Chuyên đề 2: Hàm số và đồ thị. I- Lí thuyết . 1. Hàm số bậc nhất y=ax+b (a#0) a) Tính chất. + đồng biến khi a>0 + nghịch biến khi a<0 b) Cách vẽ d. + Cho x=0=>y=b=> (0; b) thuộc Oy + Cho y=0=>x=-b/a=> (-b/a; 0) thuộc Ox + Nối 2 điểm trên ta đợc đờng thẳng d. 3. Quan hệ giữa 2 đt: y=ax+b (d1) và y=ax+b (d2) + d1 cắt d2 <=> a#a + d1 // d2 <=> a=a và b#b + d1 d2 <=> a=a và b=b + d1 d2 <=> a.a=-1 4/ Hệ số gó của đờng thẳng y=ax+b a: hệ số góc ( a=tg x y = ); b: tung độ góc II/ Cỏc d ng b i t p: I.im thuc ng ng i qua im. im A(x A ; y A ) thuc th hm s y = f(x) y A = f(x A ). Vớ d 1: Tỡm h s a ca hm s: y = ax 2 bit th hm s ca nú i qua im A(2;4). Vớ d 2: Trong mt phng ta cho A(-2;2) v ng thng (d) cú phng trỡnh: y = -2(x + 1). ng thng (d) cú i qua A khụng? II.Cỏch tỡm giao im ca hai ng y = f(x) v y = g(x). Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh f(x) = g(x) (II) Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = f(x) hoc y = g(x) tỡm tung giao im. Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (II) l s giao im ca hai ng trờn. Vớ d: Tỡm to giao im ca hai ng thng: y=2x+3 (d) v y=-3x-2 (d) III/Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b bit. 1.Quan h v h s gúc v i qua im A(x 0 ;y 0 ) Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc, gúc to bi t vi ox tỡm h s a. Bc 2: Thay a va tỡm c v x 0 ;y 0 vo cụng thc y = ax + b tỡm b. Vớ d:: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5. b) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + 3. c) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 30 0 . d) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng e) (): y = 2x 3; (): y = 7 3x tại một điểm. 2.Bit th hm s i qua im A(x 1 ;y 1 ) v B(x 2 ;y 2 ). Do th hm s i qua im A(x 1 ;y 1 ) v B(x 2 ;y 2 ) nờn ta cú h phng trỡnh: Gii h phng trỡnh tỡm a,b. Vớ d:Viết phơng trình đờng thẳng(d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5) IV/Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m). +) Gi s A(x 0 ;y 0 ) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay x 0 ;y 0 vo phng trỡnh ng thng chuyn v phng trỡnh n m h s x 0 ;y 0 nghim ỳng vi mi m. 1 +) ng nht h s ca phng trỡnh trờn vi 0 gii h tỡm ra x 0 ;y 0 . Vớ d:cho hàm số y= mx-m+1 (d). chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm cố định ấy. V.Tỡm iu kin 3 ng thng ng qui. Bc 1: Gii h phng trỡnh gm hai ng thng khụng cha tham s tỡm (x;y). Bc 2: Thay (x;y) va tỡm c vo phng trỡnh cũn li tỡm ra tham s . Vớ d: Chng t rng 3 dng thng sau ng qui: y=3x+1(d);y=-2x+1(d) ; BI TP V HM S V TH Y=ax+b 1. Cho đờng thẳng (D) có pt: y= -3x+m Xác định (D) trong mỗi t/hợp sau: a) (D) đi qua điểm A(-1;2) b) (D) cắt Ox tại điểm B có hòanh độ = -2/3 c) (D) cắt Oy tại điểm C có tung độ = -5/2 2. Cho h/s y=ax+b. Xác định h/s biết: a) đ/thị h/s đi qua điểm A(2;-1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ =3/2. b) đồ thị h/s // với đ/thị h/s câu a và cắt trục tung tại điểm có tung độ =1 c) đ/thị h/s đi qua 2 điểm A(-1; 2) và B(2; -3) 3. Cho 2 điểm A(1;1) và B(2;-1) a) Viết pt đờng thẳng đi qua A và B. b)V ng thng trờn v xỏc nh gúc to bi t vi ox c) Tìm m để đờng thẳng y= (m 2 -3m)x+ m 2 -2m+2 // với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm có (0;2). 4. Xác định đờng thẳng y=ax+b có t/chất sau: - đi qua điểm C(0;1) và cùng phơng (//) với đờng thẳng y+2x-100=0. - đi qua điểm C(0;1) và đờng thẳng y=2x+3. - cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 5. Cho h/s: y=4x+7 (d1) a) các điểm A(-1; 2); B(4; 5) có nằm trên đồ thị h/s (1) không ? b) Viết pt đờng thẳng d2 đi qua 2 điểm A và B. c) Tìm toạ độ giao điểm của d1 và d2. 