HÌNH HỌC 11 Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc. Bài 3: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng.  Bài toán: Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng thuộc mặt phẳng (P). Chứng minh rằng: nếu một đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P). P a b c d u r v r w ur r r Gọi d là đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (P). Gọi các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a, b, c, d lần lượt là: u, v, w, r r r ur r Giả thiết bài toán có thể chuyển về theo mối quan hệ giữa các vectơ như thế nào? Ta có: u v 0 u w 0 r mv nw  × =   × =   = +   r r r ur r r ur u r 0⇒ × = r r Kết luận bài toán có thể chuyển về theo mối quan hệ giữa các vectơ như thế nào? Hãy chứng minh bài toán bằng các phép biến đổi đẳng thức vectơ. ( ) u r u mv+nw m u v n u w 0 ⇒ × = × = × × + × × = r r r r ur r r r ur 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.  Đònh nghóa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.  Đònh lý: Nếu một đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với (P).  Bài toán: Chứng minh rằng: nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh thứ ba. 2. Các tính chất.  Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.  Nhận xét 1: Mặt phẳng (P) được xác đònh bởi hai đường thẳng phân biệt b, c qua O và vuông góc với a.  Nhận xét 2: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua trung điểm đoạn AB và vuông góc với AB. Mặt phẳng này gọi là Mặt phẳng trung trực của đọan AB. Mặt phẳng này là tập hợp những điểm cách đều A, B. P a b c O A B O M 2. Các tính chất.  Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng a đi qua điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.  Nhận xét 1: Đường thẳng a này là giao của hai mặt phẳng (Q), (R) qua O và lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a, b trong mặt phẳng (P). a b O P Q R 2. Các tính chất.  Bài toán: Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh tam giác ABC. 3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. a // b (P) b (P) a  ⇒ ⊥  ⊥ •  a (P) b (P) a // b a b ⊥   ⊥ ⇒   ≡ •  a b P 3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. (P) // (Q) a (Q) a (P)  ⇒ ⊥  ⊥  • (P) a (Q) a (P) // (Q) (P) (Q) ⊥   ⊥ ⇒   ≡  • a P Q 3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. a // (P) b a b (P)  ⇒ ⊥ ⊥  •  a (P) a b a // (P) (P) b ⊄   ⊥ ⇒   ⊥  • a b P 4. Đònh lí ba đường vuông góc.  Đònh nghóa: Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).  Đònh lý: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). a b a’ P