Lời nói đầu Dạy học sinh học trờng THCS vấn đề có ý nghĩa tầm quan trọng lớn nghề nghiệp tơng lai ngời toàn xà hội Là ngời thầy muốn đợc ngời tôn vinh, kính trọng, muốn niềm tin chỗ dựa vững cho học sinh mình, muốn học sinh đạt đợc kết cao, vận dụng tốt kiến thức môn giảng dạy, vận dụng tốt lý thuyết vào thực hành thực tiễn sống Đặc biệt môn Toán môn trờng học môn khoa học luôn trừu tợng Mỗi tiết học, kiểu lên lớp đòi hỏi phải có phơng pháp khác nhau, phù hợp với mục tiêu, yêu cầu Làm để phát huy đợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Đặc biệt tập chơng trình toán vấn đề khó, để dạy cho học sinh đòi hỏi ngời giáo viên phải tìm tòi, nghiên cứu phơng pháp phù hợp qua thực tế thành công Tuy nhiên khả thành công tiết dạy phụ thuộc vào nhiều yếu tố Qua thực tế giảng dạy môn Toán xin ghi lại vài nét coi sáng kiến, kinh nghiệm để bạn bè, đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến để giúp cho học sinh nắm bắt đợc kiến thức giải thành thạo tập theo mong muốn Đích cuối làm để học sinh nhËn thøc vµ vËn dơng tèt kiÕn thøc vµo giải tập, vận dụng toán học vào môn khoa học khác biết vận dụng kiến thức toán học vào thực tế Tôi xin ghi nhận trân thành cảm ơn ý kiến xây dựng đóng góp đồng chí 0987196930 Sáng kiến kinh nghiệm A.Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài: Cơ sở lí luận: Toán học môn khoa häc cã nhiỊu øng dơng thùc tÕ, khoa häc kü thuËt vµ mét sè lÜnh vùc quan trọng khác Trong trờng học môn toán môn học quan trọng, sở học sinh phải đầu t kiến thức, t duy, nỗ lực, say mê dành nhiều thời gian học tập Chính lí mà ngời giáo viên phải ngời nắm bắt đợc thái độ t tởng tính cách học sinh để từ khơi dậy đợc lòng say mê tìm hiểu nghiên cứu học sinh Dựa sở lí luận thực tiễn trình độ lực, t học sinh mà ngời giáo viên phải tìm tòi lựa chọn phơng pháp giảng giải cho phù hợp với lứa tuổi trình độ học sinh, cho em thấy rõ đợc tầm quan trọng toán häc thùc tÕ nh»m h¹n chÕ tíi møc tèi đa suy nghĩ thiếu tích cực toán học Để từ phát huy đợc tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh học tập Trong chơng trình toán THCS toán Bất đẳng thức mảng kiến thức khó Nhng thông qua tập chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ sâu sắc giải biện luận phơng trình, bất phơng trình, mối liên hệ yếu tố tam giác tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Trong trình giải tập, lực suy nghĩ, sáng tạo học sinh đợc phát triển đa dạng phong phú, tập bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách lôgíc có hệ thống Cũng toán bất đẳng thức cách giải mẫu, không theo phơng pháp định nên học sinh lúng túng giải toán bất đẳng thức học sinh không theo hớng Do hầu hết học sinh làm toán bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Trong thực tế giảng dạy tập bất đẳng thøc lµ viƯc lµm gióp cho häc sinh biÕt chøng minh bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức vào giải tập có liên quan công việc quan trọng thiếu đợc ngời dạy giáo viên giang dạy môn toán, thông qua rèn luyện đợc t lôgic khả sáng tạo cho học sinh Để làm đợc điều ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh số kiến thức số phơng pháp suy nghĩ ban đầu bất đẳng thức Chính lí nên tự tham khảo tìm sáng kiến từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy để từ có thĨ gióp c¸c em häc sinh cã thĨ rƠ hiĨu học tốt 2.Cơ sở thực tiễn: Chúng ta đà biết Toán học môn khoa học, lý thuyết phải gắn với tập vận dụng thực tiễn Mặt khác theo quan điểm t biƯn chøng: Tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t trừu