6. Cho h/s: y= 4x+7 a) các điểm A(-1; 3); B(4; 7/4) có thuộc đthị h/s trên không ? b) Viết pt đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B c) Cho biết vị trí t/đối của 2 đờng thẳng đó. Vẽ chúng trên cùng mp tđộ. 7. Cho h/s: y= (2m-3)x +m+1 a) Tìm m để đthị h/s đi qua điểm (1; 4) b) Tìm m để đthị h/s cắt trục hoành tại điểm có hđộ bằng 2 -1 c) Tìm điểm cố định mà đthị h/s đi qua với mọi m. .8Cho 4 điểm: A(1;1), B(-2;7), C(3;-3) , D(3;2) a) c/m 3 điểm A ,B,C thẳng hàng. b) c/m 3 điểm A, C, D không thẳng hàng. 2 c) c/m ACD vuông . Tính S. 9. Cho h/s: y= (|m-1| -2)x + 5 a) Tìm m để h/s đồng biến. b) Tìm m để h/s nghịch biến. 10. Cho đờng thẳng (d): y= (2m-n)x +m-2n a) Tìm m, n biết (d) đi qua A(-1; 2) và B(2; -1) b) Tìm m, n biết (d) cắt Ox tại điểm có h/độ bằng -2 và cắt Oy tại điểm có t/độ bằng -1. 11. Trên mp toạ độ cho 2 điểm A(3;2), B(0;8) * Viết pt đờng thẳng OA, AB * Vẽ hình bình hành OABC có OB là 1 đờng chéo * Viết pt đờng thẳng OC, BC * Tìm toạ độ điểm C. 12. Cho đờng thẳng (d): y= (m-2)x + n (m#2) a) Tìm m, n biết (d) đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; -4) b) Tìm m, n biết (d) cắt Ox tại điểm có h/độ bằng 2+2 và cắt Oy tại điểm có t/độ bằng 1-2. c) Tìm m, n biết (d) cắt đờng thẳng -2y+x-3=0 d) Tìm m, n biết (d) // đờng thẳng 3x+2y= 1. 13. Cho h/s: y= (m2-2m+3)x +2 = 0 (1) a) c/tỏ h/s đ/biến với moi m. b) Tìm m để đthị h/s (1) // đờng thẳng y= 6x -2 c) Gọi A và B là giao điểm của đthị h/s (1) với Ox, Oy. Tìm m để SOAB= 5 14. Cho đờng thẳng (d): y= (2m+1)x -3 a) Tìm m để (d) đi qua điểm M(-2; 1) b) Tìm m để (d) // đờng thẳng (d) y= 1/5x +3 c) Gọi giao điểm của (d) với Ox, Oy là A và B. Tìm m để SOAB= 4 I/ L THUYT 2. Hàm số bậc 2 y=ax 2 (a#0) a) Tính chất. + Nếu a>0:đồng biến khi x>0; nghịch biến khi x<0 + Nếu a<0:đồng biến khi x<0; nghịch biến khi x>0 b) Cách vẽ P. + Lập bảng 1 số giá trị thích hợp. + Biểu diễn các điểm trên hệ trục toạ độ. + Vẽ P. II- Bài tập. D ng 1 :V th hm s y=2x 2 ; y=-2/3x 2 D ng2 : Tỡm toạ độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ: * Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ: Vớ d: Tỡm to giao im ca (d): y=-2x+5v(P)y=3x 2 Quan hệ giữa (d) y=kx+b và (P) y=ax 2 3 += = bkxy axy 2 Phơng trình hoành độ giao điểm: ax 2 =kx+b <=> ax 2 kx b = 0 (1) + (d) tiếp xúc (P) <=> pt (1) có nghiệm kép. + (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt <=> pt (1) có 2 nghiệm pb. + (d) không cắt (P) <=> pt (1) vô nghiệm. D ng3 : Vit phng trỡnh ng thng bit th hm s i qua im A(x 0 ;y 0 ) v tip xỳc vi (P): y = cx 2 (c 0). +) Do ng thng i qua im A(x 0 ;y 0 ) nờn cú phng trỡnh : y 0 = ax 0 + b (3.1) +) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = cx 2 (c 0) nờn: Pt: cx 2 = ax + b cú nghim kộp (3.2) +) Gii h gm hai phng trỡnh trờn tỡm a,b. Vớ d: cho parabol y= 2x 2 . (p) tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2). BI TP V HM S V TH Bài tập 1. cho parabol y= 2x 2 . (p) a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1. b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2. c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2). d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2). e. biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1. ( bằng hai phơng pháp đồ thị và đại số). f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để +(p) không cắt (d). +(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt. +(p) cắt (d). Bài tập 2. cho hàm số (p): y=x 2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3). a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho. b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P). c. viết phơng trình đờng thẳng d 1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P). d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho CD=2. Bài tập 3. Cho (P): y=x 2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là y= 2x-5 y=2x+m a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P). b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy: + Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau. + tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b. 4 + lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d). Bài tập 4. cho hàm số xy 2 1 = (P) a. vẽ đồ thị hàm số (P). b. với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B. c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. Bài tập5. cho hàm số y=2x 2 (P) và y=3x+m (d) a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d). b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m. Bài tập 6. cho hàm số y=-x 2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k. a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung. b. gọi (x 1 ;y 1 ); (x 2 ;y 2 ) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x 1 +y 1 +x 2 +y 2 đạt giá trị lớn nhất. Bài tập7. cho hàm số y= x a. tìm tập xác định của hàm số. b. tìm y biết: + x=4 + x=(1- 2 ) 2 + x=m 2 -m+1 + x=(m-n) 2 c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? tại sao. d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6 Bài tập 8. cho hàm số y=x 2 (P) và y=2mx-m 2 +4 (d) a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2 ) 2 . b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập 9. cho hàm số y= mx-m+1 (d). a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm cố định ấy. b. tìm m để (d) cắt (P) y=x 2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3 . Bài tập 11. cho hàm số y=x 2 (P) và y=3x+m 2 (d). a. chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 5 b. gọi y 1 , y 2 kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y 1 +y 2 = 11y 1 .y 2 bài tập 12. cho hàm số y=x 2 (P). a. vẽ đồ thị hàm số (P). b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3. hãy viết phơng trình đờng thẳng AB. c. lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB. d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P). Bài tập 13 a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x 2 tại điểm A(-1;2). b. cho hàm số y=x 2 (P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B. c. cho (P) y=x 2 . lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P). d. cho (P) y=x 2 . lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P). e. viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x 2 tại điểm có hoành độ bằng (-1). f. viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x 2 tại điểm có tung độ bằng 9. 1. Cho (P) y = 1/4x 2 và đ/t (d) qua 2 điểm A, B (P) có hoành độ lần lợt là -2, 4. - Viết p/t của (d). - Vẽ (P) và (d) trên cùng mp toạ độ. 2. Cho (P) y= -1/2x2 và (d) y= -3x + 2 a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) b) Cho điểm M và N thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết pt đờng thẳng MN. c) Tìm t/độ giao điểm của (d) và MN. 4. Cho đờng thẳng (d): y= -2x-2 và điểm A(-2; 2) a) c/m A thuộc (d) b) Tìm a để (P) y= ax2 đi qua A. b) Tìm đờng thẳng đi qua A và vuông góc với (d) c) Gọi A, B là giao điểm của (P) với đờng thẳng tìm đợc câu c và C là giao điểm của (d) với Oy, Tìm tđộ các điểm B, C và Tính S ABC . 