BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2010 Môn toán Lớp 9 Cấp THCS Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/03/2010. Bài 1. (5 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau : a. 1 1 1 1 A= + . 1 3 3 5 5 7 2009 2011 + + + + + + + b. 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 B= 1 1 . 1 1 2 2 3 2009 2010 + + + + + + + + + c. C 291945 831910 2631931 322010 1981945= + + + + Kết quả A = +++…+ = +++…+ = = ≈ 21,92209 B = ++…+ = 1+ – +1+ – +…+1+ – = 2010 – ≈ 2009,99950 C ≈ 541,16354 Bài 2. (5 điểm) a. Một người gửi tiết kiệm 250.000.000 (đồng) loại kỳ hạn 3 tháng vào ngân hàng với lãi suất 10,45% một năm. Hỏi sau 10 năm 9 tháng , người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó. b. Nếu với số tiền ở câu a, người đó gửi tiết kiệm theo loại kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 10,5% một năm thì sau 10 năm 9 tháng sẽ nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước và nếu rút tiền trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kỳ hạn là 0,015% một ngày ( 1 tháng tính bằng 30 ngày ). c. Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 10.000.000 (đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0,84% một tháng. Hỏi sau 5 năm , người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng người đó không rút lãi ra. Kết quả a. Gọi a là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất một kỳ hạn và n là số kỳ hạn thì số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là : A = a(1+r) n + Lãi suất một kỳ hạn 3 tháng là .3 = 2,6125% + 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 43 kỳ hạn + Số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là : A = 250 000 000 43 = 757 794 696,8 đ b. + Lãi suất một kỳ hạn 6 tháng là .6 = 5,25% 1 + 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 21 kỳ hạn cộng thêm 90 ngày + Số tiền nhận được sau 10 năm 6 tháng là : B = 250 000 000(1+) 21 = 732 156 973,7 đ + Số tiền B được tính lãi suất không kỳ hạn trong 90 ngày tiếp theo, nhận được số lãi là : C = 732 156 973,7 . . 90 = 98 841 191,45 đ + Và số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là : B + C = 830 998 165,15 đồng. c. Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng + Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 1 là : a + ax = a(1+ x) đ + Số tiền gốc đầu tháng 2 là : a(1+x) + a = a[(1+x)+1] = [(1+x) 2 –1] = [(1+x) 2 –1] đ + Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 2 là : [(1+x) 2 –1] + [(1+x) 2 –1].x = [(1+x) 3 –(1+x)] + Số tiền gốc đầu tháng 3 là : [(1+x) 3 –(1+x)] + a = [(1+x) 3 –(1+x)+x] = [(1+x) 3 – 1] đ + Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 3 là : [(1+x) 3 – 1] + [(1+x) 3 – 1].x = [(1+x) 3 – 1](1+x) + Tương tự, đến cuối tháng n thì số tiền cả gốc và lãi là : [(1+x) n – 1](1+x) đồng Với a = 10 000 000 đồng, x = 0,84%, n = 60 tháng thì số tiền nhận được là : D = [(1+ 0,0084) 60 –1](1+ 0,0084) = 782 528 635,8 đồng Bài 3. (5 điểm) a. Tìm giá trị của x biết. x 3 0 1 2 2 2 1 1 2005 6 1 9 2006 3 1 9 2007 1 1 9 2008 9 1 2 2009 3 3 2 1 