CHUYÊN ĐỀ ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM CỰC TRỊ A.Mục tiêu • Học sinh biết áp dụng bất đẳng thức vào giải một số dạng toán tìm cực trị • Rèn kĩ năng vận dụng nhận dạng, đưa bài toán vế các dạng cơ bản để thuận tiện cho việc tìm cực trị • Giáo dục lòng đam mê toán học cho học sinh B.Chuẩn bị • Sách “Bất đẳng thức chọn lọc cấp II” • Sách “ 263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc” • Các loại sách nâng cao THCS và một số tài liệu khác C.Nội dung I.Các ví dụ minh họa  Dạng 1: Đưa về dạng 2 ( ) ( )f x a g x= ± Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 2 2 x y x + = + Giải: ta có 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 1 2 2 2 2 x x x x y x x + − + − − = = − ≤ + + dấu bằmg xảy ra khi x=1 Do đó Maxy=1 khi x=1 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của y=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) Giải: ta có y=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)] = (x 2 +5x-6)(x 2 +5x+6) §µo Anh Dòng http://violet.vn/tranthuquynh81 1 =(x 2 +5x) 2 -36≥ -36 Dấu bằng sảy ra khi: x 2 +5x=0 ↔ x=0 hoặc x= -5 . Vậy Miny=-36 khi x=0 hoặc x=-5 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức F(x,y)=xy-x 2 -y 2 -2x-3y Giải: 1/2[(2xy-x 2 -y 2 )-(x 2 +4x+4)-(y 2 -4y+4)]+4 =4-1/2[(x-y) 2 +(x-2) 2 +(y+2) 2 ]≤ 4 Vậy f(x,y) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi y=x=-2  Dạng 2:Dùng tam thức bậc hai (Đưa vềdạng ax 2 +bx+c) Ví dụ1: Xác định tham số a,b sao cho mỗi hàm số ax+b 2 x 1 y = + đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1 Giải: Vậy ta phải tìm a,b để ax+b 1 4 2 x 1 − ≤ ≤ + với mọi x thuộc R ↔ ax+b 4 2 x 1 ax+b 1 2 x 1  ≤   +   ≥ −  +  với mọi x thuộc R ↔ 2 4 ax+4-b 0 2 x ax+b+1 0 x  − ≥    + ≥  với mọi x thuộc R ↔ 2 1 16(4 ) 0 3 2 4 2 4( 1) 0 a b b a a b  ∆ = − − = =   ↔   = ±   ∆ = − + =  vậy a=4 , b=3 hoặc a=-4 , b=3 thì f(x,y)= ax+b 2 x 1+ đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số §µo Anh Dòng http://violet.vn/tranthuquynh81 2 T= │x-1|+│x-2| + │x-3| +│x-4| Giải: ta có |x-1| + |x-4|= |x-1|+|4-x| ≥ |x-1+4-x|=3 dấu bằng sảy ra khi (x-1)(4-x)≥0 hay 1≤ x ≤4 (1) tương tự │x-2|+│x-3|=│x-2|+│3-x| ≥ │x-2+3-x|=1. Dấu bằng sảy ra khi (x-2)(3-x)≥0 hay 2≤x≤3 (2) Tứ (1) và (2) ta có T= │x-1|+│x-2| + │x-3| +│x-4|≥ 3+1=4 Dấu bằng sảy ra khi 2 ≤x≤3 Vậy min T=4 khi 2≤x≤3  Dạng 3: dựa vào miền xác định của hàm số - Phương pháp: gọi f(x 0 )=0 tìm biến f(x 0 ) ≠0 dùng ∆ tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Y=2x+1/x 2 +2 có nghiệm ↔ y 0 x 2 +y 0 -2=2x+1 ↔ y 0 x 2 -2x+2y 0 -1=0 có nghiệm (1) 1)Nếu y 0 =0 ↔ x=-1/2 2)Nếu y 0 ≠0 ↔ (1) có nghiệm ↔ Δ’=1-y 0 (2y 0 -1)≥0 ↔ -2y 0 2 +y 0 +1≤0 ↔ -1/2≤y 0 ≤1 Vậy Miny=-1/2 và Maxy=1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 2 1 x y x x + = + + có nghiệm ↔ yx 2 + ( y-1)x+y-1=0 có nghiệm (1) 1) Nếu y1=0 ↔ x=-1 (2) 2) Nếu y1≠0 thì (1) có nghiệm §µo Anh Dòng http://violet.vn/tranthuquynh81 3 Δ=(y1-1) 2 -4y1(y1-1)≥0 ↔ (y1-1)(-3y1-1)≥0 ↔ -1/3≤y1≤1 (3) Từ (2) và (3) ↔ -1/3≤y≤1 Vậy Miny=-1/3 và Maxy=1  Dạng 4: dùng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopsky +với a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ≥0 ta luôn có: n a1+a2+ .