tợng t trừu tợng đến thực tiễn đờng nhận thức 0987196930 Vì việc rèn kỹ vận dụng kiến thức cũ vào giải tập Toán cho học sinh cã ý nghÜa hÕt søc quan träng ®èi víi viƯc nhận thức phát triển t học sinh việc dạy cho học sinh biết cách giải tập quan trọng Nó góp phần thực có hiệu mục tiêu giáo dục nhận thức học sinh đáp ứng yêu cầu đổi phơng pháp dạy học Thế nhng kỹ vận dụng t toán học học sinh nói yếu, yếu thầy dạy kém, trò không hiểu kỹ mà học sinh không đợc rèn luyện thờng xuyên nhiều tài liệu tham khảo Hơn sở vật chất nhà trờng nhiều hạn chế, điều kiện kinh tế gia đình gặp nhiều khó khăn Do yêu cầu mới, học sinh phải ngời lĩnh hội kiến thức cách tự giác có chủ động từ vận dụng cách linh hoạt khoa học vào giải tập Vì việc tìm phơng pháp giảng dạy, phù hợp với lùc t cđa häc sinh, l«i cn häc sinh học tập đáp ứng yêu cầu nhận thức vấn đề cần thiết: - Tìm dạng toán phù hợp với đối tợng học sinh - Phải phân loại xác định đợc mục đích toán để tìm lời giải phơng pháp giảng dạy cho phù hợp - Phải chuẩn bị cách công phu, kỹ lỡng để dạy đạt hiệu cao Đó sở thực tiễn, lý chủ quan thúc quan tâm, chăn trở lựa chọn nghiên cứu đề tài: Các phơng pháp giải dạng tập bất đẳng thức * Phạm vi đề tài: Phạm vi đề tài Vấn đề trình bày đợc hình thành qua tập Bất đẳng thức dạng toán với ứng dụng để giải tập có liên quan đà học chơng trình Toán THCS Đối tợng: + Đối tợng nghiên cứu vấn đề vận dụng kiến thức cũ vào vận dụng giải tập Bất đẳng thức tập có liên quan chơng trình toán THCS + Đối tợng nhận thức HS lớp 9A 9B trờng THCS trực tiếp giảng dạy * Mục đích: Qua nghiên cứu muốn nêu lên vấn đề làm để giúp học sinh giải tập bất đẳng thức đạt hiệu cao, giúp HS thoát khỏi khó khăn vớng mắc làm tập Ta đà biết mục đích giáo dục không đơn giúp HS nắm bắt tri thức mà phải hớng dẫn em cách tiếp thu vận dụng tri thức nh Vì vậy, qua nghiên cứu muốn nêu vài ý kiến vấn đề giải tập ứng dung nh để thu đợc hiệu cao Đó mục đích nghiên cứu đề tài B Nội dung: Cơ sở lý luận khoa học: a Vai trò phơng pháp giải tập Bất đẳng thức vận dụng 0987196930 - Phân tích toán bớc quan trọng để tổ chức học sinh nghiên cứu, giải thích định hớng trớc giải tập - Tìm kiến thức có liên quan sở xuất phát cho trình nhận thức xác định hớng HS Đây cầu nối lí thuyết cách giải tập Vì cần phải dịnh phơng pháp, phơng tiện giúp học sinh hình thành kỹ phân tích vận dụng vào giải tập - Việc đa kiến thức có liên quan giúp học sinh sâu tìm hiểu chất tợng, trình giải tập - Các ví dụ cụ thể giúp em nắm đợc kiến thức bớc giải dạng tập dạng toán Bất đẳng thức sở chuẩn kiến thức để HS quan sát, nhận biết nắm đợc kiến thức Dần dần, học sinh biết cách tự tiến hành đợc bớc giải tập, sở đối chứng giúp HS hình thành kĩ năng, t logic phát kiến thức - Các ví dụ đợc sử dụng để tổ chức hoạt động nhận thức HS với mức độ khác nhau: Thông báo, tìm tòi kiến thức, vận dụng, giải thích, chứng minhvà khẳng định đợc kiến thức - Tóm lại: Các ví dụ bất đẳng thức sở giúp học sinh củng cố, hoàn thiện kiến thức Từ tìm cách giải dạng tập Bất đẳng thức Các tập bất đẳng thức có vai trò quan träng ®èi víi häc sinh nã gióp cho häc sinh có khả rèn luyện t lôgíc cao phơng pháp suy luận chặt chẽ b Bản chất phơng pháp giải tập Bất đẳng thức vận dụng: - Bản chất toán Bất đẳng thức kết hợp chặt chẽ kiến thức kiến thức cũ có liên quan đến tính chất phép tính quy tắc bất đẳng thức đà đợc chứng minh, giúp cho học sinh rèn luyện đợc kỹ lập luận t lôgíc - Trong toán Bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức đà đợc chứng minh kiến thức giúp cho học sinh vận