Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 2.1. Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường Lưu ý: - ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường - μ là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường Đặt ε’ = εε 0 và μ’ = μμ 0 - ε’ là độ điện thẩm tuyệt đối - μ’ là độ từ thẩm tuyệt đối Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả nguồn điện và từ ngoài t E JEH 0E ∂ ∂ εε++σ=×∇ r rrr (1) t H JE 0M ∂ ∂ μμ−−=×∇ r rr (2) (2.1) 0 E. εε ρ =∇ r (3) 0 M H. μμ ρ =∇ r (4) Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm E r , H r và các nguồn điện và từ nên khó giải. Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn. Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2) ()() ( ) ( ) E t JEHH.H 0E 2 rrrrrr ×∇ ∂ ∂ εε+×∇+×∇σ=∇−∇∇=×∇×∇ (1) ()() ( ) H t JEE.E 0M 2 rrrrr ×∇ ∂ ∂ μμ−×−∇=∇−∇∇=×∇×∇ (2) (2.2) Suy ra M M 0M 0 E0 2 2 00 2 J t J 1 J t H t H H r r r rr r σ+ ∂ ∂ εε+ρ∇ μμ +×−∇= ∂ ∂ σμμ− ∂ ∂ μμεε−∇ (1) t J 1 J t E t E E E 0 0 M0 2 2 00 2 ∂ ∂ μμ+ρ∇ εε +×∇= ∂ ∂ σμμ− ∂ ∂ μμεε−∇ r r rr r (2) Nhận xét: Vế trái của các phương trình (1) và (2) trong (2.3) chỉ còn E r hoặc H r . Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải. Rất khó giải vì vế phải là các hàm rất phức tạp. Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn và điện môi lí tưởng σ = 0, ta có 0 t H H 2 2 00 2 = ∂ ∂ μμεε−∇ r r (1) 0 t E E 2 2 00 2 = ∂ ∂ μμεε−∇ r r (2) (2.4) 2.2. Phương trình cho các thế điện động Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau. 2.2.1. Đối với nguồn điện Để đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng σ = 0 hệ phương trình Maxwell (2.1) được viết lại t E JH 0E ∂ ∂ εε+=×∇ r rr (1) t H E 0 ∂ ∂ μμ−=×∇ r r (2) (2.5) 0 E. εε ρ =∇ r (3) 0H. =∇ r (4) Đặt: ( ) E 0 A 1 H r r ×∇ μμ = (2.6) E A r gọi là thế vector điện Dễ thấy rằng: ( ) 0A. 1 H. E 0 =×∇∇ μμ =∇ r r Đưa (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được 0 t A E E = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +×∇ r r (2.7) Suy ra E E t A E ϕ∇− ∂ ∂ −= r r (2.8) Lưu ý 0 E =ϕ∇×∇ (2.9) ϕ E là thế vô hướng điện E A r và ϕ E được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện Như vậy: H r và E r được biểu diễn qua E A r và ϕ E theo các công thức (2.6) và (2.8) tương ứng. Tìm E A r và ϕ E ? Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay H r và E r vào (1) của (2.5) ta có E0 E 00E 2 E 2 00E 2 J t A. t A A r r r r μμ−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ μμεε+∇∇− ∂ ∂ μμεε−∇ (2.10) E A r và ϕ E được chọn tuỳ ý. Vì vậy để đơn giản ta có thể chọn điều kiện phụ 0 t A. E 00E = ∂ ϕ∂ μμεε+∇ r (2.11) (2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn Phương trình sóng (2.10) được viết lại E0 2 E 2 00E 2 J t A A r r r μμ−= ∂ ∂ μμεε−∇ (2.12) Từ công thức (2.8) thay E r vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có 0 2 E 2 00E 2 t εε ρ −= ∂ ϕ∂ μμεε−ϕ∇ (2.13) Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là các phương trình sóng không thuần nhất hay các phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường điện từ đối với nguồn điện. E A r và ϕ E 2.2.2. Đối với nguồn từ Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng σ = 0 có dạng t E H 0 ∂ ∂ εε=×∇ r r (1) t H JE 0M ∂ ∂ μμ−−=×∇ r rr (2) (2.14) 0E. =∇ r (3) 0 M H. μμ ρ =∇ r (4) Cách làm tương tự như đối với nguồn điện ta có ( ) M 