NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT -Nội dung: I-Đònh nghóa giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của biểu thức: -Đònh nghóa 1: Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn : +Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) ≤ M với M là hằng số . +Tồn tại x 0 ,y 0 ,…thuộc D sao cho f(x 0 ,y 0 ,…) = M -Đònh nghóa 2: Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói N là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn : +Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) ≥ với N là hằng số . +Tồn tại x 0 ,y 0 ,…thuộc D sao cho f(x 0 ,y 0 ,…) = N II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ 1) a 2 ≥ 0 Tổng quát a 2k ≥ 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0 2) a 2 ≤ 0 Tổng quát a 2k ≤ 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0 3) {a{ ≥ 0 Đẳng thức xẩy ra khi a = 0 4) –{a{ ≤ a ≤ {a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0 5) {a+b{ ≤ {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab ≥ 0 6) a 2 +b 2 ≥ 2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b 7) ab ba ≥ + 2 .Với a,b ≥ 0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b 8) a ≥ b , ab > 0 => ba 11 ≤ Đẳng thức xẩy ra khi a= b 9) 2 ≥+ a b b a Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b 10) baba + ≥+ 411 Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b 11) (am+bn) 2 ≤ (a 2 +b 2 )(m 2 +n 2 ) Đẳng thức xẩy ra khi n b m a = (BĐT Bu nhi a côp xki) III-Những sai lầm thương gặp trong giải toán cực trò: 1-sai lầm trong chứng minh ĐK 1: VD 1 :Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức P 176 1 2 +− = xx Lời giải sai: Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất Ta có :x 2 - 6x +17 = (x-3) 2 +8 ≥ 8 Min(x 2 - 6x +17) = 8 <=> x = 3. Vậy MaxP = ⇔ 8 1 x = 3 Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất” mà chư đưa ra nhận xét tử và mẫu đều lànhững biểu thức có gioá trò dương. 1 Ta đưa ra một phản ví dụ: Xét biểu thức A = 4 1 2 − x Với lập luận như trên: A = 4 1 2 − x “Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên A có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất”Nghóa là A có giá trò lớn nhất <=> x 2 – 4 có giá trò nhỏ nhất .Mà x 2 – 4 có giá trò nhỏ nhất là -4 <=> x = 0 .Nên A có giá trò lớn nhất là 4 1 − <=> x =0 .Điều này không đúng .Vì 4 1 − Không phải là giá trò lớn nhất của biểu thức A .chẳng hạn với x =3 thì A = 4 1 5 1 −> Lời giải đúng: Ta có :x 2 - 6x +17 = (x-3) 2 +8 ≥ 8 .Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trò dương .=> P > 0 ,do đó P có giá trò lớn nhất <=> P 1 Có gia 1trò nhỏ nhất <=> x 2 - 6x +17 có giá trò nhỏ nhất. VD 2 : Tìm giá trò nhỏ nhất của A = (x-1) 2 + (x-3) 2 Lời giải sai:ta có (x-1) 2 ≥ 0(1) ; (x-3) 2 ≥ 0(2) .Nên A có giá trò nhỏ nhất là 0.ta không thể kết luận như vậy .vì không thể xẩy ra đẳng thức đồng thời của (1) và (2) VD 3 : Tìm giá trò nhỏ nhất của A= x z z y y x ++ .Với x,y,z > 0 Lời giải sai: Giả sử :x ≥ y ≥ z > 0 .=> x-z ≥ 0 => y(x-z) ≥ z (x-z) => xy-yz+z 2 ≥ xz Chia hai vế cho số dương xz: Ta có : x z x y z x +− ≥ 1(1) .Mặt khác ,ta có 2 ≥+ x y y x (2).Cộng (1) với (2): x z z y y x ++ ≥ 3.Vậy Min A = 3 <=> x = y = z Phân tích sai lầm :Khi hoán vò vòng quanh thì A trở thành x z z y y x ++ .Tức là biểu thức không đổi .Điều đó cho phép tược giả sử x làsố lớn nhất (hoặc là số nhỏ nhất),nhưng không cho phép giả sử x ≥ y ≥ z.Thật vậy sau khi chọn x là số lơn nhất (x ≥ y,x ≥ z) thì vai trò của y và z lại không bình đẳng :giữ nguyên x thay y bỡi z thay z bỡi y ta được x y y z z x ++ ,không bằng biểu thức A. (Ta đưa ra một ví dụ khác cho phép được giả sử x ≥ y ≥ z.Chẳng hạn :B = x 2 + y 2 +z 2 +xy+xz+yz.Sau khi chọn x là số lớn nhất thì vai trò của y và z là bình đẳng :Giữ nguyên x thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta được : x 2 + y 2 +z 2 +xy+xz+yz, vẫn bằng B) Cách giải đúng : Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z: A= x y y z z x ++ 3 3 3 =≥ x z z y y x . Do đó min( x y y z z x ++ ) = 3Khi và chỉ khi: x z z y y x == ,tức là x = y = z Cách 2:Ta có x y y z z x ++ =       −++         + x y x z z y x y y x .Ta đã có : 2 ≥+ y x x y (Do x,y>0)Nên để chứng minh 3 ≥++ x z z y y x Chỉ cần chứng minh : 1 ≥−+ x y x z z y (1) (1) <=> xy+z 2 -yz ≥ xz(Nhân hai vế với số dương xz) 2 <=>xy+z 2 -yz-xz ≥ 0 <=>y(x-z)-z(x-z) ≥ 0 <=>(x-z)(y-z) ≥ 0(2) (2)đúng với giả thiết rằng zlà số nhỏ nhất trong ba số x,y,z do đó (1) đúng . Từ đó tìm được giá trò nhỏ nhất của x z z y y x ++ VD 3 :Tìm giá trò nhỏ nhất của A = x 2 +y 2 biết x+y =4 Lời giải sai:Ta có x 2 +y 2 ≥ 2xy Do đó A có giá trò nhỏ nhất <=> x 2 +y 2 =2xy <=>x=y=2 Khi đó MinA = 2 2 +2 2 = 8 Phân tích sai lầm :Đáp số không sai tuy nhiên lập luận sai lầm .Ta mới chứng minh f(x,y) ≥ g(x,y) Chứ chưa C/m được f(x,y) ≥ M Với M là hằng số . Ta đưa ra một ví dụ :Với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng :x 2 ≥ 4x-4 sẽ suy ra :x 2 nhỏ nhất <=> x 2 = 4x-4<=> (x-2) 2 = 0 <=> x=2 đi đến Min x 2 = 4 <=> x=2 Dễ thấy kết quả đúng phải là minx 2 = 0 Khi và chỉ khi x = 0 Cách giải đúng :Ta có x+y = 4 => x 2 +2xy+y 2 = 16 (1) Ta lại có (x-y) 2 ≥ 0 => x 2 -2xy +y 2 ≥ 0(2) Từ (1) và (2) : 2(x 2 +y 2 ) ≥ 16 => x 2 +y 2 ≥ 8 Min A = 8 Khi và chỉ khi x= y= 2 2.Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: VD1:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= x+ x Lời giải sai: A= x+ x = 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2 −≥−       +=−       ++ xxx Vậy MinA = 4 1 − Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ 4 1 − ,chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) = 4 1 − .Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi 2 1 −= x ,vô lý . Lời giải đúng :Để tôn tại x phải có x ≥ 0 Do đó A= x+ x ≥ 0 MinA = 0 Khi và chỉ khi x = 0 VD2:Tìm giá trò lớn nhất của A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z ≥ 0 và x+y+z = 1 Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab 2 )( ba +≤ : 4(x+y).z 1)( 2 =++≤ zyx 4(x+z).y 1)( 2 =++≤ zyx 4(z+y).x 1)( 2 =++≤ zyx Nhân từng vế (do không âm) 64xyz(x+y)(y+z)(z+x) ≤ 1 Max A = 64 1 3 Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức .Điều kiện để A = 64 1 là thuẫn Mâu      ≥ =++ === ⇔          ≥ =++ =+ =+ =+ 0,, 1 0 0,, 1 zyx zyx zyx zyx zyx yxz xzy zyx Cách giải đúng :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm : 1= x+y+z 3 xyz ≥ (1) 2= (x+y)+(y+z)+(z+x) 3 ))()((3 xzzyyx +++≥ (2) Nhân từng vế (1) với (2) (do hai vế đều không âm ): 2 3 3 9 2 9       ≤⇒≥ AA Max A = 3 1 3 2 3 ===⇔       zyx VD3:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= ( )( ) x bxax ++ với x > 0 ,a,b là các hằng số dương cho trước. Lời giải sai:Ta có x+a ax2 ≥ (1) x+b bx2 ≥ (2) Do đó : ( )( ) x bxax ++ ab x bxax 4 2.2 =≥ .MinA = 4 baxab ==⇔ Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy ra A = ab4 Khi ở (1) và ở (2)xẩy ra dấu đẳng thức ,tức là x = a và x = b.Như vậy đòi hỏi a= b .Nếu a ≠ b thì không có được A = ab4 Cách giải đúng :Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số : A= ( )( ) ( ) ba x ab x x abbxaxx x bxax ++       += +++ = ++ 2 Ta lại có : ab x ab x 2 ≥+ (bất đẳng thức côsi) Nên A 2 )(2 babaab +=++≥ Min A = ( ) abx x x ab x ba =⇔      > = ⇔+ 0 2 VD4:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= 2x+3y biết 2x 2 +3y 2 ≤ 5 Lời giải sai:Gọi B= 2x 2 +3y 2 ta có B ≤ 5 Xét A+B = 2x+3y +2x 2 +3y 2 = 2(x 2 +x)+3(y 2 +y) =2(x+1/2) 2 +3(y+1/2) 2 -5/4 4 5 −≥ (1) Ta lại có B ≤ 5 nên -B ≥ -5 Cộng (1)với (2):A 4 25 −≥ minA = 2 1 4 25 −==⇔− yx Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ với x= y= - 2 1 ,chỉ có xảy ra dâu “=” ở (1),còn dấu “=” ở (2) không xảy ra . Thật vậy với x = y = - 2 1 thì : 4 B= 2 5 4 3 2 1 2 1 3 2 1 22 ≠+=       −+       − .Do đó –B 5 −≠ Cách giải đúng: Ta xét biểu thức phụ:A 2 = (2x+3y) 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ta có : A 2 = (2x+3y) 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       +       +≤+ 22222 .32323.32.2 yxyx =(2+3)(2x 2 +3y 2 ) 255.5 =≤ A 2 = 25 <=> yx yx =⇔= 3 3 2 2 .Do A 2 25 ≤ nên -5 5 ≤≤ A Min A = -5    −==⇔ −=+ = ⇔ 1 532 yx yx yx Max A = 5    ==⇔ =+ = ⇔ 1 532 yx yx yx 5 . xẩy ra khi a= b 11) (am+bn) 2 ≤ (a 2 +b 2 )(m 2 +n 2 ) Đẳng thức xẩy ra khi n b m a = (BĐT Bu nhi a côp xki) III -Những sai lầm thương gặp trong giải toán. 2 +y 2 ≥ 8 Min A = 8 Khi và chỉ khi x= y= 2 2 .Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: VD1:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= x+ x Lời giải sai: A= x+ x = 4 1 4