dụng lập luận chứng minh vừa có vai trò xây dựng mới, vừa có vai trò củng cố, hoàn thiện kiểm chứng, chứng minh vấn đề đà đợc nhắc đến - Bằng hệ thống câu hỏi có tính chất định hớng GV đà kích thích hứng thú, tìm tòi độc lập sáng tạo HS - Bằng tài liệu có liên quan quan sát đợc từ ví dụ đà đợc chứng minh GV đa thân HS tự tiến hành, giúp HS phân tích, so sánh, thiết lập mối quan hệ nhân quả, trả lời câu hỏi để tới lời giải Nh vậy, với phơng pháp này, HS vị trí ngời nghiên cứu, chủ động hành động giành tri thức nên lĩnh hội kiến thức đợc sâu sắc hơn, đầy đủ Dới bớc để giải toán Bất đẳng thức: + Nghiên cứu nội dung mục đích, yêu cầu đề + Tổ chức giúp học sinh phân tích điều kiện đa kiến thức có liên quan + Đa vấn đề xảy trình biến đổi + Thiết lập mối quan hệ nhân từ kết phân tích + Lập luận chứng minh + kết hợp với điều kiện rút kết luận Đối tợng phục vụ: 0987196930 - Khách thể vấn đề nghiên cứu Các phơng pháp giải dạng tập bất đẳng thức - Đối tợng phục vụ đề tài hoạt động giảng dạy giáo viên hoạt động nhËn thøc cña häc sinh Trêng THCS Mong muèn có đợc phơng pháp giảng dạy tốt cho mình, giáo viên khác học sinh tham khảo để có đợc kết cao giảng dạy giúp học sinh học tập Nội dung phơng pháp nghiên cứu - Các phơng pháp: Thuyết trình, chất vấn, phản chứng chứng minh - Phơng pháp tạo nhu cầu nhận thức có mong muốn tìm hiểu toán bất đẳng thức - Phơng pháp hớng dẫn học tự lực tham gia vào hoạt động học tập - Tạo điều kiện cho học sinh bộc lộ khả nhận thức, trình bày tự bảo vệ ý kiến thảo luận, tranh luận - Khuyến khích học sinh thắc mắc, nêu tình có vấn đề tham gia giải vấn đề quan sát nh vận dụng kiến thức vào chứng minh - Sau số dạng tập phơng pháp giải tập Bất đẳng thức: Phần I: Các kiến thức cần lu ý: 1- Định nghĩa 2- Tính chất 3-Một số đẳng thức bất đẳng thức thờng dùng bất đẳng thức đà đợc chứng minh Phần II: Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: 1-Phơng pháp dùng định nghĩa 2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phơng pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phơng pháp làm trội 7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số 9- Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phơng pháp quy nạp 11- Phơng pháp phản chứng Phần III : Các tập nâng cao: Phần IV : ứng dụng bất đẳng thức: 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 0987196930 2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên Phần I : Các kiến thức cần lu ý 1- Đinhnghĩa: 2- tÝnh chÊt: + A>B ⇔ B< A A ≥ B ⇔ A − B ≥  A ≤ B ⇔ A − B ≤ + A > B vµ B > C ⇔ A > C + A > B ⇒ A+ C > B + C + A > B vµ C > D ⇒ A+ C > B + D + A > B vµ C > ⇒ A.C > B.C + A > B vµ C < ⇒ A.C < B.C + < A < B vµ < C < D ⇒ < A.C < B.D n + A > B > ⇒ A n > B n ∀ ∈ N* + A > B ⇒ A n > B n víi n lỴ + A > B ⇒ A n > B n víi n ch½n + m > n > vµ A > ⇒ A m > A n + m > n > vµ < A < ⇒ A m < A n 1 > +A < B vµ A.B > ⇒ A B 3- mét sè h»ng bất đẳng thức: + A2 với ( dÊu = x¶y A = ) A n + A ≥ víi ∀ ( dÊu = x¶y A = ) A A + A ≥0 víi ∀ (dÊu = x¶y A = ) + - A 0) + A −B ≤ A − B ( dÊu = x¶y A.B < 0) Phần II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghÜa: KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > Lu ý dïng bất đẳng thức M với M 0987196930 VÝ dô 1: ∀ x, y, z chøng minh r»ng: a) x + y + z ≥ xy+ yz + zx b) x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 ≥ (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x + y + z - xy – yz - zx = 2 ( x + y + z - xy – yz – zx) = [( x − y ) + ( x −z ) + ( y − z ) ] ≥ ®óng víi mäi x;y;z∈ R V× (x-y)2 ≥ víi∀x ; y DÊu “=”x¶y