0 A 1 E r r ×∇ εε −= M M t A H ϕ∇− ∂ ∂ −= r r (2.15) M0 2 M 2 00M 2 J t A A r r r εε−= ∂ ∂ μμεε−∇ 0 M 2 M 2 00M 2 t μμ ρ −= ∂ ϕ∂ μμεε−ϕ∇ (2.16) 0 t A. M 00M = ∂ ϕ∂ μμεε+∇ r (2.17) M A r và ϕ M là các thế điện động đối với nguồn từ Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và nguồn từ, có nghĩa là () EM 0 E A 1 t A E ϕ∇−×∇ εε − ∂ ∂ −= r r r () M M E 0 t A A 1 H ϕ∇− ∂ ∂ −×∇ μμ = r r r (2.18) Nhận xét: E r và H r được biểu diễn qua E A r và ϕ E hoặc M A r và ϕ M làm cho hệ phương trình Maxwell đơn giản hơn. Đây chính là ưu điểm của phương pháp dùng các thế điện động. 2.2.3. Đối với trường điều hoà Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc ω thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng biên độ phức như sau Em 0 2 Em 2 2 Em 2 J t A kA • • • μμ−= ∂ ∂ −∇ r r r 0 m 2 Em 2 2 Em 2 t k εε ρ −= ∂ ϕ∂ −ϕ∇ • • Mm 0 2 Mm 2 2 Mm 2 J t A kA • • • εε−= ∂ ∂ −∇ r r r (2.19) 0 Mm 2 Mm 2 2 Mm 2 t k μμ ρ −= ∂ ϕ∂ −ϕ∇ • • Trong đó: 00 k μμεεω= là số sóng trong môi trường (2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình Hemholtz Biểu thức của E r và H r có dạng Em Mm 0 Em A 1 AiE • •• ϕ∇− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×∇ εε −ω−= rr r (2.20) Mm Mm Em 0 t A A 1 H • • • ϕ∇− ∂ ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×∇ μμ = r r r Giữa thế vector và thế vô hướng có mối quan hệ sau Em 00 Em A. 1 • • ∇ μμωεε =ϕ r (2.21) Mm 00 Mm A. 1 • • ∇ μμωεε =ϕ r Nhận xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thấy rằng đối với trường điện từ điều hoà chỉ cần tìm nghiệm của hai phương trình Hemholtz đối với các thế vector Em A • r và Mm A • r 2.3. Phương trình sóng cho các vector Hertz 2.3.1 Vector Hertz điện Đặt t A E 00E ∂ Γ∂ μμεε= r r (2.22) Trong đó: E Γ r gọi là vector Hertz điện Thay (2.22) vào (2.6) ta được () ( ) E0E 0 t A 1 H Γ×∇ ∂ ∂ εε=×∇ μμ = r r r (2.23) Thay (2.22) vào hệ thức chuẩn (2.11) ta được () 0. t EE =ϕ+Γ∇ ∂ ∂ r (2.24) Suy ra EE .Γ−∇=ϕ r (2.25) Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta được () 2 E 2 00EE E t . t A E ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇∇=ϕ∇− ∂ ∂ −= r r r r (2.26) Nhận xét: E r và H r đươc biểu diễn qua vector Hertz điện E Γ r Tìm E Γ r ? Thay (2.22) vào (2.12) ta được E0 2 E 2 00E 2 00 2 E 2 00E 2 J ttt A A r r r r r μμ−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇ ∂ ∂ μμεε= ∂ ∂ μμεε−∇ (2.27) Hay E 0 2 E 2 00E 2 J 1 tt r r r εε −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇ ∂ ∂ (2.28) Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được ∫ εε −= ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇ t 0 E 0 2 E 2 00E 2 dtJ 1 t r r r (2.29) Đặt ∫ = t 0 EE dtJP rr (2.30) E P r gọi là vector phân cực của nguồn điện Phương trình (2.29) được viết lại 0 E 2 E 2 00E 2 P t εε −= ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇ r r r (2.31) Như vậy: vector phân cực E P r là nguồn tạo ra vector Hertz điện E Γ r . Do đó E Γ r còn gọi là thế vector phân cực điện. 2.3.2 Vector Hertz từ Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn của hệ phương trình Maxwell ta có t A M 00M ∂ Γ∂ μμεε= r r (2.32) Trong đó: M Γ r gọi là vector Hertz từ MM .