BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC : I. Chứng minh rằng * Nn ∈∀ ta luôn có các đẳng thức sau : 1. 2 )1( .21 + =+++ nn n 2. 6 )12)(1( .21 222 ++ =+++ nnn n 3. 4 )1( .21 22 333 + =+++ nn n 4. 3 )14( )12( .31 2 222 − =−+++ nn n 5. 2 )12( .531 nn =−++++ 6. 2 )1()13.( .7.24.1 +=++++ nnnn 7. 1)1( 1 . 3.2 1 2.1 1 + = + +++ n n nn 8. )1()13( .8.35.22.1 2 +=−++++ nnnn 9. 1)12(2 .4321 +=++−+−+− nnn 10. nn nnn n 2).1( 1 1 2).1(( 2 . 2.3.2 4 2.2.1 3 2 + −= + + +++ 11. 3 )12).(1(2 )2( .42 222 ++ =+++ nnn n II. Chứng minh rằng * Nn ∈∀ ta luôn có : 1. nn 2 3 + chia hết cho 3 2. 113 − n chia hết cho 6 3. nn 11 3 + chia hết cho 6 4. 149 2 + n chia hết cho 5 5. 410 − n chia hết cho 3 6. 11516 −− n n chia hết cho 225 7. 1154 −+ n n chia hết cho 9 8. 281810 −+ n n chia hết cho 27 9. nnn 336 22 ++ + chia hết cho 11 10. 1222 32.7 −− + nn chia hết cho 5 11. 1323 32.5 −− + nn chia hết cho 19 12. nnnn 6116 234 +++ chia hết cho 24 13. 36323.4 22 −+ + n n chia hết cho 64 14. 16 2 − n chia hết cho 35 15. 453.2 2 −+ + n nn chia hết cho 25 16. 1412 225 +++ ++ nnn chia hết cho 23 17. 137 −+ n n chia hết cho 9 18. 67403 12 −+ + n n chia hết cho 64 19. nnnnnn 25763 23456 −+−+− chia hết cho 24 20. )132.( 2 +− nnn chia hết cho 6 NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM 21. 121 1211 −+ + nn chia hết cho 133 III. Cho số thực Zkkx ∈≠ ,2 π . Chứng minh rằng * Nn ∈∀ , ta luôn có : 1. 2 sin 2 )1( sin. 2 sin .sin .2sinsin x xnnx nxxx + =+++ 2. 2 sin 2 cos. 2 )1( sin .cos .2coscos1 x nxxn nxxx + =++++ IV. Cho số thực 1 −> x . Chứng minh rắng : nxx n +≥+ 1)1( , * Nn ∈∀ V. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bđt : 1. n n 2 1 . 2 1 1 <+++ 2. 1 13 1 . 2 1 1 1 > + ++ + + + nnn 3. 43 1 22 12 . 6 5 . 4 3 . 2 1 + < + + n n n VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 2 ≥ n , ta luôn có : n n n 2 11 1 . 9 1 1. 4 1 1 2 + =       −       −       − VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt : 24 13 2 1 . 2 1 1 1 >++ + + + nnn IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 2 ≥ n , ta luôn có đẳng thức : ( ) 1221 ).( −−−− ++++−=− nnnn bbabaababa X. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 3 ≥ n , ta có : 122 +> n n XI. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 2 ≥ n , ta có : 1. n n >++++ 1 . 3 1 2 1 1 2. n N < − ++++ 12 1 . 3 1 2 1 1 XII. Chứng minh rằng với mọi số nguyên 0 ≥ thì : 27263 33 −− + n n chia hết cho 169 XIII. 1. Tính tổng : [ ] ).()1( 1 . )2).(1( 1 )1.( 1 nanaaaaa S n +−+ ++ ++ + + = 2. Tính tổng : n n n aaaa S 2422 1 2 . 1 4 1 2 1 2 + ++ + + + + − = BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ : I. Tìm 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau : NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM 1. Dãy số ( ) n u với n n u n 32 2 − = 2. Dãy số ( ) n u với 4 sin π n u n = 3. Dãy số ( ) n u với nn n u 4.)1( −= II. Tìm 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau : 1. Dãy số )( n u với nn n u 23 −= 2. Dãy số )( n u với 3 3 n u n n = III. Cho dãy số )( n u với 3 2 cos 4 sin 2 ππ nn u n += . Hãy điền các số thích hợp vào các ô trống sau đây : n 1 2 3 4 5 u n IV. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số 12 12 2 + − = x x y có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi n A là giao điểm của (C) với đường thẳng d : nx = . Xét dãy số )( n u với n u là tung độ của điểm n A . Hãy tìm công thức xác định công thức tổng quát của dãy số đó . V. Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau : 1. Dãy số ( ) n u với 152 3 +−= nnu n 2. Dãy số )( n u với nu n n −= 3 3. Dãy số )( n u với 1 2 + = n n u n 4. Dãy số )( n u với 1 2 3 + = n n n u 5. Dãy số )( n u với 1 123 2 + +− = n nn u n 6. Dãy số )( n u với 1 2 −−= nnu n 7. Dãy số )( n u với n n u n 11 −+ = 8. Dãy số )( n u với 12 1 2 2 + ++ = n nn u n VI. Xác định số thực a để dãy số )( n u với 32 1 1 2 + + = n an u n là : 1. Một dãy số tăng . 2. Một dãy số giảm. VII. Chứng minh rằng : dãy số )( n u với 32 1 2 2 − + = n n u n là một dãy số bị chặn. VIII. CMR : dãy số )( n u với 75 57 + + = n n u n là một dãy số tăng và bị chặn. NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TỐN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM IX. Cho dãy số )( n u với n u 6 cos 3 sin ππ nn += 1. Hãy tính : 1 u , 2 u , 3 u , 4 u , 5 u 2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát n u và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . X. Cho dãy số )( n u xác định bởi :      ++−= = + 1 2 5 2 3 1 2 1 1 nnn uuu u 1 ≥∀ n 1. Hãy tính : 2 u , 3 u , 4 u , 5 u 2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát n u và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . XI. Cho dãy số )( n u xác định bởi :    += = + 7 1 1 1 nn uu u 1 ≥∀ n 1. Hãy tính : 2 u , 4 u , 6 u 2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát n u và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . XII. Cho dãy số )( n u xác định bởi :    −+= = + 123 2 1 1 nuu u nn 1 ≥∀ n 1. Hãy tính : 2 u , 3 u , 4 u , 5 u 2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát n u và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . XIII. Cho dãy số )( n u với 3 ).12sin( π −= nu n 1. Chứng minh rằng : 3 + = nn uu 1 ≥∀ n 2. Hãy tính 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG : NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM I. Cho cấp số cộng (u n ) có : u 1 =1 và u 2 = 6. 1. Hãy tìm công sai d của cấp số cộng đã cho. 2. Tính u 3 , u 4 , u 5 và u 6. II. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Hãy xác định công sai của mỗi cấp số đó. 1. Dãy số (a n ) xác định bởi a 1 = 1 và a n+1 = 3 + a n với mọi 1 ≥ n 2. Dãy số (b n ) xác định bởi b 1 = 3 và b n+1 = b n – n với mọi 1 ≥ n 3. Dãy số (c n ) mà c n+1 = c n + 2 với mọi 1 ≥ n III. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (C) của hàm số y = 3x – 2 Với mỗi số nguyên dương n, gọi A n là giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng x = n Xét dãy số (u n ) với u n là tung độ giao điểm A n . Chứng minh dãy số u n là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. IV. Xét dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = a và u n+1 = 5 – u n với mọi 1 ≥ n , trong đó a là một số thực. Hãy xác định tất cả các gía trị của a để dãy số (u n ) là một cấp số cộng. V. Cho một cấp số cộng có 5 số hạng. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 7. Hãy tìm các số hạng còn lại. VI. Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Hãy tìm cấp số cộng đó. VII. Cho cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu u 1 = 2 và công sai d = -3 Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A 1 , A 2 , sao cho với mỗi số nguyên dương n, điểm A n có toạ độ (n, u n ). Chứng minh rằng tất cả các điểm A n , ( n = 1,2,3,,,,) cùng nằm trên một đường thẳng . Hãy cho biết phương trình của đường thẳng đó. VIII. Cho một cấp số cộng có 7 số hạng với công sai duơng và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6. IX. Cấp số cộng (u n ) có u 17 – u 20 = 9 và (u 17 ) 2 + (u 20 ) 2 = 153. Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. X. Cho cấp số cộng (u n ) có công sai d > 0, u 31 + u 34 = 11 và (u 31 ) 2 + (u 34 ) 2 = 101. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM XI. Cho cấp số cộng (u n ) và cho các số nguyên dương m, k với m < k. Chứng minh rằng: 2 mkmk k uu u +− + = Áp dụng: Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10. XII. Hãy tính các tổng sau đây : 1. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999. 2. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 1 , số hạng thứ hai bằng 3 1 − và số hạng cuối bằng : -2007. XIII. Cho cấp số cộng (u n ) có u 5 + u 19 = 90. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu của (u n ). XIV. Cho cấp số cộng (u n ) có u 2 + u 5 = 42 và u 4 + u 9 = 66. Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. XV. Cho cấp số cộng tăng (u n ) có 302094 3 15 3 1 =+ uu và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. Hãy tìm u 1 và công sai d của cấp số cộng đó. XVI. Tìm số hạng đầu tiên a 1 và công sai d trong mổi trường hợp sau : 1. a 3 = -15 & a 14 = 18 2. a 2 + a 5 – a 3 = 10 & a 4 + a 6 = 26 3. a 2 + a 4 + a 6 = 36 & a 2 . a 3 = 54 4. a 5 – a 3 = – 4 & a 2 . a 4 = – 3 5. a 1 + a 7 = 4 & a 3 2 + a 7 2 = 122 6. S 4 = 15 & S 7 = 12 7. a 3 + a 5 = 4 & S 12 = 129 8. a 4 . a 5 = 130 & S 5 = 35 9.    =++++ =++++ 13 8 25191371 1310741 aaaaa aaaaa XVII. 1. Tính S 10 . Biết : u 1 + u 6 = 17 & u 2 + u 5 – u 3 = 10 2. Tính S 20 . Biết : u 7 = 8 & u 13 = 23 3. Tính S 20 . Biết : u 3 = –15 & u 14 = 18 4. Tính S 30 . Biết : u 5 = 19 & u 8 = 31 NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM 5. Tính S 100 . Biết : u 9 – u 4 = 10 & u 3 . u 6 = 55 6. Tính tổng các số hạng sau : a. S = 100 2 – 99 2 + 98 2 – 97 2 + .+ 2 2 – 1 2 b. S = 105 + 110 + 115 + . + 955 XVIII. Số đo các góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng. Góc lớn nhất có số đo bằng 3 5 số đo góc nhỏ nhất . Tìm số đo của mỗi góc . XIX . Giả sử a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng : 1. a 2 + 8bc = (2b+c) 2 2. a 2 + 2bc = c 2 +2ab 3. )()()()( 9 2 2223 baccabcbacba +++++=++ XX. Gọi a, b, c và A, B, C là ba cạnh và ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng : Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng thì : 3 1 22 = C tg A tg XXI. 1. Tìm x để ba số : 10 – 3x ; 2x 2 +3 ; 7 – 4x lập thành cấp số cộng. 2. Giải phương trình : (x+1) + (x+4) + (x+7) + . + (x+28) = 155 XXII. Thêm 20 số vào giữa số 4 và 67 để được một cấp số cộng. hãy tìm các số đã thêm. XXIII. Định m để mỗi phương trình sau có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng : 1. x 4 – 2mx 2 + m + 4 = 0 2. x 4 – 2mx 2 + 2m – 1 = 0 3. x 4 – 2(m+2)x 2 + 2m + 3 = 0 4. x 4 – 2(m+1)x 2 + 2m + 1 = 0 NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN : I. Cho cấp số nhân (u n ) có u 1 = 3 & u 2 = 2 1. Hãy tìm công bội q của cấp số nhân. 2. Hãy tính u 3 ; u 4 ; u 5 và u 6 . II. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của mổi cấp số nhân đó . 1. Dãy số (a n ) xác định bởi a 1 =1 và a n+1 = 7 n a 1 ≥∀ n 2. Dãy số (b n ) xác định bởi b 1 =3 và b n+1 = n b n 1 ≥∀ n 3. Dãy số (c n ) xác định bởi c 1 =2 và c n+1 = n C 6 1 ≥∀ n 4. Dãy số (d n ) mà d n+1 = 3d n 1 ≥∀ n III. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 2 và u n+1 = 4u n + 9 1 ≥∀ n Chứng minh rằng dãy số (v n ) xác định bởi : v n = u n + 3 1 ≥∀ n là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. IV. Xét dãy số (u n )xác định bởi u 1 = a và u n+1 = n u 12 1 ≥∀ n trong đó a là một số thực khác 0. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dảy số (u n ) là một cấp số nhân . V. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 6. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó . VI. Một cấp số nhân có 7 số hạng với số hạng đầu và công bội là các số âm. Biết rằng tích các số hạng thứ ba và thứ năm bằng 5184, tích của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 746 496. Hãy tìm cấp số nhân đó. VII. Cho một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó. VIII. Xác định cấp số nhân gồm 6 số hạng với ba số hạng đầu bằng 168 và ba số hạng cuối bằng 21. IX. Tìm số hạng đầu tiên u 1 và công bội q , biết : NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM 1. u 5 = 96 & u 6 = 192 2. u 4 – u 2 = 72 & u 5 – u 3 = 144 3. u 7 – u 4 = – 216 & u 5 – u 4 = –72 4. u 20 = 8u 17 & u 3 + u 5 = 272 5. u 1 – u 3 + u 5 = – 65 & u 1 + u 7 = – 325 6. u 2 + u 4 = 30 & u 4 + u 6 = 270 X. Cho cấp số nhân (u n ) có : 6u 2 + u 5 = 1 & 3u 3 + 2u 4 = –1. Hãy xác định số hạng tổng quát và công bội của cấp số nhân đó . XI. Hãy tính các tổng sau : 1. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 , số hạng thứ hai bằng –2 và số hạng cuối bằng 64 2 . 2. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu tiên bằng 3 4 và số hạng cuối bằng 256 81 XII. Cho cấp số nhân (u n ) có 8u 2 – 5 5 .u 5 = 0 & u 1 3 + u 3 3 = 189. Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó . XIII. Cho cấp số nhân (u n ) với công bội q ∈ (0 ;1). Hãy tính 25 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó, biết : u 1 + u 3 = 3 & u 1 2 + u 3 2 = 5 XIV. Cho cấp số nhân (u n ) có : 33 .u 2 + u 5 = 0 & u 3 2 + u 6 2 = 63 . Hãy tính tổng : S = 15321 . uuuu ++++ . XV. Xác định bốn số a, b, c, d. Nếu chúng lập thành một cấp số nhân theo thứ tự trên và :    =+++ −=+++ 3280 40 2222 dcba dcba XVI. Cho dãy số (u n ) xác định bởi :    −= = + 103 2 2 1 1 nn uu u 1 ≥∀ n Chứng minh rằng dãy số (u n ) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân. NĂM HỌC 2009 - 2010 BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM NĂM HỌC 2009 - 2010 . 24 13. 36323.4 22 −+ + n n chia hết cho 64 14. 16 2 − n chia hết cho 35 15. 453 .2 2 −+ + n nn chia hết cho 25 16. 1412 225 +++ ++ nnn chia hết cho 23 17 n n chia hết cho 9 18. 67403 12 −+ + n n chia hết cho 64 19. nnnnnn 25763 2 3456 −+−+− chia hết cho 24 20. )132.( 2 +− nnn chia hết cho 6 NĂM HỌC 2009 -