đáp án thang điểm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Thpt Môn thi : Toán ( Toán chuyên) Bài ý Nội dung Điểm I 2,5 1 Từ giả thiết suy ra ab + bc + ca =1. Do đó 1+a 2 = ab+bc+ca+a 2 =b(a+c)+a(a+c) = (a+b)(a+c) 0,25 Tơng tự, ta có : 1+b 2 =(a+b)(b+c) ; 1+c 2 =(a+c)(b+c) 0,25 Suy ra S = (a+b)(b+c)(b+c)( ) 0,25 = a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) =2(ab+bc+ca)=2 0,25 2 Đặt n 2 -10n-312 =k 2 , k N (n-5) 2 - k 2 = 287 (n+k-5)(n- k-5) = 287=1.287=7.41 0,25 TH 1 : n+k - 5 = 287 và n - k -5 = 1 ,khi đó n = 149 0,25 TH 2 : n+k - 5 = -1 và n - k -5 = - 287 ,khi đó n = -139 ( loại) 0,25 TH 3 : n+k - 5 = 41 và n - k -5 = 7 ,khi đó n = 29 0,25 TH 4 : n+k - 5 = -7 và n - k -5 = - 41 ,khi đó n = -19 (loại) 0,25 Vậy n cần tìm là n = 149 hoặc n=29 0,25 II 2,5 1 Phơng trình (x 2 -1)(x+3)(x+5) = m (1) (1) (x 2 +4x+3)(x 2 +4x-5) = m (2) đặt y = x 2 +4x+4=(x+2) 2 0 . Khi đó, (2) trở thành : (y-1)(y-9) = m y 2 -10y+9-m = 0 (3) 0,5 (1) có 4 nghiệm phân biệt (3) có 2 nghệm thoả mãn y 1 > y 2 > 0 916 09 010 016 0 0 0' << > > >+ > > > m m m P S Gọi x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phơng trình : x 2 +4x+4 - y 1 =0 x 3 ,x 4 là hai nghiệm của phơng trình : x 2 +4x+4 - y 2 =0 0,5 ))(())(())(( cbca c cbba b caba a ++ + ++ + ++ 1 )(416 )(432 1 4 4 4 4 2121 21 21 = ++ + = + yyyy yy yy 1 94016 4032 = ++ + m ( theo Viét) 7 55 5572 = = m m m kết hợp với điều kiện -16 < m< 9 ta có m =-7 là giá trị cần tìm 0,5 2 Vì A(a;b) thuộc đồ thị hàm số y = x+n nên ta có b = a+n Do đó m(a 2 +b 2 )+a+b = n n m[a 2 +(a+n) 2 ] +a+a+n = n n 2ma 2 +2(mn+1)a+mn 2 = 0 (*) n TH 1 : m = 0 (*) trở thành 2a = 0 a = 0 n 0,5 TH 2 : m 0, = (mn+1) 2 -2m 2 n 2 Với n = m 1 thì = - 2< 0.Do đó phơng trình (*)(ẩn a) vô nghiệm Nh vậy m = 0 là giá trị cần tìm 0,5 III 1,5 TH 1 : Tất cả các số đều bằng nhau : a 1 =a 2 = .= a 100 =2 Ta có thể chọn 50 số a 1 ,a 2 , ., a 50 thì a 1 +a 2 + .+ a 50 =2.50 =100 0,25 TH 2 : Có ít nhất hai số khác nhau. Giả sử a 1 a 2 Đặt b 0 =a 1 ,b 1 = a 2 , b 2 = a 1 +a 2 ,b 3 =a 1 +a 2 +a 3 , , b 99 = a 1 +a 2 + +a 99 Ta có 0 < b 0 , b 1 , , b 99 < 200 Chia 100 số này cho 100 , có hai khả năng xảy ra: Có ít nhất một số d bằng 0 Giả sử :b m = 100q m với 0 m 99 mà 0<b m <200 suy ra q m =1 và b m =100. Khi đó ,ta chọn a 1 ,a 2 , ., a m thì a 1 +a 2 + +a m = b m =100 0,5 Không có số d nào bằng 0 Khi đó có tất cả 99 số d từ 1 đến 99 mà