x=y (x-z)2 ≥ víi∀x ; z DÊu “=” x¶y x=z (y-z)2 ≥ víi∀ z; y DÊu “=” x¶y z=y DÊu “=” x¶y x = y =z VËy x + y + z ≥ xy+ yz + zx b)Ta xÐt hiÖu x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ≥ ®óng víi mäi x;y;z∈ R DÊu “=” x¶y x+z=y VËy x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z∈ R c) Ta xÐt hiƯu x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) ≥ DÊu “=” x¶y x=y=z=1 VËy x + y + z +3 ≥ (x + y + z) VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a) a2 + b2  a + b  ≥    b) a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  3   ; c) H·y tổng quát toán giải a) Ta xét hiệu a +b a +b −    ( 2 ) a + b a + 2ab + b − = 4 = ( 2a + 2b − a − b − 2ab ) = ( a − b) ≥ VËy 0987196930 a2 + b2  a + b  ≥    DÊu “=” x¶y a=b b) Ta xÐt hiÖu a2 + b2 + c2  a + b + c  −  3   VËy 2 = [( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ] ≥ a +b +c a+b+c ≥  3   2 2 DÊu “=” x¶y a = b =c c) Tỉng qu¸t 2 a12 + a + + a n  a1 + a + + a n  ≥  n n Tóm lại bớc để chứng minh A B theo định nghĩa: Bớc 1: Ta xÐt hiƯu H = A - B Bíc 2: BiÕn ®ỉi H = (C+D) hc H = (C+D) +….+(E+F) Bíc 3: KÕt luËn A ≥ B VÝ dô 3: Chøng minh ∀ m, n, p, q ta có (chuyên Nga- Pháp 98-99) m + n + p + q +1≥ m(n+p+q+1) Gi¶i:  m2   m2   m2   m2  ⇔ − mn + n  +  − mp + p  +  − mq + q  +         − m + 1 ≥          2 2 m  m  m  m  ⇔  − n  +  − p  +  − q  +  − 1 ≥ 2  2  2  2  m  −n=0 m  − p=0 2 ⇔ DÊu “=” x¶y  m  −q=0 2 m  −1=  (luôn đúng) m n = m p =  ⇔  m q = m=2  m=2   n = p = q = Bài tập bổ xung phơng pháp 2: Dùng phép biến đổi tơng đơng: Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh Chú ý: Các đẳng thức sau: ( A + B ) = A + AB + B ( A + B + C ) = A + B + C + AB + AC + BC ( A + B ) = A + A B + AB + B VÝ dơ 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng 0987196930 b2 ≥ ab a + b + ≥ ab + a + b a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e ) a) a2 + b) c) Gi¶i: b ≥ ab ⇔ 4a + b ≥ 4ab ⇔ 4a − 4a + b ≥ a) Ta cã: a2 + ⇔ ( 2a − b ) ≥ (bất đẳng thức đúng) 2 b ab (dÊu “=” a + b + ≥ ab + a + b ⇔ 2( a + b + ) > 2( ab + a + b) VËy b) a2 + x¶y 2a=b) ⇔ a − 2ab + b + a − 2a + + b − 2b + ≥ ⇔ (a − b) + (a − 1) + (b − 1) Bất đẳng thức cuối Vậy a + b + ≥ ab + a + b DÊu “=” x¶y a = b = a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e ) c) ⇔ 4( a + b + c + d + e ) ≥ a ( b + c + d + e ) ⇔ ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ac + 4c ) ≥ ⇔ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a 2c ) Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chøng minh r»ng: ( a10 + b10 )( a + b ) ≥ ( a + b )( a + b ) Gi¶i: ( a10 + b10 )( a + b ) ≥ ( a + b )( a + b ) ⇔ a12 + a10 b + a 2b10 + b12 ≥ a12 + a 8b + a b + b12 Ta cã: ⇔ a 8b ( a − b ) + a b (b − a ) ≥ ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) ≥ ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) Bất đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho x.y =1 vµ x>y Chøng minh: x2 + y2 x−y ≥2 Gi¶i: x +y x−y 2 ≥2 vì: x y nên x- y x2+y2 ≥ 2 ( x-y) ⇒ x2+y2- 2 x+ 2 y ≥0 ⇔ x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 4: x 1)cm: P(x,y)= x y + y − xy − y +1 ≥ ∀ , y ∈R a +b + c ≤ a + b + c 2)cm: (gợi ý: bình phơng vế) 3) Cho ba số thực khác không x, y, z tháa m·n: 2 0987196930 2 2 x y.z =  1 1  + + < x+ y+ z x y z  Chøng minh r»ng: Cã ®óng mét ba sè x,y,z lín (đề thi Lam Sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz +(xy+yz+zx) +x+y+z-1 1 1 1 =(xyz-1) + (x+y+z) - xyz( x + y + z ) = x+y+z - ( x + y + z ) (vì x.y.z = 1 + + < x y z > x+y+z theo gt) → sè x-1 , y-1 , z-1 âm ba số x-1 , y-1, z-1 dơng Nếu trờng hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z >1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức có ®óng ba sè x ,y ,z lµ sè lớn Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x + y ≥ xy b) x + y ≥ xy dÊu “=” x = y = c) ( x + y ) ≥ xy d) a b + ≥2 b a 2) BÊt đẳng thức Côsi: a1 + a + a3 + + a n n ≥ a1 a a a n n (a + a ++ a ).