5 + = + + + + + + + + + + + + + b. Tìm x ,y biết : 14044 1 1 1 12343 7 1 3 1 1 1 9 1 x y = + + + + + + Kết quả a. x = – 2,57961 b. x = 7 ; y = 6 Bài 4. (5 điểm) Tìm số dư ( trình bày cả cách giải) trong các phép chia sau: a. 2009 2010 : 2011 ; b. 2009201020112012 : 2020 ; c. 1234567890987654321 : 2010 ; 2 Kết quả a. 2009 2 ≡ 4(mod 2011) ⇒ 2009 30 ≡ 4 15 ≡ 550 (mod 2011) ⇒ 2009 2010 ≡ 550 67 (mod 2011) Ta có : 550 2 ≡ 850 (mod 2011) ⇒ 550 6 ≡ 850 3 ≡ 1798 (mod 2011) ⇒ 550 18 ≡ 1798 3 ≡ 1269 (mod 2011) ⇒ 550 54 ≡ 1269 3 ≡ 74 (mod 2011) Mà 550 12 ≡ 1798 2 ≡ 1127 (mod 2011) Nên 550 67 ≡ 74.1127.550 ≡ 1 (mod 2011) Do đó 2009 2010 ≡ 1 (mod 2011) Vậy số dư trong phép chia 2009 2010 : 2011 là 1 b. Số dư trong phép chia 200920102 : 2020 là 802 Số dư trong phép chia 802011201 : 2020 là 501 Số dư trong phép chia 5012 : 2020 là 972 Vậy số dư trong phép chia 2009201020112012 : 2020 là 972 c. Số dư trong phép chia 1234567890987654321 : 2020 là 471 Bài 5. (5 điểm) a. Cho a = 11994 ; b = 153923 ; c = 129935. Tìm ƯCLN( a ; b; c) và BCNN( a; b; c); b. 5 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3x y 4x y 3x y 7x P(x, y) x y x y x y 7 - + - = + + + với x = 1,23456 ; y = 3,121235 Kết quả a. + Ta có = = ⇒ ƯCLN(a,b) = 11994 : 6 = 1999 Và ƯCLN(1999,c) =1999. Vậy ƯCLN(a,b,c) =1999 + BCNN(a,b) = 11994 . 77 = 923538 Ta có = = ⇒ BCNN(923538,c) = 923538 . 65 = 60029970 Vậy BCNN(a,b,c) = 60029970 b. 1,23456 3,121235 Ghi vào máy biểu thức (3X 5 Y 3 – 4X 3 Y 2 + 3X 2 Y – 7X) : (X 3 Y 3 + X 2 Y 2 + X 2 Y + 7) Ấn được kết quả là : 2,313486662 Vậy P = 2,31349 Bài 6. (5 điểm) a. Viết giá trị của biểu thức sau dưới dạng số thập phân 2 o ' o ' o ' 2 o ' 2 o ' 2 o ' sin 33 12 sin 56 48.sin 33 12 sin 56 48 A 2sin 33 12 sin 56 48 1 + - = + + b. Tính các tích sau : B = 26031931 x 26032010 ; C = 2632655555 x 2632699999 . Kết quả a. Ta có : A = = 3 = Kết quả A ≈ 0,02515 b. Đặt x = 2603; y = 1931, ta có : B = (x.10 4 + y)(x.10 4 + y + 79) = x 2 .10 8 + 2xy.10 4 + 79x.10 4 + y 2 + 79y Kết hợp tính trên máy và ghi trên giấy, ta được : x 2 .10 8 677560900000000 2xy.10 4 100527860000 79x.10 4 2056370000 y 2 3728761 79y 152549 B 677663488111310 b. Đặt x = 26326 ; y = 55555 ; z = 99999, ta có : C = (x.10 5 + y)(x.10 5 + z) = x 2 .10 10 + xy.10 5 + xz.10 5 + yz Kết hợp tính trên máy và ghi trên giấy, ta được : x 2 .10 10 6930582760000000000 xy.10 5 146254093000000 xz.10 5 263257367400000 yz 5555444445 B 6930992277015844445 Bài 7. (5 điểm) Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn ( O , R) cố định ( trình bày cả cách giải) Tính chu vi và diện tích tứ giác đó biết R = 5, 2358( m) Kết quả a. Dựng hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ cùng nội tiếp với đường tròn (O) sao cho MP ⊥ BD Ta sẽ chứng minh S MNPQ lớn nhất khi MNPQ là h.vuông. Thật vậy, gọi h là chiều cao ∆MNP, h’ là chiều cao ∆MBP thì h < h’ ⇒ S MNP = < = S MBP dấu ‘=’ xảy ra khi N ≡ B là điểm chính giữa cung MP. Do đó, ta có : S MNPQ = S MNP + S MPQ < S MBP + S MDP = S MBPD = S MBD + S PBD < S ABD + S CBD = S