Kiểm tra cũ: Với a,b hai số dương khác 1, c số dương, Hoàn thành dấu « … » để mệnh đề log a log b c  ; log a b  ; log b log b c  log b c  Tính B = log 2.log 5.log 01/29/24 Kiểm tra cũ: Hướng dẫn log a c log b c  ; log a b log a b  ; log b a  log b c  log b c  Tính B  B log log log log 2.log 32 2 log log 32 2 log 32 2.2 4 01/29/24 Tiết 34 - BÀI 2: SỐ e VÀ LOGARIT TỰ NHIÊN 1./ Lãi kép liên tục số e 2./ Logarit tự nhiên 01/29/24 1./ Lãi kép liên tục số e • Bài tốn: Nếu đem gửi vào ngân hàng số vốn A= 100 triệu đồng, với lãi suất r=8% năm, Dùng máy tính bỏ túi tính số tiền thu vốn lẫn lãi sau N = năm theo định kỳ sau đây: • a./ m=1 (định kỳ năm) • b./ m= 2(định kỳ tháng) • c./m=4 (định kỳ quý) • d./ m=12 (định kỳ tháng) • e./ m=52 (định kỳ tuần) • 01/29/24 f./ m=365( định kỳ ngày) 1./ Lãi kép liên tục số e Giải: Gọi Sm số tiền (triệu đồng) thu vốn lẫn lãi sau năm theo định r kì m Lãi suất kì , số kỳ: Nm m a./ m=1 : r Nm 0, 08 2.1 S1  A(1  ) 100.(1  ) 116, 640 m 0, 08 2.2 b./ S2 100.(1  ) 116, 986 0, 08 2.4 c./ S4 100.(1  ) 117,166 01/29/24 1./ Lãi kép liên tục số e Giải: (tiếp) (đơn vị triệu đồng) 0, 08 2.12 d./ S12 100.(1  ) 117, 289 ; 12 0, 08 2.52 e./ S52 100.(1  ) 117, 337 ; 52 0, 08 2.365 f./ S365 100.(1  ) 117, 349 365 Nhận xét: Khi ta tăng số kì m năm số tiền thu sau N năm (Nm kì) tăng theo Số tiền thu có tăng lên vô hạn? 01/29/24 1./ Lãi kép liên tục số e r Nm XétTrả giới dãy số sau: Sm  A(1  ) lời:hạn Không m (Với A, r, N không đổi) m r r Nm Sm  A(1  ) m          A      m    r      Nr (1)     Để xét giới hạn dãy số sau: mlim 1    m    r  01/29/24 m r 1./ Lãi kép liên tục số e 1  Tổng quát, ta xét giới hạn: lim    x  x x x 1  Người ta tính được: lim    2, 7183 (2) x  x  x 1  Ký hiệu: e = lim    2, 7183 x  x  Từ (1) (2) ta được: lim Sm  A.e N r m  01/29/24 1./ Lãi kép liên tục số e Thể thức tính lãi cho m+ gọi thể thức lãi kép liên tục Theo thể thức này, với số vốn ban đầu A, lãi suất năm r sau N năm thu số tiền vốn lẫn lãi là: N r S  A.e (3) (3) gọi cơng thức tính lãi kép liên tục 01/29/24 1./ Lãi kép liên tục số e • Ví dụ 1: Xét tốn đầu bài, với số vốn A= 100 triệu đồng, lãi suất r =8% năm, tính theo thể thức lãi kép liên tục hai năm số tiền thu vốn lẫn lãi triệu đồng? S  A.e 01/29/24 N r 100.e 2.0,08 117, 351 (triệu đồng) 10 1./ Lãi kép liên tục số e • Ví dụ 2: Sự gia tăng dân số ước tính theo cơng thức (3), A dân số năm lấy làm mốc để tính, S dân số theo N năm, r tỉ lệ gia tăng dân số hàng năm Biết tỉ lệ gia tăng dân số giới hàng năm 1,32%, năm 1998, dân số giới khoảng 926,5 triệu người Dự đoán dân số giới năm 2008 (triệu người)? S  A.e 01/29/24 N r 5926, 5.e 10.0,0132 6 762, (triệu người) 11 1./ Lãi kép liên tục số e •Nhiều tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) tự nhiên xã hội, chẳng hạn gia tăng dân số, ước tính theo cơng thức (3) Vì vậy, cơng thức (3) cịn gọi Cơng thức tăng trưởng mũ • Ví dụ 3: Biết tỉ lệ gia tăng dân số Viêt Nam hàng năm 1,1%, năm 2009, dân số Việt Nam khoảng 86,025 triệu người Dự đoán dân số Việt Nam năm 2019 (triệu người)? S 86, 025.e 01/29/24 10.0,011 96, 028 (triệu người) 12 2./ Logarit tự nhiên •Định nghĩa: Logarit số e số dương a gọi logarit tự nhiên ( hay logarit Nê – pe) số a, kí hiệu lna •Tính chất: Logarit tự nhiên có đầy đủ tính chất logarit với số lớn 01/29/24 13 2./ Logarit tự nhiên •Ví dụ 4: Dùng cơng thức đổi cở số so sánh logx lnx tùy vào giá trị x •Ví dụ 5: Biết năm 2001, dân số nước ta 78 685 800 người va tỉ lệ gia tăng dân số năm 1,7% gia tăng dân số ước tính theo công thức (3) Hỏi gia tăng dân số đến năm dân số nước ta đạt mức 100 triệu người? 01/29/24 14 2./ Logarit tự nhiên Ví dụ 6: Tính biểu thức sau theo a = ln2, b = ln5; 16 a./ ln ; b./ ln 6, 25 25 98 99 c./ ln  ln   ln  ln 99 100 01/29/24 15 HD ví dụ Với 01: ta có ln x  ln1 0 nên ln x log x   ln x (vì ln10>1) ln10 Với x = : log1=ln1=0 01/29/24 16 HD ví dụ Giả sử sau N năm nước ta mức 100 triệu người Theo đề ta có: 100 78, 6858.e 0,017 N (*) Lấy logarit tự nhiên vế (*) ta : ln100 ln(78, 6858.e 0,017 N ) ln(78, 6858)  0, 017 N ln100  ln(78, 6858)  N 14 0, 017 Trả lời năm : 2015 01/29/24 17 Tính chất ln1 0; ln e 1; e ln a a( a  0); lne x  x Cho b, c > Khi đó: ln b  ln c  b  c b ln( ) ln b  ln c c ln( b.c ) ln b  ln c ln b  l n b Với b, c > b 1, ta có: 01/29/24 ln c log b c  ln b 18 HD ví dụ a./ Ta có: 16 ln ln16  ln 25 = ln2  ln5 25 =4ln2  2ln5 = 4a  2b b./ Ta có: ln 6, 25 ln [5 ( ) ]= ln  ln  2 =-2ln2+2ln5 = -2a+2b 01/29/24 19 HD ví dụ c./ Ta có: 98 99 98 99 ln  ln   ln  ln ln( ) 99 100 99 100 2 2 = ln( ) ln(2 )  2ln  2ln  2a  2b 100 01/29/24 20 ... 86, 025 .e 01/29/24 10.0,011 96, 028 (triệu người) 12 2./ Logarit tự nhiên •Định nghĩa: Logarit số e số dương a gọi logarit tự nhiên ( hay logarit Nê – pe) số a, kí hiệu lna •Tính chất: Logarit. .. 2.2 4 01/29/24 Tiết 34 - BÀI 2: SỐ e VÀ LOGARIT TỰ NHIÊN 1./ Lãi kép liên tục số e 2./ Logarit tự nhiên 01/29/24 1./ Lãi kép liên tục số e • Bài tốn: Nếu đem gửi vào ngân hàng số vốn A= 100 triệu...  A .e 01/29/24 N r 100 .e 2.0,08 117, 351 (triệu đồng) 10 1./ Lãi kép liên tục số e • Ví dụ 2: Sự gia tăng dân số ước tính theo cơng thức (3), A dân số năm lấy làm mốc để tính, S dân số theo