(x + x )≥++ (ax+ ax ++ ax) Víi 3) Bất đẳng thức Bunhiacopski: 22 222 2 2 n n 11 2 n n 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: Nếu Nếu a ≤b ≤c  A ≤ B ≤ C  a ≤b ≤c  A ≥ B ≥ C aA + bB + cC a + b + c A + B + C ≥ 3 aA + bB + cC a + b + c A + B + C ≤ ⇒ 3  a =b =c “=” x¶y  A = B = C  ⇒ DÊu b/ c¸c vÝ dơ: Ví dụ 1: Cho a, b ,c số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: ( x + y ) ≥ xy C¸ch 1: Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ( a + b ) ≥ 4ab ; ( b + c ) ≥ 4bc ; ( c + a ) 0987196930 ≥ 4ac > [ ][ ][ ⇒ a 2b c > a − ( b − c ) b − ( c − a ) c − ( a − b ) 2 ⇒ a b c > ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b) 2 2 2 ] ⇒ abc > ( a + b − c ).( b + c − a ).( c + a − b ) VÝ dô2: (404 1001) 1) Cho a,b,c chiều dài ba cạnh cđa tam gi¸c Chøng minh r»ng ab + bc + ca < a + b + c < 2(ab + bc + ca) 2) Cho a,b,c lµ chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi b»ng Chøng minh r»ng a + b + c + 2abc < Phơng pháp 8: ®ỉi biÕn sè VÝ dơ1: Cho a,b,c > Chøng minh r»ng a b c + + ≥ (1) b+c c+a a+b Giải : y+zx Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= y+z−x z+x−y x+ y−z + + ≥ ta cã (1) ⇔ 2x 2y 2z ; b= y z x z x y + − + + −1 + + − ≥ x x y y z z y x z x z y ⇔ ( + ) +( + ) +( + ) ≥ x y x z y z y x đẳng thức cuối v× ( x + y ≥ 2; z+x−y ;c= x+y−z ⇔ BÊt z y z x + ≥ (§PCM) + ≥ 2; y z x z VÝ dơ2: Cho a,b,c > vµ a+b+c Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x + y + z ≥ 3 xyz 1 + + ≥ x y z  xyz  z 1 ⇒ ( x + y + z ). + +  ≥   x Mµ x+y+z < VËy y 1 + + ≥9 x y z (®pcm) VÝ dơ3: Cho x ≥ , y ≥ tháa m·n 0987196930 x − y =1 CMR x+y ≥ Gợi ý: Đặt x = u , Bài tập 2u-v =1 vµ S = x+y = u + v ⇒ v = 2u-1 thay vµo tÝnh S y =v 25a 1) Cho a > , b > , c > 2)Tỉng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR 16b c CMR: b + c + c + a + a + b > ma nb pc + + ≥ b+c c+a a+b ( ) m + n + p − ( m + n + p) Ph¬ng ph¸p 9: dïng tam thøc bËc hai Lu ý : Cho tam thøc bËc hai f ( x ) = ax + bx + c ∀x ∈ R NÕu ∆ < th× a f ( x ) > NÕu ∆ = th× a f ( x ) > NÕu ∆ > th× a f ( x ) > a f ( x ) < b a x < x1 hc x > x2 x1 < x < x2 ∀ ≠− x víi víi VÝ dơ1: Chøng minh r»ng f ( x, y ) = x + y − xy + x − y + > Gi¶i: 2 Ta cã (1) ⇔ x − x( y −1) + y − y + > ∆′ = ( y −1) − y + y − ( x2 > x1 ) (1) = y − y +1 − y + y − = −( y −1) −1 < f ( x, y ) > víi mäi VËy x, y VÝ dô2: Chøng minh r»ng f ( x, y ) = x y + 2( x + ) y + xy + x > xy Gi¶i: BÊt đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với ( ) x y + x + y + xy + x − xy > ⇔ ( y +1) x + y (1 − y ) x + y > 2 2 Ta cã ∆′ = y (1 − y ) − y ( y +1) = −16 y < V× a = ( y +1) > vËy f ( x, y ) > (đpcm) Phơng pháp 10: dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức với n > n0 ta thực bớc sau : Kiểm tra bất đẳng thức ®óng víi n = n0 0987196930 - Gi¶ sư BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) kết luận BĐT với n > n0 VÝ dô1: Chøng minh r»ng 1 1 + + + < − 2 n n ∀ ∈N ; n >1 n (1) Gi¶i : Víi n =2 ta cã 1 1+ < (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2 Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1 ThËt vËy n =k+1 th× 1 1 (1) ⇔ 12 + 2 + + k + (k + 1) < k + Theo giả thiết quy nạp 1 1 1 + + + + < 2− + < 2− 2 2 k (k + 1) k ( k + 1) k +1 1 1 < + < ⇔ + + 2 (k + 1) k + ( k + 1) k k +1+1 < ⇔ k ( k + 2) < (k + 1) ⇔ k2+2k Chøng minh r»ng n  a +b      ≤ a n + bn (1) Giải Ta thấy BĐT (1) với n=1 Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta cã ⇔ ⇔ ⇔ k +1 a k +1 + b k +1 k k +1 k +1 ⇔  a + b  a + b ≤ a +b   (2) 2   a k + b k a + b a k +1 + ab k + a k b + b k +1 a k +1 + b k +1 = ≤ VÕ tr¸i (2) ≤ 2 a k +1 + b k +1 a k +1 + ab k + a k b + b k +1 − ≥0 a k − b k ( a − b ) ≥ (3) (1) ⇔ ( 0987196930 )  a +b      ≤ Ta chøng minh (3) (+) Giả sử a b giả thiết cho a ≥ -b ⇔ a ≥ b ⇔ a ≥ b ≥b ⇒ ( a k − b k ).( a − b ) ≥ (+) Gi¶ sư a < b theo giả thiết - a , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Gi¶i : a a < Giả sử a từ abc > Mà abc > vµ a < ⇒ cb < Tõ ab+bc+ca > ⇒ a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > ⇒ b + c < a < vµ b +c < ⇒ a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > t¬ng tù ta cã b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iỊu kiƯn ac ≥ 2.(b+d) Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét c¸c bất đẳng thức sau sai: , c < 4d a < 4b Gi¶i : Gi¶ sư bất đẳng thức : a < 4b , c < 4d cộng vế ta đợc a + c < 4(b + d ) (1) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) ≤ 2ac (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ a + c < 2ac hay ( a − c ) < (v« lý) 0987196930 VËy bÊt đẳng thức a < 4b c < 4d có bất đẳng thức sai VÝ dơ 3: Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng NÕu x+y+z > 1 + + x y z th× cã mét ba số lớn Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) = xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 = x + y + z – ( x + y + z ) v× xyz = theo gi¶ thiÕt x+y +z > 1 + + x y z nªn (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã số dơng Thật ba số dơng x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có mét ba sè x , y,z lín h¬n Phần iii : 1/dùng định nghĩa tập nâng cao 1) Cho abc = vµ a > 36 Chøng minh r»ng Gi¶i Ta cã hiƯu: VËy : a2 + b2+c2- ab- bc – ac a2 a2 = + + b2+c2- ab- bc – ac 12 a a2 = ( + b2+c2- ab– ac+ 2bc) + −3bc 12 a a − 36abc =( -b- c)2 + 12a a a 36abc =( -b- c)2 + >0 (vì abc=1 a3 12a a2 + b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chøng minh 2) Chøng minh r»ng a) x + y + z + ≥ x.( xy − x + z + 1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã c) a + 5b − 4ab + 2a − 6b + > a + 2b − 2ab + 2a − 4b + ≥ Gi¶i : a) XÐt hiƯu H = x + y + z + − x y + x − xz − x = ( x − y ) + ( x − z ) + ( x − 1) H ≥0 ta cã ®iỊu phải chứng minh b) Vế trái viết 0987196930 a2 + b2+c2> ab+bc+ac > 36 nªn a >0 ) H = ( a − 2b + 1) + ( b − 1) + ⇒ H > ta có điều phải chứng minh c) vế tr¸i cã thĨ viÕt H = ( a − b +1) + ( b −1) ⇒ H ≥ ta có điều phải chứng minh Ii / Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y xy =1 Chøng minh r»ng (x + y2 ) ≥8 ( x − y)2 2 Gi¶i : Ta cã x + y = ( x − y ) + xy = ( x − y ) + (v× xy = 1) ⇒ ( x + y ) = ( x − y ) + 4.( x − y ) + Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( x − y ) + 4( x − y ) + ≥ 8.( x − y ) ⇔ ( x − y ) − 4( x − y ) + ≥ ⇔ [( x − y ) − ] BĐT cuối nên ta có điều phải chøng minh 2 2) Cho xy ≥ Chøng minh r»ng 1 + ≥ + x + y + xy Gi¶i : ⇔ ⇔ 1 Ta cã + x + + y ≥ + xy  1   1    + x − + y  +  + y − + xy  ≥        ⇔ x ( y − x) y( x − y) + ≥0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ⇔ ) xy − x xy − y + (1 + x ).(1 + xy ) (1 + y ).(1 + xy ) ≥ ( y − x ) ( xy −1) ≥ (1 + x ).(1 + y ).(1 + xy ) BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2 Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho sè (1,1,1) vµ (a,b,c) (1.a +1.b +1.c ) ≤ (1 +1 +1).