Γ−∇=ϕ r (2.33) ( ) M0 t E Γ×∇ ∂ ∂ μμ−= r r (2.34) () 2 M 2 00M t .H ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇∇= r r r (2.35) Nhận xét: E r và H r đươc biểu diễn qua vector Hertz từ M Γ r Tìm M Γ r ? M 0 2 M 2 00M 2 J 1 tt r r r μμ −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇ ∂ ∂ (2.36) Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được ∫ μμ −= ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇ t 0 M 0 2 M 2 00M 2 dtJ 1 t r r r (2.37) Đặt ∫ = t 0 MM dtJP rr (2.38) M P r gọi là vector từ hoá của nguồn từ (2.37) được viết lại 0 M 2 M 2 00M 2 P t μμ −= ∂ Γ∂ μμεε−Γ∇ r r r (2.39) Như vậy: vector từ hoá M P r là nguồn tạo ra vector Hertz từ M Γ r . Do đó M Γ r còn gọi là thế vector từ hoá. Nhận xét: E r và H r được biểu diễn qua vector Hertz điện E Γ r hoặc vector Hertz từ M Γ r đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động. 2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ Trường hợp các vector Hertz điện E Γ r và vector Hertz từ M Γ r chỉ có một thành phần. Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện E Γ r và vector Hertz từ M Γ r theo phương z là EE k Γ=Γ r r (2.40) MM k Γ=Γ r r (2.41) - Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện E Γ r một thành phần) sẽ có H r theo phương z bằng 0 (H z = 0), còn các thành phần khác của H r nói chung khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM - Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ M Γ r một thành phần) sẽ có E r theo phương z bằng 0 (E z = 0), còn các thành phần khác của E r nói chung khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ 2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm củ a các phương trình d’ Alambert chỉ cần xác định E r hoặc H r . Do đó có thể sử dụng một hàm vô hướng để đại diện cho ϕ E và ϕ M hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ Decac của E Γ r , M Γ r , E A r và M A r , phương trình d’ Alambert được viết lại g t 2 2 00 2 −= ∂ ψ∂ μμεε−ψ∇ (2.42) g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức là tìm nghiệm của phương trình sau 0 t 2 2 00 2 = ∂ ψ∂ μμεε−ψ∇ (2.43) Đối với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính đối xứng cầu nên hàm ψ chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có () ψ ∂ ∂ = ∂ ψ∂ + ∂ ψ∂ =ψ∇ r rrr 1 rr 2 r 2 2 2 2 2 (2.44) Đặt φ = rψ ta có 0 t r 2 2 00 2 2 = ∂ φ∂ μμεε− ∂ φ∂ (2.45) Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=φ v r tf v r tf 21 (2.46) Suy ra r v r tf r v r tf 21 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =ψ (2.47) Trong đó: 00 1 v μμεε = là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f 1 và f 2 là các hàm tuỳ ý [...]... như sau - đặt trong điện môi lí tưởng: σ = 0; ε, μ = const - l > l, r là khoảng cách r từ vị trí quan sát trường điện từ đến lưỡng cực điện Ứd phương pháp thế chậm để tính trường 2.5.1 Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện Chọn... ⎟ 4 iωμμ0 r ⎝ ⎝ r r ⎠ r ⎠ ⎝r ⎠ r r E E r r E E r E (2. 84) r H I Theo (2.83) và (2. 84) cho thấy trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là sóng cầu, r E, r E, r H ~ r, ω r H có tính định hướng trong không gian Vai trò của điện trường và từ trường lưỡng cực từ so với của lưỡng cực điện r r thay thế cho nhau Vì vậy cấu trúc đường sức của chúng là giống nhau với E và H đổi chỗ cho nhau 2.6.1 Trường điện từ. .. (2.81) Rbx - trở bức xạ của lưỡng cực điện Đặt zc = μμ 0 εε 0 [Ω] (2.82) zc - trở sóng của môi trường Trong chân không hoặc không khí, ta có ε = μ = 1, do đó z c0 = μ0 = 120 π = 377 Ω ε0 2 R bx 0 