Phòng GD & ĐT Hà Trung Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trờng THCS Hà Yên Năm học: 2010 2011 Môn: Toán. Thời gian: 120 phút. đề đề xuất Bài 1 (3.0đ) Biến đổi đơn giản các biẻu thức. a. A = 81 34 2. 25 14 2. 16 1 3 b. B = 10099 1 9998 1 . 32 1 21 1 + + + ++ + + + Bài 2: (4.0đ) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức. a. C = baab baab + 1 : Với a = 2003 11 20 b = 2003 11 18 b. Tìm các căp số (x,y) nguyên dơng thỏa mãn x 2 - y 2 = 2003 Cõu 3 : ( 5im ) gii phng trỡnh a) xx x 1 36 = 3 + 2 2 xx b) 4 2 4 2 2 2 2 1 1 3 3 2 5 3 1 ( x ) ( x ) x x ( x ) ( x ) + + = Bi 4: (3.0 im) Cho na ng trũn (O, R) ng kớnh AB. EF l dõy cung di ng trờn na ng trũn sao cho E thuc cung AF v EF = R. AF ct BE ti H. AE ct BF ti C. CH ct AB ti I a. Tớnh gúc CIF. b. Chng minh AE.AC + BF. BC khụng i khi EF di ng trờn na ng trũn. c. Tỡm v trớ ca EF t giỏc ABFE cú din tớch ln nht. Tớnh din tớch ú. Bi 5 ( 3 im) Cho tam giỏc ABC nhn v O l mt im nm trong tam giỏc. Cỏc tia AO, BO, CO ln lt ct BC, AC, AB ti M, N, P. Chng minh : AM BN CP + + OM ON OP 9 Bài 6 (2điểm). Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 , , 2a b c và a+b+c=3. Chứng minh 3 3 3 9a b c+ + . đáp án và thang điểm Câu Đáp án Thang điểm 1 a. Kết quả 45 196 k b. 9 1.5 đ 1.5 đ 2 a. Rút gọn : a - b Tính đợc kết quả: 2 b. x 2 - y 2 = 2003 (x - y)(x + y)=2003 => x -y và x+ y là ớc cùng dấu của 2003 Mà Ư(2003) { } 2003;1 vì x, y dơng nên x+y> x-y Ta xét hai trờng hợp = = = > =+ = = = = > =+ = 1001 1002 1 2003 1001 1002 2003 1 y x yx yx y x yx yx 1.0đ 1.0đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ Vậy cặp số (x,y) nguyên dơng thảo mãn x 2 -y 2 = 2003 là (x,y) = (1002,1002) 0.25đ 3 a) ĐK 0 < x < 1 và x 2 1 Kh mu v trỏi ta c phng trỡnh: 3( xx + 1 ) = 3 + 2 2 xx Đặt xx + 1 = t đk : 0 < t < 2 Phng trỡnh vit thnh : t 2 - 3 t + 2 = 0 Kt lun: x = 0 ; x = 1 l nghim ca phng trỡnh ó cho b) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4 điều kiện: 1 3 x x ≠    ≠ ±   Đặt a =(x-1) 2 ; b = x 2 - 3 Phươngtrình 4 2 4 2 2 2 2 1 1 3 3 2 5 3 1 ( x ) ( x ) x x ( x ) ( x ) − + − + = − − − − trở thành: 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 a b a b b a a a b ( a b ) Ta có : b a b a b b a b a a b + + = + + + + + = + + ≥ = + + ≥ + + + Dấu = xãy ra khi 2 1 1 a b b  = =  =  khi đó x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 - BE, AF là hai đường cao của ∆ABC ⇒ CI là đường cao thứ ba hay CI⊥AB - ⇒Tứ giác IHFB nội tiếp ⇒ ∠HIF = ∠HBF hay ∠CIF = ∠EBF . - ∆EOF đều nên ∠EOF = 60 0 . - ⇒ EF = 60 0 ⇒ ∠CIF = ∠EBF = 30 0 . - Chứng minh ∆ACI đồng dạng với ∆ABE - được: AIABAEAC AE AI AB AC =⇒= - Tương tự ∆BCI đồng dạng với ∆BAE được: BIBABFBC BF BI BA BC =⇒= 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 1® 1® A B E F C H I 5 - Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB 2 = const. - Chứng minh ∆ABC đồng dạng với ∆FEC. - 4 1 2 22 =       =       = R R AB EF S S ABC FEC ABCABFE SS 4 3 =⇒ - Để ABFE S lớn nhất ⇒ ABC S lớn nhất ⇒ CI lớn nhất. C chạy trên cung chứa góc 60 0 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I ≡ O ⇒ ∆CAB cân ⇒ EF // AB. - Lúc đó 4 3.3 3. 2 3 2 2 2 R SR RR S ABFEABC =⇒== N A B C O K H M P Từ A và O kẻ AH ⊥ BC OK ⊥ BC (H, K ∈ BC) ⇒ AH // OK Nên OM OK AM AH = (1) 1 . 2 1 . 2 BOC ABC OK BC S OK S AH AH BC = = (2) (1) , (2) ⇒ BOC ABC S OM S AM = Tương tự : AOC ABC S ON S BN = AOB ABC S OP S CP = Nên 1 BOC AOC AOB ABC ABC ABC S S S OM ON OP AM BN CP S S S + + = + + = (3) Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được: (a+ b + c) ( 1 1 1 a b c + + ) ≥ 9 1® 0,5đ 0,5đ 1đ 6 Nên ( )( ) 9 OM ON OP AM BN CP AM BN CP OM ON OP + + + + ≥ (4) Từ (3) ,(4) suy ra : 9 AM BN CP OM ON OP + + ≥ (đpcm) V× vai trß cña a, b, c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö: a b c ≤ ≤ . Khi ®ã v× 0 , , 2a b c≤ ≤ vµ a+b+c=3 nªn ta cã 0 ≤ a ≤ 1 ⇒ 3 a a≤ 1 ≤ c ≤ 2 ⇒ (c-1)(c-2)(c+3) ≤ 0 ⇒ 3 7 6c c≤ − XÐt hai trêng hîp cña b +NÕu 0 ≤ b ≤ 1 ⇒ 3 b b≤ . Khi ®ã ta cã 3 3 3 7 6a b c a b c+ + ≤ + + − Mµ a+b+7c-6 = (a+b+c)+6c-6 ≤ 3+6.2-6=9 ⇒ 3 3 3 9a b c+ + ≤ + NÕu 1 ≤ b ≤ 2 ⇒ 3 7 6b b≤ − Khi ®ã ta cã ( ) 3 3 3 7 6 7 6 7 6 12 9 6 9a b c a b c a b c a a+ + ≤ + − + − = + + − − = − ≤ (v× -6a ≥ 0) KÕt luËn 3 3 3 9a b c+ + ≤ (®pcm) 1đ 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® . Trung Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trờng THCS Hà Yên Năm học: 2010 2011 Môn: Toán. Thời gian: 120 phút. đề đề xuất Bài 1 (3.0đ) Biến đổi đơn giản các biẻu. mãn 0 , , 2a b c và a+b+c=3. Chứng minh 3 3 3 9a b c+ + . đáp án và thang điểm Câu Đáp án Thang điểm 1 a. Kết quả 45 196 k b. 9 1.5 đ 1.5 đ 2 a. Rút gọn