ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I Môn TOÁN – LỚP 10 Thời gian: 90 phút, kể cả thời gian giao đề. ------------------------------------------- A. PHẦN CHUNG: (7,0 điểm) Phần dành cho tất cả học sinh học chương trình chuẩn và chương trình nâng cao. Câu I: (1,0 điểm) Cho hàm số 2 y = x x + 3 + 4 có đồ thị là parabol (P). 1) Vẽ parabol (P). 2) Từ đồ thị của hàm số, hãy tìm tất cả các giá trị của x sao cho y > 3. Câu II: (2,0 điểm) 1) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 2 m = 4x + 3m x -6 2) Xác định các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là số nguyên. Câu III: (2,0 điểm) Giải các phương trình: 1) 2x - 3 = x - 2 2) 2x +1 = 3x + 5 Câu IV: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ ( ) a = 2;-2 r và ( ) b = 1;4 r . Hãy phân tích vectơ ( ) c = 5;-3 r theo hai vectơ a r và b r . Câu V: (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: 2 2 2 a + b + c ab - ac + 2bc 4 ≥ B. PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó. I. Dành cho học sinh học chương trình chuẩn: Câu VIa: (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ ( ) O; i, j r r cho hai điểm A(-1, 3), B(0, 4) và vectơ OC = 2i - j uuur r r 1) Tìm tọa độ điểm D để A là trọng tâm của tam giác BCD. 2) Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho MA = MB. Câu VIIa: (1,0 điểm) Tìm tập xác định và xác định tính chẵn, lẻ của hàm số: y = 5 - x + 5 + x II. Dành cho học sinh học chương trình nâng cao: Câu VIb: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. 1) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. 2) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Câu VIIb: (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để phương trình (x + 4) 2 = mx có đúng một nghiệm x > - 4. ---------------------------- Hết -------------------------- ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I *********************** Câu Ý Nội dung Điểm I. Cho hàm số 2 y = x x + 3 + 4 có đồ thị là parabol (P). (1,0 điểm) 1 Vẽ parabol (P). 0,75 điểm + Đỉnh của (P): S(- 2; -1) + Trục đối xứng của (P): x = - 2 (d) + a = 1 > 0: Bề lõm quay lên phía trên. + (P) cắt trục hoành tại các điểm (- 1; 0), (- 3; 0) + Các điểm khác thuộc (P): A(0; 3), B(- 4; 3) 0.25 8 6 4 2 -2 -10 -5 5 - 4 B O - 2 A - 3 - 1 - 1 0.5 2 Từ đồ thị của HS, hãy tìm tất cả các giá trị của x sao cho y > 3. 0,25 điểm Từ đồ thị của hàm số ta có y > 3 khi ( ) ( ) x - ;-4 0;+∈ ∞ ∪ ∞ 0,25 II. (2,0 điểm) 1 Giải và biện luận phương trình: 2 m x - 6 = 4x + 3m 1,0 điểm Tập xác định của PT là ¡ . PT ⇔ (m 2 - 4)x = 3m + 6 ( ) ( ) ( ) m - 2 m + 2 x = 3 m + 2⇔ 0,25 Khi m -2 m 2≠ ∧ ≠ thì PT có nghiệm duy nhất 3 x = m - 2 0,25 Khi m = 2 thì phương trình trở thành 0x = 12 nên vô nghiệm 0,25 Khi m = -2 thì phương trình trở thành 0x = 0 nên có nghiệm tuỳ ý 0,25 2 Xác định các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là số nguyên. 1,0 điểm Khi m -2 m 2≠ ∧ ≠ thì PT có nghiệm duy nhất 3 x = m - 2 0,25 ( ) 3 x = m - 2 3 m - 2 ∈ ⇔¢ 0,25 m - 2 = -1; 1; -3; 3⇔ m = 1; 3; -1; 5⇔ ( thoả mãn đk) 0,25 Vậy các giá trị của m thỏa mãn ycbt : m = -1, m = 1, m = 3, m = 5 0,25 III. (2,0 điểm) 1 2x - 3 = x - 2 (1) 1,0 điểm Điều kiện: 2x ≥ 0,25 Với ĐK trên thì PT (1) ⇔ 2x – 3 = (x – 2) 2 0,25 2 2 2x - 3 = x - 4x + 4 x - 6x + 7 = 0⇔ ⇔ x = 3- 2 x = 3+ 2⇔ ∨ 0,25 Đối chiếu với điều kiện, PT có nghiệm duy nhất 3 2x = + 0,25 2 2x + 1 = 3x + 5 (2) 1,0 điểm PT (2) ( ) 2 1 3 5 2 1 3 5x x x x⇔ + = + ∨ + = − + 0,5 6 4 x = - 5 x⇔ = − ∨ 0,25 Vậy PT có hai nghiệm x = - 4 và x = 6 5 − 0,25 IV. Cho ( ) r a = 2; -2 , ( ) r b = 1;4 . Hãy phân tích ( ) r c = 5;0 theo r a và r b . 