Phũng GD- T Tam Dng Trng THCS Tam Dng -----o0o----- KHO ST I TUYN Mụn: Toỏn 9 Thi gian lm bi: 120 phỳt ----------------------- Bi 1: 2,5 im a/ Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) + + = + 3 3 2 2 2 4 x 2 x 2 x A 4 4 x với 2 x 2 b/ Cho trớc số hữu tỉ m sao cho 3 m là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: 3 2 3 a m b m c 0+ + = . Bi 2: 2 im Tỡm s t nhiờn m, bit rng khi b i 3 ch s tn cựng bờn phi ca nú thỡ c mt s mi cú giỏ tr bng 3 m . Bi 3: 2,5 im Cho ABC cú ba gúc nhn. K cỏc ng cao AH, BI, CK. Chng minh rng: a/ S ABC = 2 1 AB.AC.SinA b/ S HIK = ( 1- cos 2 A - cos 2 B - cos 2 C).S ABC Bi 4: 1,5 im Gi a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc khụng cú gúc tự v x, y, z l cỏc s bt kỡ. Chng minh rng: 2 c 2 b 2 a 2 2z 2 2y 2 2x 2 c 2 z 2 b 2 y 2 a 2 x ++ ++ ++ Bi 5: 1,5 im Cho mt hỡnh vuụng v 9 ng thng, trong ú c mi ng thng u chia hỡnh vuụng thnh hai t giỏc cú t s din tớch l 3 2 . Chng minh rng trong s 9 ng thng ú cú ớt nht 3 ng thng ng quy. ------------------------------------- Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm HNG DN CHM KHO S T I TUYN TO N 9 ------------------ Câu Phần Nội dung trình bày Điểm Câu 1 2,5 điểm 1) 1,5điểm Đặt a 2 x; b 2 x (a, b 0) = + = 2 2 2 2 a b 4; a b 2x + = = 0.25 ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 ab a b 2 ab a b a b ab A 4 ab 4 ab + + + + = = + + 0.25 ( ) ( ) ( ) 2 ab a b 4 ab A 2 ab a b 4 ab + + = = + + 0.25 ( ) A 2 4 2ab a b = + 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 A 2 a b 2ab a b a b a b = + + = + 0.25 2 2 A 2 a b 2x A x 2 = = = 0.25 2) 1,0điểm 3 2 3 a m b m c 0+ + = (1) Giả sử có (1) 3 2 3 b m c m am 0 (2) + + = Từ (1), (2) 2 2 3 (b ac) m (a m bc) = 0.25 Nếu 2 a m bc 0 2 3 2 a m bc m b ac = là số hữu tỉ. Trái với giả thiết! 2 3 2 2 b ac 0 b abc a m bc 0 bc am = = = = 0.25 3 3 3 b a m b a m = = . Nếu b 0 thì 3 b m a = là số hữu tỉ. Trái với giả thiết! a 0;b 0 = = . Từ đó ta tìm đợc c = 0. 0.25 Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0 0.25 Câu 2 2 D thy s cn tỡm cú t 4 ch s tr lờn. Gi s sau khi b i 3 ch s tn cựng abc ca s m ta c s x, thỡ m = 10 3 x + abc 0,5 Theo bi ra ta cú: x = 3 1000 abcx + x 3 = 1000x + abc x(x 2 1000) = abc (*) 0,25 - Nu x 33 thỡ VT ca (*) s ln hn hoc bng 33. Vy x < 33 0,25 - Nu x 31 thỡ x 2 96, nờn x(x 2 1000) < 0 < abc 0,25 Vy x = 32 suy ra abc = 768 0,25 T õy: m = 10 3 .32 + 768 = 32768 . S ny tho món yờu cu bi 0,5 Cõu 3 2.5 a) 1 im - V hỡnh chớnh xỏc, vit GT, KT - Ta cú S ABC = ACBI. 2 1 Trong tam giỏc vuụng ABI thỡ sinA = AABBI AB BI sin. = 0,25 0.25 0.25 Câu 4 1,5đ Câu 5 1.5đ b) 1,5điểm Vậy: S ABC = ACBI. 2 1 = AACAB sin 2 1 b) Ta có == AC AK AB AI S S ABC AIK . cos 2 A ⇒ S AIK = S ABC .cos 2 A Chứng minh tương tự: S BKH = S ABC .cos 2 B; S CIH = S ABC .cos 2 C Mà S HIK = S ABC – ( S AIK + S BKH + S CIH ) = ( 1- cos 2 A - cos 2 B - cos 2 C).S ABC Với a 2 + b 2 + c 2 > 0 ta có: (a 2 + b 2 + c 2 )( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ ) = = x 2 (2 + 2 222 a acb −+ ) + y 2 (2 + 2 222 b bca −+ ) + z 2 (2 + 2 222 c cba −+ ) = 2x 2 +2y 2 +2z 2 +x 2 ( 2 222 a acb −+ ) + y 2 ( 2 222 b bca −+ ) + z 2 ( 2 222 c cba −+ ) (*) Giả sử a ≤ b ≤ c thì c 2 – a 2 ≥ 0 và c 2 – b 2 ≥0 Với c là cạnh lớn nhất mà góc ACB nhọn hoặc tù, nên ta kẻ đường cao BH, khi đó c 2 = BH 2 + HA 2 ≤ BC 2 + CA 2 = a 2 + b 2 Từ các BĐT trên suy ra biểu thức cuối cùng của (*) không âm, từ đó có ĐPCM Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác phải cắt hai cạnh đối của hình vuông. Gọi M, E, N, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CB, CD, DA Giả sử đường thẳng d như thế cắt cạnh BC tại P, cắt cạnh AD tại Q và cắt MN tại O 1 thoả mãn điều kiện 3 2 = CDQP ABPQ S S Khi đó: 3 2 2:).( 2:).( 1 1 == + + NO MO CDCPDQ ABAQAP Suy ra: 5 2 1 = MN MO . Vậy d luôn đi qua điểm O 1 cố định Tương tự như vậy ta cũng chứng minh được: O 2 ; O 3 ; O 4 là các điểm cố định Vì chỉ có 4 điểm mà có 9 đường thẳng đi qua chúng nên theo nguyên tắc Đirichle ít nhất phải có 3 trong số 9 đường thẳng trên cùng đi qua một trong 4 điểm cố định trên O 1 M N F E C B A D P Q O 3 O 2 O 4 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 . 0.25 ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 ab a b 2 ab a b a b ab A 4 ab 4 ab + + + + = = + + 0.25 ( ) ( ) ( ) 2 ab a b 4 ab A 2 ab a b 4 ab + + = = + + 0.25 ( ) A. 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 A 2 a b 2ab a b a b a b = + + = + 0.25 2 2 A 2 a b 2x A x 2 = = = 0.25 2) 1,0điểm 3 2 3 a m b m c 0+ + = (1 ) Giả sử có (1 )