6. Cho h/s: y= x+m (d). tìm m để dt (d): a) Đi qua điểm A(1;2007) b) tiếp xúc với parabol y= -1/4.x 2 7. Cho (P) y= x 2 và đờng thẳng (D) có pt y= 2x+3. a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d). b) Viết pt đờng thẳng (D) // (D) và tiếp xúc với (P). 8. Cho parabol (P): y= -x 2 /4 và đờng thẳng (d): y= mx+1 a) xđ (d) biết nó cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 3 b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 9. Cho parabol (P): y= x 2 và đờng thẳng (D): y= (m-1)x -m+1 (m#1) a) xđ (D) biết nó đi qua điểm A(-1; 3). Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) b) xđ (D) biết nó cắt (P) Tìm điểm có hoành độ bằng -2. c) Tìm m để (D) tiếp xúc với (P). b) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. 6 10. Cho parabol (P): y= x 2 và đờng thẳng (D): y= mx -m+1 (m#0) a) xđ (D) biết nó cắt (P) tại điểm A có tung độ bằng 2. b) Chứng tỏ rằng (D) luôn cắt (P) với mọi m. c) Tìm m để (D) tiếp xúc với (P). 11. Cho h/s: y= x 2 +bx +c a) Xác định b, c biết đồ thị h/s đi qua các điểm A(1;2) và B(2;1) b) Với b, c vừa tìm đợc, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của h/s. c) Chứng minh rằng đờng thẳng y= 2x-4 tiếp xúc với đồ thị h/s trên. 13. Cho (P): y= 1/4x2 và (d): y= mx +n (m#0). a) Tìm m, n biết (d) // đờng thẳng y= x và tiếp xúc với (P). Tìm t/độ tiếp điểm. b) Tìm m, n biết (d) đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc và (P). Tìm t/độ tiếp điểm. 14. Trong m/p tọa độ Oxy cho điểm A(-3;0) và Parabol (P) có p/trình y=x 2 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất. 15 Cho h/s y = x 2 (P) và y = x + m (d) - Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm p/b A và B. - Tìm pt đờng thẳng (d 1 ) (d) và txúc với (P). - Thiết lập c/t tính khoảng cách giữa 2 điểm. - áp dụng: Tìm m sao cho k/c giữa 2 điểm A, B ở câu a là Bài 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax 2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó. b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB. Bài 2: Cho hàm số 2 x 2 1 y = a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). Bài 3: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): 2 x 4 1 y = và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1. a) Vẽ độ thị (P). b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P). c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). Bài 4: Cho hàm số 2 x 2 1 y = a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phơng trình đờng thẳng MN. c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại một điểm. Bài 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b. 1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1). 2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1). 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2). 4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm 1; 2 3 C và có hệ số góc m a) Viết phơng trình của (d). b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau. 7 33 . ca (d ): y= -2x+5v(P )y= 3x 2 Quan hệ giữa (d) y= kx +b và (P) y= ax 2 3 += = bkxy axy 2 Phơng trình hoành độ giao điểm: ax 2 =kx +b < ;=& gt; ax 2 kx b = 0. 2 +y 2 đạt giá trị lớn nhất. B i tập7 . cho hàm số y= x a. tìm tập xác định của hàm số. b. tìm y biết: + x=4 + x=(1- 2 ) 2 + x=m 2 -m+1 + x=(m-n) 2 c. các