có tất cả 100 số ; do đó ắt phải có ít nhất hai số có cùng số d 0,25 Giả sử : b m = 100q m +r và b k = 100q k +r (m < k) Suy ra 0 <b k - b m = 100(q k - q m ) < 200 q k - q m = 1 q k =q m +1 Vậy b k =100(q m +1)+r = 100 q m +r +100 Do b m > 0 nên b k >100 b k khác b 0 và b 1 (do b 0 =a 1 ,b 1 =a 2 100) - Nếu k = 2 b 2 = a 1 +a 2 = b 0 +b 1 = b m +100 với m = 0 hoặc m=1 một trong hai số b 0 hoặc b 1 bằng 100 a 1 =100 hoặc a 2 =100 - Nếu k >2 b m + a m+1 + + a k = b m +100 a m+1 + + a k = 100 0,5 IV 2,0 1 Trong tam giác vuông AOM góc OAM = 30 0 nên AM=2OM. Lại có : OA 2 =AM 2 - OM 2 3OM 2 = a 2 OM = 3 3a Do đó AM= 3 32a MN= 3 32a 0,5 Qua O kẻ đờng thẳng song song với AM cắt tia NM tại H .Ta có diện tích tam giác OMN là S = 2 1 MN.OH Mặt khác OAM = HMO =30 0 (cùng phụ với AMO) OM=2OH do đó OH= 6 3a .Do đó S = 6 3 . 3 32 . 2 1 aa = 6 2 a 0,5 2 Tứ giác AOMI nội tiếp (vì I +O =180 0 ) Suy ra AOI = AMI =45 0 Do đó OI là tia phân giác của góc xOy.Kẻ AI OI cắt Oy ở N. Tam giác AON là tam giác cân nên ON=OA=a điểm N cố định. Ta có 2 1 ' ' == AN AI AN AI NN// II mà II AN nên NN AN tại N Vậy N chạy trên tia Nz AN tại N 0,5 Các điểm P,M,N cùng nhìn AN dới một góc vuông nên năm điểm A,M,N,N,P thuộc một đờng tròn nên ANP=AMP=45 0 . Vậy điểm P chạy trên tia Nt OI ở N. Gọi giao điểm của OI với NP là P. Khi M trùng với O thì N trùng N. Khi đó P trùng P.Vậy P chạy trên tia Pt thuộc đờng thẳng vuông góc với Oy ở N 0,5 V 1,5 Gọi S 1 ,S 2 ,S 3 ,S lần lợt là diện tích các tam giác BOC,COA,AOB , ABC. Đặt S 1 =x 2 , S 2 =y 2 , S 3 =z 2 suy ra S = x 2 +y 2 +z 2 Ta có 2 22 2 222 1 11 x zy OP AO x zyx S S OP AP + +=+ ++ == x zy OP AO x zy OP AO 22 2 22 + = + = 0,5 x y z t A M N I I P N P H O Tơng tự, ta có : y xz OQ BO 22 + = ; z yx OR CO 22 + = Do đó =++ OR OC OQ OB OP OA x zy 22 + + y xz 22 + + z yx 22 + 0,5 + + x zy 2 + + y xz 2 z yx 2 + 23 2 6 )( 2 1 =+++++ z y z x y z y x x z x y Tóm lại 23 ++ OR OC OQ OB OP OA 0,5 Ghi chú :*Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tơng ứng * Bài IV nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm Q P A R O B C . đáp án thang điểm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Thpt Môn thi : Toán ( Toán chuyên) Bài ý Nội dung Điểm I 2,5 1 Từ giả thi t suy ra ab +. vô nghiệm Nh vậy m = 0 là giá trị cần tìm 0,5 III 1,5 TH 1 : Tất cả các số đều bằng nhau : a 1 =a 2 = .= a 100 =2 Ta có thể chọn 50 số a 1 ,a 2 , .,