Sở giáo dục - đào tạo Thái Bình Trờng THPT Bình Thanh Đề kiểm tra chất lợng giữa học kì 1 năm 2010 2011 Môn: TOáN 12 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu I (3,0 điểm) : Cho hàm số y = - x 3 3x 2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho nghịch biến trên . Câu II (2,0 điểm) : Giải các phơng trình sau: 1. 3x 1 2x x 2 7.2 7.2 2 0 + + = ; 2. ( ) ( ) 3 2 . 3 3.2 8.6 x x x x x + + = . Câu III (2,0 điểm) : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1. 3 2 ( ) 2 3 12 1f x x x x = + trên đoạn 5 2; 2 ; 2. ( ) . x f x x e = trên nửa khoảng [ ) 0;+ . Câu IV (2,5 điểm) : Khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC = a, góc à 0 30B = . Đờng chéo BC của mặt bên (BBCC) tạo với mp(AACC) một góc 30 0 . 1. Chứng minh AB (AACC). Từ đó hãy suy ra góc ã 0 ' 30AC B = ; 2. Tính độ dài đoạn AC ; 3. Tính thể tích của khối lăng trụ. Câu V (0,5 điểm) : Cho a, b, c thỏa mãn: a + b +c = 6. Chứng minh rằng: 6 6 6 3 3 3 2( )a b c a b c + + + + ------------------------Hết------------------------ Đáp án và biểu điểm chấm toán 12 Câu Đáp án Điể m I (3,0 điểm) 1. (2,0 điểm): y = - x 3 3x 2 + mx + 4 Với m= 0, ta có hàm số y = - x 3 3x 2 + 4. Tập xác định: D = Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y = -3x 2 6x. Ta có: 2 ' 0 ; 0 2 ' 0 ; 0 ' 0 2 0. x y x x y x y x = = = < < > > < < Do đó: + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 2) và ( ) 0;+ . + Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 0). 0,5 0,5 Cực trị: Hàm số y đạt cực tiểu tại x = -2 và y CT = y(-2) = 0; đạt cực đại tại x = 0 và y CĐ = y(0) = 4. Giới hạn: lim , lim x x y y + = + = . Bảng biến thiên: x - -2 0 + y - 0 + 0 - y + 0 4 - 0,25 0,25 Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;4), cắt trục hoành tại điểm (1;0) và tiếp xúc với trục hoành tại điểm (-2;0). 0,5 2. (1,0 điểm): y = - x 3 3x 2 + mx + 4 Hàm số đã cho nghịch biến trên y = -3x 2 6x + m 0, x (y = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm ) 0,5 0 ' 0 a < 3m + 9 0 m -3. Vậy m -3 là các giá trị cần tìm. 0,5 II (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm): 3x 1 2x x 2 7.2 7.2 2 0 + + = Đặt t = 2 x , t > 0. Phơng trình đã cho trở thành: 3 2 2 7 7 2 0t t t + = . 2 ( 1)(2 5 2) 0t t t + = 1 1 2 2 t t t = = = Với t = 1, ta có: 2 x = 1 x = 0; Với t = 2, ta có: 2 x = 2 x = 1; Với t =1/2, ta có: 2 x = 1/2 x = -1; Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 0; 1; -1 0,25 0,25 0,5 2. (1,0 điểm): ( ) ( ) 3 2 . 3 3.2 8.6 x x x x x + + = Pt 9 x - 4.6 x + 3.4 x = 0; Chia hai vế phơng trình trên cho 4 x 0,ta đợc: 2 3 3 4. 3 0 2 2 x x + = ữ ữ . Đặt 3 , 0 2 x t t = > ữ . Ta có: t 2 4t + 3 = 0 t = 1 hoặc t = 3 (t/mđk). Với t = 1, ta có: 3 1 2 x = ữ x = 0; Với t = 3, ta có: 3 2 3 3 log 3 2 x x = = ữ ; Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 0; 3 2 log 3 0,25 0,25 0,5 III (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm): 3 2 ( ) 2 3 12 1f x x x x = + trên đoạn 5 2; 2 Ta có: f(x) = 6x 2 6x 12, x 5 2; 2 ữ f(x) = 0 1 2 x x = = (t/mđk). f(-2) = -3 f(-1) = 8 f(2) = -19 f(5/2) = -33/2 Vậy: 5 5 2; 2; 2 2 19, max ( ) 8 min ( ) f x f x = = 0,5 0,5 2. (1,0 điểm): ( ) . x f x x e = trên nửa khoảng [ ) 0;+ f(x) = (1 x).e -x , x (0;+) f(x) = 0 x = 1 (t/mđk) f(0) = 0, f(1) = e -1 Vì f(x) đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua x = 1 nên f(x) đạt giá trị cực đại (GTLN) tại x = 1 trên nửa khoảng [ ) 0;+ . 0,5 Mặt khác: f(x) 0 = f(0) , x [ ) 0;+ Vậy: [ ) [ ) 1 0; 0; 0, max ( ) min ( ) f x e f x + + = = . 0,5 IV (2,5 điểm) Không có hình vẽ (hoặc vẽ hình sai với lời giải) không cho điểm A C B A' C' B' 1.(1,0 điểm): Ta có: ( ' ') ' AB AC AB ACC A AB AA . Suy ra: AC là hình chiếu vuông góc của BC lên mp(ACCA) Vậy (BC, (ACCA)) = (BC,AC) = ã 0 ' 30AC B = 0,5 0,5 2.(0,5 điểm): Trong tam giác vuông ABC ta có: AB = AC.tan60 0 = a 3 Trong tam giác vuông ABC ta có: AC = AB.cot30 0 = 3a. 0,25 0,25 3.(1,0 điểm): Trong tam giác vuông ACC ta có: CC 2 = CA 2 AC 2 = 9a 2 a 2 = 8a 2 . Suy ra: CC = 2 2 a. Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC bằng: 3 1 ' . . . 6 2 V C C AB AC a= = 0,5 0,5 V (0,5 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 6. Chứng minh rằng: 4 4 4 3 3 3 2( )a b c a b c + + + + Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2. Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với: 4 3 4 3 4 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 a a b b c c f a f b f c + + + + Với f(x) = x 4 2x 3 . . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại x = 2 là y = 8x 16, Ta sẽ chứng minh: f(x) 8x 16, x x 4 2x 3 8x + 16 = (x 2) 2 (x 2 2x + 4) 0, x Vậy: f(a) 8a 16, f(b) 8b 16, f(c) 8c 16 Suy ra: f(a) + f(b) + f(c) 8(a + b +c) 48 = 0. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2 0,25 0,25 . Thái Bình Trờng THPT Bình Thanh Đề ki m tra chất lợng giữa học kì 1 năm 2 010 2 011 Môn: TOáN 12 (Thời gian làm bài 12 0 phút) Câu I (3,0 điểm) : Cho hàm. t + = 1 1 2 2 t t t = = = Với t = 1, ta có: 2 x = 1 x = 0; Với t = 2, ta có: 2 x = 2 x = 1; Với t =1/ 2, ta có: 2 x = 1/ 2 x = -1; Vậy phơng