đó ta định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ Công thức trên thường gọi là công thức newton – leibnit • Các tính chất cơ bản của tích phân: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ±    ∫ ∫ ∫ 2. ( ) . . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫ 3. ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ 4. ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ 5. Nếu ( ) ( ) [ ] ; ;f x g x x a b≤ ∀ ∈ và f(x) và g(x) đều… [ ] / ;a b thì: ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≤ ∫ ∫ Phương pháp 1: Phương pháp bảng nguyên hàm. “để sử dụng phương pháp bảng nguyên hàm, không những đòi hỏi phải sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm ngoài ra còn phải nắm vững các phép tính vi phân, biến đổi các đẳng thức và vi phân” Ví dụ Chìa khoá Lời giải 3 sinx+cosx sinx-cosx I dx= ∫ ( ) sinx-cosx osx+sinxd c= 1 3 2 0 1 x dx x + ∫ 2 2xdx dx= 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 0 0 0 . 1 1 1 2 1 x x x x dx dx dx x x x = = + + + ∫ ∫ ∫ 4 2 2 3 sinx os x cos 1 dx c x π π + ∫ 2 1 tan os dx d x c x = 2 1 2 tdt dt= ( ) 4 2 2 3 4 4 2 2 3 3 2 3 3 2 2 1 1 sinx os x cos 1 tan t anx tan t anx 1 1 (1 tan ) 1 cos t 2 t t 1 2 2 2 dx c x xd xd x x d d t t π π π π π π + = = + + + + = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 x 0 1 dx e+ ∫ x x e dx de= ( ) x x 1 1 x x 0 0 1 1 x 0 0 1 1 1 1 x e e dx dx e e de dx e + − = + + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ Ta đã sử dụng thêm bớt để quy tích phân cần tính thành tổng, hiệu các tích phân dễ quy về bảng nguyên hàm. 2 0 sin2x osx 1 dx c π + ∫ sinx x osxd dc = − ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 sin2x sinx.cosx 2 osx 1 osx 1 sinx cosx+1 -sinx 2 osx 1 sinx 2 sinxdx-2 osx 1 d cosx+1 2 sinxdx-2 osx 1 dx dx c c dx c dx c c π π π π π π π = + + = + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) x+b ln x a dx I x a x b x a x b +   = + +   + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln x a x b dx x b x a d x a x b + +  +   + +   = + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln ln ln x a x b I dx x b x a d x a x b x a x b C + +   = +   + +   = + +    = + + + ∫ ∫ Phương pháp 2: phương pháp đổi biến số. “Là phương pháp quan trọng nhất” Chú ý: - khi đổi biến thì phải đổi cận - về cơ bản, có 2 phép đổi biến: + ( ) x t ϕ = . + ( ) t x ϕ = Ví dụ Chìa khoá Lời giải 1. Phương pháp đổi biến số: ( ) x t ϕ = loại 1: Khi hàm dưới dấu tích phân có biểu thức dạng: ( ) f x lúc đó, trong nhiều trường hợp (chứ không phải mọi trường hợp) ta có thể sử dụng phép thay biến: ( ) t f x= VD1: ( ) ln3 3 x 0 1 x e dx y e = + ∫ x 2 x x 1 1 2 t e t e tdt e dx = + ⇒ = + ⇒ = VD2: ln5 2 x ln 2 1 x e dx y e = − ∫ x 2 x x 1 1 2 t e t e tdt e dx = − ⇒ = − ⇒ = VD3: 4 7 3 3 4 0 1 1 x dx y x = + + ∫ Phương pháp dùng bảng nguyên hàm không thích hợp trong VD này. VD4: 3 5 3 2 0 2 1 x x y dx x + = + ∫ VD5: 2 6 3 5 0 1 os inx.cosy c xs xdx π = − ∫ 2. Phương pháp đổi biến số: ( ) x t ϕ = loại 2: Phép đổi biến: x=-t đặc biệt có tác dụng với 2 dạng toán sau đây: Biểu thức dưới dấu tích Chú ý: kết quả này chỉ để dự đoán từ đó biết được phương pháp làm chứ trong bài kiểm tra không được viết ngay kết quả. phân là hàm chẵn hoặc lẻ và tích phân cần tính có dạng: ( ) f x a a dx − ∫ ta sử dụng kết quả sau đây: - f(x) là hàm lẻ /[-a;a] thì ( ) f x 0 a a dx − = ∫ - f(x) là hàm chẵn/[-a;a] thì ( ) ( ) 0 f x 2 f x a a a dx dx − = ∫ ∫ VD1: ( ) 1 2 1 ln 1x x dx − + + ∫ Phải nhớ ví dụ này để làm mẫu. Lưu ý: - khi gặp dạng toán trên, chỉ đổi biến I 1 hoặc I 2 (đổi biến 1 nửa). còn nếu đổi biến ở cả I 1 và I 2 thì sẽ quay trở lại đầu bài ban đầu. - Tích phân không phụ thuộc vào biến. - Hàm ( ) 2 ln 1y x x= + + là hàm lẻ. Tvậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) ln 