PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN: I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số: Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c ∈ R và a ≠ 0) II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số: 1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax 2 + bx = 0: ax 2 + bx = 0 ⇔ x.(ax+b)=0 ⇔ 0 0 0 x x b ax b x a =  =   ⇔   + = = −   2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax 2 + c = 0: * Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax 2 + c > 0 ∀ x ) * Trường hợp c<0, ta có: ax 2 + c = 0 ⇔ 2 2 ax c x c a c x a c x a  = −   =− ⇔ = − ⇔  = − −   3. Dạng đầy đủ – Dạng ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c ≠ 0 : - Bước 1: Xác định hệ số a,b,c. - Bước 2: Lập ∆ = b 2 - 4ac (hoặc ∆' = b' 2 – ac) rồi so sánh với 0 (Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính ∆ (hoặc tính '∆ ) - Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau: C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän ∆ = b 2 - 4ac -NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1 ∆+− = ; a b x 2 2 ∆−− = - NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a b xx 2 21 − == - NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm ∆' = b' 2 - ac (víi b’ = 2 b 2b') - NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1 ∆+− = ; a b x '' 2 ∆−− = - NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a b xx ' 21 − == - NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) III/ Định lí Vi-ét: 1/ Vi-ét thuận: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a −  = + =     = =   2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh: x 2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn: S 2 - 4P ≥ 0) 3/ NhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0): */ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x 1 = 1 ; x 2 = c a */ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x 1 = -1 ; x 2 = c a − * Chỳ ý: Nếu x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) thì: ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) IV/ Gii cỏc phng trỡnh quy c v phng trỡnh bc hai: 1/ Phng trỡnh tớch: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 A x A x B x B x = = = 2/ Phng trỡnh cha n mu: - Bc 1: Tỡm KX ca phng trỡnh (l K ca n tt c cỏc mu u khỏc 0) - Bc 2: Qui ng v kh mu hai v - Bc 3: Gii phng trỡnh nhn c trong bc 2 - Bc 4: i chiu giỏ tr n va tỡm c vi KX v kt lun nghim 3/ Phng trỡnh trựng phng: ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a 0 ) + t : x 2 = y 0 , ta cú PT ó cho tr thnh : ay 2 + by + c = 0 (*) + Gii phng trỡnh (*) + Chn cỏc giỏ tr y tha món y 0 thay vo: x 2 = y x= y + Kt lun nghim ca phng trỡnh ban u 4/ Phng trỡnh sau khi t n ph quy v phng trỡnh bc hai: + t n ph, t iu kin ca n ph nu cú. + Gii phng trỡnh n ph. + Chn cỏc giỏ tr n ph tha món iu kin thay vo ch t suy ra giỏ tr n ban u. + Kt lun nghim ca phng trỡnh ban u. V/ Cỏch gii mt s dng toỏn v phng trỡnh bc hai: Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm. Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm: 1. Hoặc a = 0, b 0 2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0 Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2. Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt. Điều kiện có hai nghiệm phân biệt > 0 0a hoặc > 0 0 ' a Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Điều kiện có một nghiệm: = 0 0 b a hoặc = 0 0a hoặc = 0 0 ' a Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép. Điều kiện có nghiệm kép: = 0 0a hoặc = 0 0 ' a Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. Điều kiện có một nghiệm: < 0 0a hoặc < 0 0 ' a Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Điều kiện có một nghiệm: = 0 0 b a hoặc = 0 0a hoặc = 0 0 ' a Bài toán 7 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu. Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu: >= 0 0 a c P hoặc >= 0 0 ' a c P Bài toán 8 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng. Điều kiện có hai nghiệm dơng: >= >= 0 0 0 a b S a c P hoặc >= >= 0 0 0 ' a b S a c P Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm. Điều kiện có hai nghiệm âm: <= >= 0 0 0 a b S a c P hoặc <= >= 0 0 0 ' a b S a c P Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu. Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a.c<0. Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x 1 . Cách giải: - Thay x = x 1 vào phơng trình (*) ta có: ax 1 2 + bx 1 + c = 0 m - Thay giá trị của m vào (*) x 1 , x 2 - Hoặc tính x 2 = S - x 1 hoặc x 2 = 1 x P Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn các điều kiện: a. =+ 21 xx b. kxx =+ 2 2 2 1 Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*) Theo định lí Viet ta có: == = =+ )2(. )1( 21 21 P a c xx S a b xx a. Trờng hợp: =+ 21 xx Giải hệ =+ =+ 21 21 xx a b xx Thay x 1 , x 2 vào (2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*) b. Trờng hợp: kxxxxkxx =+=+ 21 2 21 2 2 2 1 2)( Thay x 1 + x 2 = S = a b và x 1 .x 2 = P = a c vào ta có: S 2 - 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*) B/ BI TP: Dng 1: Gii phng trỡnh: Bi 1: Gii phng trỡnh a) 2x 2 + 5x = 0 b) x - 6x 2 = 0 c) 2x 2 + 3 = 0 d) 4x 2 -1 = 0 e) 2x 2 + 5x + 2 = 0 f) 6x 2 + x + 5 = 0 g) 2x 2 + 5x + 3 = 0 h) 2 25x 20x 4 0 + = i) 2 3x 2 3x 2 0 = j) ( ) 2 3x 3 2 x 2 0+ = k) ( ) 2 x 2 3 x 2 3 0 + + = Bi 2: Gii phng trỡnh a) 3x 4 + 2x 2 5 = 0 b) 2x 4 + x 2 7 = 0 c) 4 2 3x 5x 2 0 = Bi 3: Gii phng trỡnh a) 16 x 3 5x 2 x = 0 b) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 3x 5 2x 1 0+ = c) + = + 3x 2 6x 5 x 5 x 5 4 d) ( ) ( ) 2 x 3x 5 1 x 3 x 3 x 2 + = + e) 7 16 2 1 2 1 = + xx Bi 4: Gii phng trỡnh a) x 7 x 1 0 = b) x 5 5 x 1 0+ = c) ( ) ( ) 2 2 2 2x x 13 2x x 12 0+ + + = d) ( ) ( ) 2 2 2 8x 2x 11 2 8x 2x 11 3 0 + + + + = e) ( x 6) 4 + (x 8) 4 = 16 f) (x 2 3x 1 ) 4 13x 2 (x 2 3x 1) 2 + 36x 4 = 0 Dng 2: Khụng gii phng trỡnh tớnh tng, tớch hai nghim; tớnh nghim cũn li khi bit trc mt nghim ca PTBH: Bi 1: Cho phng trỡnh: 2 x 8x 15 0 + = , khụng gii phng trỡnh hóy tớnh: a) 1 2 x x+ b) 1 2 .x x c) 2 2 1 2 x x+ d) ( ) 2 1 2 x x+ e) 1 2 1 1 x x + f) 1 2 2 1 x x x x + Bi 2: Cho phng trỡnh: 2 x 3x 15 0+ + = , khụng gii phng trỡnh hóy tớnh: a) 1 2 x x+ b) 1 2 .x x Bi 3: a) Cho phng trỡnh: 2 x 2mx 5 0 + = cú mt nghim bng 2, hóy tỡm m v tớnh nghim cũn li. b)Cho phng trỡnh: 2 x 5x q 0+ + = cú mt nghim bng 5, hóy tỡm q v tớnh nghim cũn li. x 1 , x 2 Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm: Bài 1: Tìm hai số u và v biết: a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u 2 +v 2 =61 và u.v=30 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) 1 8x = và 2 3x = b) 1 5x = và 2 7x = − c) 1 1 2x = + và 2 1 2x = − Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai: Bài 1: Cho phương trình: 2 x 2x m 1 0− + − = , tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vô nghiệm. d) Có hai nghiệm trái dấu. e) Có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 5x x+ = Bài 2: Cho phương trình: 2 3x 2x m 1 0− − + = , tìm m để phương trình: a) Có nghiệm . b) Có hai nghiệm trái dấu. c) Có hai nghiệm dương. Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vô nghiệm) với mọi tham số: Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình: 2 2 x 2x m 4 0− − − = luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ m. b) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 x 2 m 1 x m 4 0− + + − = luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ m. c) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 x 2 m 2 x 4m 12 0+ + − − = luôn có nghiệm ∀ m. d) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 2 2 2 2 2 c x a b c x b 0+ − − + = vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Dạng 6: Toán tổng hợp: Bài 1: Cho phương trình: ( ) 2 x 2 m 1 x 4m 0− + + = . a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn: x 1 = 2x 2 . e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 5x x+ = . f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 sao cho A= 2 2 1 2 1 2 2 2 .x x x x+ − đạt giá trị nhỏ nhất. . TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN: I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số: Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax. , x 2 Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm: Bài 1: Tìm hai số u và v biết: a) u+v=3 và u.v=2