2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ = 80π ⎜ ⎟ = 790⎜ ⎟ Ω ⎝λ⎠ ⎝λ⎠ 2 2 Pbx 0 ⎛1⎞ = 395I ⎜ ⎟ W ⎝λ⎠ 2 m 2.6 Trường điện từ của lưỡng cực từ Lưỡng cực từ là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten Thí dụ về lưỡng cực từ, một... g(r′, t )e −ikr ψ(r , t ) = ∫ r dV 4 V (2.60) • r • r μμ0 J E (r′, t )e −ikr A E (r , t ) = dV ∫ 4 V r (2.61) • r • r εε 0 J M (r′, t )e −ikr A M (r, t ) = dV ∫ 4 V r (2.62) • • 2.5 Trường điện từ của lưỡng cực điện Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng điện biến đổi do nguồn cung cấp bên... xét: trong thực tế, người ta có thể tạo ra trường điện từ xung quanh 1 vòng dây nhỏ mảnh có dòng điện biến đổi Im chạy qua tương tự như lưỡng cực từ Vòng dây dẫn này gọi là anten khung nguyên tố Giả sử: - mặt phẳng vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của hệ toạ độ cầu - kích thước vòng dây rất nhỏ so với bước sóng của trường điện từ do nó phát ra • • - dòng điện biến đổi điều hoà theo thời gian với... r μμ I m e −ikr r μμ I m l −ikr r 0 A Em = k A Em = k dV = k 0 ∫ dl = k 0 e ∫ 4 V r 4 l r 4 r (2. 64) Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2. 64) là do giả thiết biên độ và pha của dòng điện cung cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên khoảng cách từ bất cứ điểm nào trên lưỡng cực điện đến vị trí xác định trường đều bằng r Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức r r r k = r0 cos θ − θ0... lượng trường điện từ bức xạ vào trong không gian Vì vậy vùng xa gọi là vùng bức xạ - Biên độ của Hϕ và Eθ tỉ lệ với ω, tỉ lệ nghịch với λ Nếu có cùng giá trị dòng điện Im, ở cùng khoảng cách và tần số càng cao thì Hϕ và Eθ càng lớn - Biên độ của Hϕ và Eθ tỉ lệ với sinθ nên trường bức xạ của lưỡng cực điện có tính định hướng trong không gian Chúng đạt cực đại tại mặt phẳng theo phương của lưỡng cực điện. .. moment lưỡng cực từ Đặt • • • r r r P Mv = S0μμ 0 I m S = S0μμ 0 I m πR 2 (2.98) • • r P Mv gọi là moment từ của vòng dây dẫn có dòng điện I m và diện tích S Khi đó trường bức xạ của lưỡng cực từ và vòng dây dẫn là tương đương nhau (2.99) • • r r P M = P Mv Từ các biểu thức (2. 94) và (2.95) ta tính được thành phần trường bức xạ của vòng dây ở vùng xa là ImR 2k 2 Hθ = − sin θ cos(ωt − kr ) 4r Im R 2k 2... ⎞ =− e ⎜1 + cos θ ⎟ μμ 0 εε 0 4 r ⎝ α ⎠ • ikS I ESxm sin ϕ −ikr e (1 + α cos θ) =− 4 r (2.113) - Các công thức (2.112) và (2.113) cho thấy rằng trường bức xạ ở vùng xa của yếu tố vi phân diện tích trong mặt phẳng kinh tuyến có đặc trưng hướng dạng đường cong cardioid - Trường bức xạ của nguyên tố Huyghens cũng tương tự như trường bức xạ của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ đặt vuông góc và cùng chung... toạ độ cầu Khi đó (2. 64) được viết lại • ( • r r μμ I m le −ikr r A Em = 0 r0 cos θ − θ0 sin θ 4 r (2.66) ) Cường độ từ trường của lưỡng cực điện là • ( • • r ⎞ Im l ⎛ r r 1 ⎛ e −ikr r ⎜ ∇ × A Em ⎟ = r0 cos θ − θ0 sin θ Hm = ⎜∇ × ⎟ 4 ⎜ r μμ0 ⎜ ⎝ ⎝ ⎠ ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (2.67) Suy ra • • r r Im l ⎛ 1 e −ikr ⎞ H m = ϕ0 ⎜ + ik ⎟ sin θ 4 ⎝ r r ⎠ r ϕ0 là vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu (2.68) Từ hệ phương trình . nói chung khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM - Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ M Γ r một thành. 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện từ