+an n a2.a2 .an≥ dầu bằng xảy ra ↔ a 1 =a 2 =…=a n (cauchy) +Với 2n số a 1 ,a 2 ,…,a n ; b 1 ,b 2 ,…,b n ta luôn có (a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n ) 2 ≤ (a 1 2 +a 2 2 +…+a n 2 )( b 1 2 +b 2 2 +…+b n 2 ) dấu bằng xảy ra ↔ a 1 /b 1 = a 2 /b 2 = …= a n /b n Ví dụ 1: Cho x,y là các số thay đổi sao cho x≤3 , 0≤y≤4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= (3-x)(4-y)(2x+3y) Giải: Ta có A=1/6.2(3-x)3(4-y)(2x+3y)=1/6(6-2x)(12-3y) (2x+3y) Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số không âm ta được (6-2x)(12-3y)(2x+3y)≤ [(6-2x)(12-3y)(2x+3y)] 2 /3=6 3 → A≤36 MaxA=36 ↔ 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của S=abc(a+b)(b+c)(c+a) với a,b,c>0 và a+b+c=1 Giải: Áp dụng BĐT cô si cho 3 số ta có 3 1 a b c abc= + + ≥ ↔ abc=1/27 (1) §µo Anh Dòng http://violet.vn/tranthuquynh81 4 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3 3 2=(a+b)+(b+c)+(c+a) 3 (a+b)(b+c)(c+a)≥ ↔ (a+b)(b+c)(c+a)≤2/27 (2) Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/2 Từ (1) và (2) ↔ S≤ 8/729 Vậy MaxS=8/729 khi a=b=c=1/3 Ví dụ 3: Cho ab+bc+ac=1 tìm giá trị nhỏ nhất của a 4 +b 4 +c 4 Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có 1=(ab+bc+ca) 2 ≤ (a 2 +b 2 +c 2 )(a 2 +b 2 +c 2 )= (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 (1) Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho ba cặp số (1,1,1) và a 2 +b 2 +c 2 Ta có (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 ≤ 3(a 4 +b 4 +c 4 ) (2) từ (1) và (2) ↔ a 4 +b 4 +c 4 ≥1/2 Vậy Min(a 4 +b 4 +c 4 )=1/3 ↔ 3 a=b=c= 3 ± II.Bài tập áp dụng 1.Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Y=(4x+3)/(x 2 +1) 3.Tìm giá trị lớn nhất của S=x 6 +y 6 biết x 2 +y 2 =1 4.Tìm Giá trị nhỏ nhất của Y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) 5. Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình x 2 +2(m-2)x-3m+10=0 §µo Anh Dòng http://violet.vn/tranthuquynh81 5 Xác định m để x1 2 +x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất 6.Tìm giá trị nhỏ nhất và già trị lớn nhất của A=a 2 +b 2 với a,b thỏa mãn: (a 2 -b 2 +1) 2 +4a 2 b 2 -a 2 -b 2 =0 7. Tìm giá trị nhỏ nhất và già trị lớn nhất của Y=(4x+3)/(x 2 +1) 8. Tìm GTLN của : A= a 3 (16-a 3 ) với 0<a 3 <16 §µo Anh Dòng http://violet.vn/tranthuquynh81 6 . CHUYÊN ĐỀ ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM CỰC TRỊ A.Mục tiêu • Học sinh biết áp dụng bất đẳng thức vào giải một số dạng toán tìm cực trị. II.Bài tập áp dụng 1 .Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Y=(4x+3)/(x 2 +1) 3 .Tìm giá trị lớn