ABCD Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi MNPQ trùng với ABCD, tức là MNPQ là hình vuông. S ABCD = = 2R 2 = 2(5,2358) 2 = 54,82720328 Vậy S ABCD = 54,82720 (cm 2 ) P ABCD = 4.AB = 4R = 4.5,2358 = 29,61815748 Vậy P ABCD = 29,61816 (cm) Bài 8. ( 5 điểm) Cho đa thức 5 4 3 2 P(x) x ax bx cx dx 6= + + + + + a. Xác định các hệ số a, b, c, d biết P (–1) = 3 ; P(1) = 21 ; P(2) = 120 ; P(3) = 543 ; b. Tính giá trị của đa thức tại x = –2,468 ; x = 5,555 ; c. Tìm số dư trong phép chia đa thức P( x ) cho x + 3 và 2x – 5 . Kết quả 4 a. Ta có hệ phương trình : ⇒ Vậy P(x) = x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 5x + 6 b. P(–2,468) = – 44,43691 và P(5,555) = 7865,46086 c. Số dư trong phép chia P(x):(x + 3) là P(–3) = –135 Số dư trong phép chia P(x):(2x – 5) là P() = 266,15625 Bài 9. (5 điểm) Cho dãy số : ( ) ( ) n n n 9- 11 - 9+ 11 U = 2 11 với n = 0; 1; 2; 3; … a. Tính 5 số hạng U 0 ; U 1 ; U 2 ; U 3 ; U 4 . b. Trình bày cách tìm công thức truy hồi U n+2 theo U n+1 và U n . c. Viết quy trình ấn phím liên tục tính U n+2 theo U n+1 và U n . Từ đó tính U 5 và U 10 Kết quả a. Thay n = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 vào công thức ta được : n 0 1 2 3 4 U n 0 –1 –18 –254 –3312 b. Cho U n + 2 = aU n + 1 + bU n + c. Thay n = 0 ; 1 ; 2 vào công thức, ta được hệ phương trình : ⇒ ⇒ Vậy U n + 2 = 18U n + 1 – 70U n c. Quy trình bấm phím liên tục tính U n + 2 trên máy Casio 570MS, 570ES : Đưa U 1 vào A, tính U 2 rồi đưa vào B: – 1 18 – 700 Lặp lại dãy phím : 18 – 70 (được U 3 ) 18 – 70 (được U 4 ) Do đó tính được U 5 = – 41836 Và U 9 = – 982396816, ghi giấy rồi tính được U 10 = – 12105999648 Bài 10. (5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD chứa vừa khít 3 đường tròn trong nó ( hình vẽ) , biết bán kính đường của đường tròn bằng 20 cm a. Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài các hình tròn trong hình vẽ . b. Cho hình chữ nhật ABCD quay một vòng xung quanh trục là đường thẳng đi qua tâm của các đường tròn . Tính thể tích vật thể được tạo nên bởi phần hình tìm được ở câu a Kết quả a. Ta có BC = 2R = 40 cm; AC = 6R = 120 cm + Diện tích hình chữ nhật ABCD là : S 1 = AB.AC = 4800 cm 2 + Diện tích mỗi hình tròn là : S 2 = πR 2 = 400π cm 2 + Diện tích cần tìm là : S = S 1 – 3S 2 = 4800 – 1200π (cm 2 ) S ≈ 1030,08881 (cm 2 ) b. Khi cho hình trên quay một vòng quanh trục là đường thẳng qua tâm của các hình tròn thì h.chữ nhật tạo nên một hình trụ có bán kính đáy 5 bằng R = 20 cm; mỗi hình tròn tạo nên một hình cầu bán kính R = 20 cm + Thể tích hình trụ là : V 1 = πR 2 h = π.20 2 .120 = 48000π (cm 3 ) + Thể tích mỗi hình cầu là : V 2 = πR 3 = π.20 3 = (cm 3 ) + Thể tích cần tìm là : V = V 1 – 3V 2 = 16000π (cm 3 ) V ≈ 50265,48264 (cm 3 ) 6 . = 1 199 4 : 6 = 199 9 Và ƯCLN( 199 9,c) = 199 9. Vậy ƯCLN(a,b,c) = 199 9 + BCNN(a,b) = 1 199 4 . 77 = 92 3538 Ta có = = ⇒ BCNN (92 3538,c) = 92 3538 . 65 = 600 299 70 Vậy. 1 . 1 1 2 2 3 20 09 2010 + + + + + + + + + c. C 291 945 83 191 0 263 193 1 322010 198 194 5= + + + + Kết quả A = +++…+ = +++…+ = = ≈ 21 ,92 2 09 B = ++…+ = 1+ –