( a + b + c ) Ta cã ⇔ ( a + b + c ) ≤ 3.( a + b + c ) ⇔ a + b2 + c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c số dơng 1 Chøng minh r»ng ( a + b + c ). a + b + c  ≥  0987196930  Gi¶i : (1) (1) ⇔ ⇔ a a b b c c + + +1 + + + +1 ≥ b c a c a a a b a c  b c 3+ +  + + +  +  ≥ b a c a c b 1+ x y áp dụng BĐT phụ y + x ≥ Víi x,y > Ta cã BĐT cuối 1 Vậy ( a + b + c ). a + b + c  ≥  (®pcm)  Iv / dïng phơng pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c , y > Ta cã x + x = y ⇔ x + x = y ⇔ x = y2 − x > Đặt x = k (k nguyên dơng x nguyên dơng ) Ta có k (k + 1) = y 2 Nhng k < k ( k + 1) < ( k + 1) ⇒ k < y < k +1 Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng Nên cặp số nguyên dơng thoả mÃn phơng trình x = y = Vậy phơng trình có nghiệm : 4- Kết quả: Qua trình nghiên cứu thực nhận thấy: a Thực trạng trình giảng toán bất đẳng thøc ë trêng THCS - Tõ thùc tÕ ®iỊu kiƯn dân trí kinh tế xà thuộc khu vực miền núi, điều dẫn tới HS gặp nhiều khó khăn việc nhận thức giải tập Bất đẳng thức Giáo viên gặp khó khăn giảng dạy Nguyên nhân dẫn đến kết kiểm tra đánh giá nhận thức học sinh cha đạt đợc đến mức mong muốn do: - Thiếu phòng học phụ đạo, tài liệu tham khảo Học sinh gặp khó khăn kinh tế nên đủ điều kiện để mua tµi liƯu phơc vơ cho viƯc häc bµi vµ làm tập theo yêu cầu - Do chơng trình có phân phối số cha phù hợp với thực tế, khả nhận thức học sinh hạn chế - Mặt khác tập bất đẳng thức phần toán học, khó trừu tợng - Các em phải tự làm làm tập để nghiên cứu chứng minh kiến thức, qua phơng pháp hoạt động, học sinh phải tích cực tìm tòi kiến thức có liên quan, giải tập để đến kết luận, giải vấn đề đặt cách độc lập sáng tạo, đợc cách giải khác số hạn chế số dạng tập theo yêu cầu tránh hạn chế việc giải tập Tuy nhiên tất em làm đợc dạng tập này, hiểu đợc chất phơng pháp chứng minh viết đợc báo cáo, giáo viên dạy thành công thực hành theo yêu cầu 0987196930 - ý thức tự giác nghiên cứu học làm tập cha cao Hầu hết em chia biết cáchi phân phối thời gian học cách hợp lí Cha biết phân dạng toán, sợ gặp phải toán khó - Đa số em cha nắm đợc trình tự bớc giải tập dạng b Kết nghiên cứu: Từ thực trạng nêu đà chi phối không nhỏ đến kết tậpcủa học sinh học sinh - GV HS phải tận dụng hết thời gian có lớp để tổ chức giảng dạy giúp học sinh nghiên cứu học tập, có nh phát huy hết vai trò tổ chức, hớng dẫn GV, đảm bảo cho HS tiếp thu hết kiến thức - Đối với ví dụ đa giáo viên để học sinh đợc củng cố lại kiến thức tìm phơng pháp giải tập dạng giáo viên phải có vai trò hớng dẫn, tổ chức cho học sinh hoạt động giúp học sinh tự tìm phơng pháp chứng minh để từ em cã thĨ rót kÕt ln vµ ghi nhí đợc kiến thức Học sinh trung tâm hoạt động, sau đà nhận đợc mục đích, yêu cầu tập hoạt động nhóm để tiến hành tìm tòi phơng pháp giải với hớng dẫn giáo viên - Đối với tập bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải: + Chuẩn bị tốt mặt kiến thức nh tính chất bất đẳng thức đà đợc chứng minh, đặc biệt em phải nắm đợc bớc nh tiến trình giải đánh giá tập bất đẳng thức, yếu tố quan trọng định thành công học + Thờng xuyên nghiên cứu tài liệu, đặc biệt tài liệu có liên quan hay tài liệu mang tính chất tham khảo + Dành nhiều thời gian cho việc tìm tòi giải tập + Tìm cách giải độc đáo, rút đợc nhận xét sau học + Rèn luyện kỹ t độc lập sáng tạo có ý thức học làm tập + Thờng xuyên tổ chức buổi học chuyên đề buổi học nhóm để nghiên cứu giải tập - Qua trình đánh giá kết thu đợc số học sinh đạt trung bình dạt khoảng 55% số học sinh thực tốt yêu