1,0 điểm Giả sử vectơ c r phân tích theo hai vectơ a r và b r như sau: c = ma + nb r r r . Ta có: ( ) c = 5;0 r , ( ) ma + nb = 2m + n;-2m + 4n r r 0,25 Từ đó: c = ma + nb r r r ⇔ 5 = 2m + n 0 = -2m + 4n∧ 0,25 m = 2 n =1 ⇔ ∧ 0,25 Vậy: c = 2a + b r r r 0,25 V. Cho ba số thực a, b, c tùy ý. CMR: ≥ 2 2 2 a + b + c ab - ac + 2bc 4 1,0 điểm BĐT 2 2 2 a - ab + ac b 2bc + c 0 4 + -⇔ ≥ 0,25 ( ) 2 2 a - a(b - c) b - c 0 2 +   ⇔ ≥  ÷   0,5 ( ) 2 a - b - c 0 2   ⇔ ≥     hiển nhiên đúng. Vậy đất đẳng thức đã được chứng minh. 0,25 VIa Cho A(-1, 3), B(0, 4), uuur r r OC = 2i - j (2,0 điểm) 1 Tìm tọa độ điểm D để A là trọng tâm tam giác BCD. 1,0 điểm Từ giả thiết suy ra C(2; -1) 0,25 A là trọng tâm của ΔBCD B C D A B C D A x + x + x x = 3 y + y + y y = 3    ⇔     0,25 D D 0 + 2 + x 4-1+ y -1 = 3 = 3 3 ⇔ ∧ D D x = -5 y = 6⇔ ∧ 0,25 Vậy D(- 5; 6) 0,25 2 Tìm tọa độ điểm M trên Ox sao cho MA = MB 1,0 điểm M nằm trên Ox nên M(x; 0) 0,25 MA = MB ⇔ MA 2 = MB 2 ⇔ (-1 – x) 2 + (3 – 0) 2 = (0 – x) 2 + (4 – 0) 2 0,25 ⇔ 1 + 2x + x 2 + 9 = x 2 + 16 ⇔ x = 3 0,25 Vậy M(3; 0) 0,25 VIIa Tìm TXĐ và xác định tính chẵn, lẻ của hàm số: y = 5 - x + 5 + x 1,0 điểm Hàm số xác định khi 5- x 0 x 5 -5 x 5 5 + x 0 x -5 ≥ ≤   ⇔ ⇔ ≤ ≤   ≥ ≥   0,25 Vậy TXĐ của hàm số là [ ] 5;5− 0,25 Vì TXĐ của hàm số là [ ] 5;5− nên [ ] x -5;5∀ ∈ ⇒ - [ ] x -5;5∈ 0,25 Và ( ) ( ) ( ) ( ) y -x = 5- -x + 5+ -x = 5 + x + 5- x = y x Vậy hàm số là chẵn. 0,25 VIb Cho ΔABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. M là trung điểm của AC. (2,0 điểm) 1 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. 1,0 điểm Trong ABC∆ , ta có: ( ) 2 2 2 2 1 AC 1 BM = (AB + AC - ) = 25+ 49 -18 = 28 2 2 2 BM = 2 7⇒ 0,25 Trong ABC∆ , ta có: 2 2 2 AB + AC - BC 1 cosA = = 2.AB.AC 5 0,25 1 2 6 sinA = 1- 25 5 ⇒ = 0,25 Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ . Ta có: BM 2 7 5 42 R = = = 2sinA 12 2 6 2. 5 2,7≈ 0,25 2 Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 1,0 điểm Gọi p là nửa chu vi của ΔABC , ta có p = ( ) 1 5 6 7 9 2 + + = 0,25 Gọi S là diện tích ΔABC , S = ( ) ( ) ( ) 9 9 5 9 6 9 7− − − = 6 6 0,25 Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC thì S 6 6 r = = p 9 ≈ 1,63 0,50 VIIb Tìm các giá trị của m để phương trình (x + 4) 2 = mx có đúng một nghiệm x > - 4 1,0 điểm Đặt x = t – 4. Khi đ ó PT đã cho tương đương vớI t 2 = mt – 4m ⇔ t 2 – mt + 4m = 0 0,25 Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình t 2 – mt + 4m = 0 (1) có đúng một nghiệm t > 0 PI (1) có nghiệm 0 ⇔ ∆ ≥ ( ) m m -16 0⇔ ≥ m 0 m 0 m -16 0 m -16 0 ≥ ≤   ⇔ ∨   ≥ ≤   m 16 m 0 ≥  ⇔  ≤  0,25 + Nếu m = 16 thì PT (1) có nghiệm kép t = m 16 = = 8 2 2 > 0. + Nếu m = 0 thì PT (1) có nghiệm kép t = m 0 = = 2 2 0. + Nếu m < 0 m >16∨ thì PT (1) có hai nghiệm phân biệt t 1 và t 2 (giả sử t 1 < t 2 ). Khi đó PT (1) có đúng một nghiệm t > 0 1 2 t 0 < t⇔ ≤ 1 2 1 2 t = 0 < t t < 0 < t⇔ ∨ 4m = 0 4m < 0 m > 0  ⇔ ∨   4m < 0 m < 0 ⇔ ⇔ 0,25 Vậy khi m < 0 m =16∨ thì PT đã cho có đúng một nghiệm x > - 4 0,25 Lưu ý: ù Phần riêng, nếu học sinh làm không đúng theo chương trình hoặc làm cả hai phần thì không chấm phần riêng đó. ù Học sinh có thể giải bằng các cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng với thang điểm của ý và câu đó. . tròn ngo i tiếp tam giác ABM. 2) Tính bán kính đường tròn n i tiếp tam giác ABC. Câu VIIb: (1,0 i m) Tìm các giá trị của m để phương trình (x + 4) 2 = mx. các giá trị của x sao cho y > 3. Câu II: (2,0 i m) 1) Gi i và biện luận phương trình sau theo tham số m: 2 m = 4x + 3m x -6 2) Xác định các giá trị