1 1 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 f x x x x x x x x x x x x x − = − + + − + + + + = + + = + + = − + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 1 2 2 1 0 ln 1 ln 1 ln 1 I x x dx x x dx x x dx − − = + + = + + + + + ∫ ∫ ∫ đặt: ( ) ( ) 0 2 1 1 1 2 2 0 ln 1 ln 1 I x x dx I x x dx − = + + = + + ∫ ∫ có: đổi biến: t=-x suy ra dt=-dx ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 1 2 2 1 2 0 1 1 2 2 0 0 2 ln 1 1 1 ln 1 1 ln ln 1 1 I t t dt t t t t dt t t dt t t dt t t I = − − + + + + − + + = + + = = − + + + + = − ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 2 2 0I I I I I⇒ = + = − + = VD2: 2 2 2 osx 4-sin x c dx x π π − + ∫ 2 2 2 0 4-sin x dx x π π − = ∫ vì là tích phân của hàm lẻ. 2 2 2 2 2 2 osx 4-sin 4-sin x c dx dx x x π π π π − − + ∫ ∫ 2 2 2 2 0 2 osx osx 2 4-sin 4-sin c c dx dx x x π π π − = ∫ ∫ Vì là tích phân của hàm chẵn. VD3: 1 4 x 1 x 2 1 dx − + ∫ Phép đổi biến x=-t còn áp dụng cho trường hợp biểu thức tích phân dạng: ( ) a x f x k 1 a dx − + ∫ trong đó f(x) là hàm chẵn /[-a;a]. Dễ dàng chứng minh được kết quả: ( ) ( ) a x 0 f x k 1 a a d f x dx − = + ∫ ∫ 1 0 1 4 4 4 x x x 1 1 0 1 2 x x x 2 1 2 1 2 1 dx dx dx I I − − = + + + + = + ∫ ∫ ∫ Thực hiện đổi biến x=-t trên một nửa với I 1 ta có: ( ) 0 0 4 4 1 x -t 1 1 1 1 4 t 4 -t t 0 0 t 4 4 1 t 0 1 1 1 4 4 4 2 t 0 0 0 x t 2 1 2 1 t 2 t 2 1 2 1 2 +1 t 2 1 2 1 I dx dt dt dt t dt t t dt dt t dt I − = = − + + = = + + − = + = − = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ VD4: 2 x sin 3 1 x d π π − + ∫ 2 2 x 0 sin sin x 3 1 x d dx π π π − = + ∫ ∫ 3.Phương pháp đổi biến số: ( ) x t ϕ = loại 3: đổi biến: x=a-t với các tích phân có cận trên là a và biểu thức dưới dấu tích phân ( ) a f x dx ∫ là f(x) thường có chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này có liên quan đến cận a ( theo nghĩa chúng có mối liên hệ hàm số lượng giác của góc liên quan đặc biệt). Thông thường ;2 ; 2 a π π π = VD1: 2 0 .sinx 4-cos x dx x π ∫ đổi biến: x t π = − VD2: 3 2 3 3 0 sin x sin x+cos dx x π ∫ đổi biến: 2 x t π = − VD3: 2 0 1 sinx ln 1+cos dx x π + ∫ đổi biến: 2 x t π = − VD4: ( ) 4 0 ln 1 t anx dx π + ∫ đổi biến: 4 x t π = − Trong trường hợp này cận 4 a π = là ví dụ hiếm hoi gặp phải, thông thường cận là ; 2 a π π = . 4.Phương pháp đổi biến số: ( ) x t ϕ = loại 4: Hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng: 2 2 , 0a x a− > . Với các tích phân này, người ta có thể sử dụng phép biến đổi sau: x=asint hoặc x= acost. VD1: ( ) 3 2 3 2 1 2 1 dx x − − ∫ đổi biến: x=sint hoặc x=cost. VD2: 2 2 2 2 1 2 1 x dx x − − ∫ đổi biến: x=sint hoặc x=cost. 5.Phương pháp đổi biến số: ( ) x t ϕ = loại 5 Hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng: ( ) 2 1 k x+ Trong trường hợp này ta có thể sử dụng phép đổi biến: x=tant hoặc x=cott VD1: ( ) 1 3 2 3 1 dx x − + ∫ đổi biến: x=tant hoặc x=cott. 6.Phương pháp đổi biến số: ( ) x t ϕ = loại 6 Hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng: 2 2 , 0a x a− > Trong trường hợp này ta có thể sử dụng phép đổi biến: x sint a = hoặc x ost a c = VD1: 2 2 2 3 1 dx x x − ∫ đặt 1 x sint = 7.Phương pháp đổi biến số: ( ) t x ϕ = loại 1 Hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức bậc nhất của sinx , cosx. sử dụng phép đổi biến: Sau đó sử dụng công thức: 2 2 2 2 1-t sinx ; osx= 1 1 t c t t = + + Sau đó ta quy tính tích phân về tích phân hàm hữu tỉ của ẩn t. ( ) 2 2 2 2 t tan 2 1 2 os 2 1 1 tan 2 2 1 1 t 2 2 1 x dx dt x c x dx dx dt dx t = ⇒ =   = +  ÷   = + ⇒ = + VD1: sinx dx ∫ VD2: 2 0 1 sinx+cosx dx π + ∫ 8.Phương pháp đổi biến số: ( ) t x ϕ = loại 2 Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm lượng giác. Thông thường với các loại tích phân này, các phép biến đổi thông dụng là: đặt t= sinx hoặc t=cosx.