cầu STT Lớp Sĩ số Đạt trung bình Không đạt Số lợng % Số lợng % 9D 32 22 68,8 15,6 9E 34 21 61,7 11,8 5- Giải pháp mới, sáng tạo: a Những yêu cầu s phạm: - Khi tiến hành hớng dẫn học sinh, GV phải đặt vấn đề rõ ràng, giải thích cụ thể mục đích, yêu cầu, ý nghĩa toán - Cần hớng dẫn học sinh biết cách thiết lập mối quan hệ kiến thức cũ, cách giải nh phơng pháp giải tập dạng tập thông qua ví dụ cụ thể HS cần ghi chép vào vấn đề thờng mắc phải trình hình thành cách giải phơng pháp giải tập dạng 0987196930 Những tài liệu ghi chép đợc trình vận dụng yêu cầu cần thiết đáp ứng đợc mục tiêu, yêu cầu đồng thời giúp em trả lời câu hỏi tập đề cách rễ ràng Các câu hỏi tập phải đợc giáo viên nêu từ trớc học sinh đa cách giải dạng tập cụ thể, ghi lên bảng vào phiếu học tập hình thức giúp em tự đa đợc hớng cách đắn, thông qua việc thảo luận trợ giúp giáo viên giúp em kiểm chứng đợc kiến thức Yêu cầu câu hỏi phải phù hợp với đối tợng học sinh, dạng tập cụ thể để tìm lời giải học sinh nắm vững, hiểu sâu chất dạng tập - Các ví dụ tập đa phải đơn giản, vừa sức với trình độ đối tợng học sinh tránh đa nhng ví dụ tập phức tạp, tránh yêu cầu trừu tợng Hơn thời gian phải phân phối hợp lí để đảm bảo thu đợc kết thật sát với thực tiễn - Sau tỉ chøc cho häc sinh th¶o ln theo hƯ thống câu hỏi kết đạt đợc từ ví dụ cụ thể Giáo viên thiết phải nhận xét, đánh giá kết luận kiến thức chuẩn để HS điều chỉnh nhận thức cần - Phối hợp cách hợp lí tập cụ thể víi lêi nãi cđa GV, t theo l« gÝc cđa phối hợp mà tính chất hoạt động nhận thức học sinh khác Nếu đòi hỏi học sinh kiến thức cần thiết câu hỏi giáo viên giữ vai trò quan trọng thông báo tái cách kịp thời có chủ động nhằm tạo tình làm cho học sinh cảm thấy hứng thú không bị nhàm chán lời nói GV thông tin xác ví dụ cụ thể để minh hoạ, chứng minh, xác nhận thông tin Để từ học sinh nắm đợc chất việc - Việc giáo viên đòi hỏi học sinh thờng xuyên phải nghiên cứu dạng tập phần có vai trò quan trọng kiến thức trơng trình toán THCS mà dạng tập mang tính rèn luyện học sinh có kĩ t biến đổi, lập luận chứng minh vận dụng vào tình cụ thể - Nh vậy, tập có nội dung đơn giản giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận tự giải Sau giáo viên tổ chức cho häc sinh nhËn xÐt ®Ĩ ®i ®Õn kiÕn thøc - Còn tập phức tạp đòi hỏi học sinh phải biết lập luận để đa kiến thức trung gian để hình thành phơng pháp giải giáo viên phải tổ chức cho HS quan sát theo lôgíc nghiên cứu đa kiến thức có liên quan, nh có hiệu rèn luyện khả vận dung linh hoạt t sáng tạo để hình thành kĩ giải tập Do học sinh phải vận dụng phải sử dụng biện pháp trí tuệ nên học sinh lĩnh hội tri thức cách chủ động, sâu sắc Đây hiệu việc đòi hỏi học sinh phải có t có kiến thức biết liên hệ thực tế Trong phơng pháp lời nói giáo viên có chức năng: + Hớng dẫn học sinh quan sát để nắm vững trình biến đổi chứng minh + Hớng dẫn học sinh chđ ®éng kiÕn thøc lÝ thut ®· häc ®Ĩ lập luận giải thích, trờng hợp cụ thể + Trên sở thu đợc kết đà đợc lËp ln vµ chøng minh mµ häc sinh cã thĨ rót kÕt ln chÝnh x¸c khoa häc 0987196930 ... Cho x.y =1 vµ x>y Chøng minh: x2 + y2 x−y ? ?2 Gi¶i: x +y xy 2 2 vì: x y nên x- y 〉0 ⇒ x2+y2 ≥ 2 ( x-y) ⇒ x2+y2- 2 x+ 2 y ≥0 ⇔ x2+y2 +2- 2 x+ 2 y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy ≥ x.y=1 nên 2. x.y =2. .. Giả sử a,b,c 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a2+ b2 2ab b2 + c2 ≥ 2bc c2 + a2 ≥ 2ca ⇒ 2( a2+ b2 + c2) ≥ 2( ab+ bc + ca) VËy a2+ b2 + c2 ≥ ab+ bc + ca DÊu b»ng x¶y a = b = c Phơng pháp 4:... a b − a 2 2 b > b3 b3 + c < + b 2c a3 + c3