PHÒNG GD&ĐT PHÚ THIỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM 2008 MÔN THI: TOÁN LỚP 7 Thời Gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề này gồm 06 bài). Bài 1: (2đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 3,2 2,5x − + Bài 2: (3 điểm) : Chứng minh rằng số 2 11 .11 22 .22 ö ö n ch soá n ch soá A = - % % 1442 443 14442 4443 là một số chính phương. Bài 3: (3 điểm): Cho phân số 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 m n = + + + + + Chứng minh rằng tử số m chia hết cho 7. Bài 4: (4 điểm) : Với a, b, c là hằng số ( 0)a ≠ sao cho a + b +c = 0. Chứng minh rằng đa thức 2 ( ) axp x bx c= + + có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại. Bài 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC . Gọi ,D E theo thứ tự là trung điểm của ,AC AB trên tia BD lấy điểm M sao cho 2BM BD= . Trên tia CE lấy điểm N sao cho E là trung điểm của CN . Chứng minh rằng 2MN BC= . Bài 6: (4đ): Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến ứng với cạnh BC. Chứng minh: + 〈 2 AB AC AM ------------------------------------Hết----------------------------------------- Họ tên thí sinh:……………………………… ; phòng thi:…………… ; số báo danh:……… Đáp Án Biểu Điểm ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Nội Dung Điểm 1 Vì 3,2 0x− ≥ nên A ≥ 2,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2,5; khi x = 3,2. 0.5 0.5 0.5 0.5 2 A 11 .1100 .00 n soá n soá = 1442 4431442 443 11 .11 n soá + 1442 443 2.11 .11 n soá - 1442 443 A 11 .11(10 1) n n soá = - 1442 443 A 11 .11 n soá = 1442 443 99 .99 n soá ´ 1442 443 A 2 33 .33 n soá = 1442 443 Vậy A là một số chính phương 0.75 0.5 0.75 0.5 0.5 3 1 1 6 m æ ö ÷ ç = + ÷ ç ÷ ç è ø 1 1 2 5 æ ö ÷ ç + + ÷ ç ÷ ç è ø 1 1 3 4 æ ö ÷ ç + + ÷ ç ÷ ç è ø m 7 6 = 7 10 + 7 12 + m 7.21 60 = Do ®ã tö cña ph©n sè chia hÕt cho 7. Vậy m chia hết cho 7 1.0 0.75 0.75 0.5 4 *Chứng minh p(x) có một nghiệm bằng 1. Ta có: ( ) 2 1 .1 .1p a b c= + + Mà: a + b +c = 0 (gt) (1) 0p⇒ = Vậy x = 1 là nghiệm của p(x). *Tìm nghiệm còn lại của p(x) Theo đề bài ta có: a + b +c = 0 (1) Và 2 ( ) axp x bx c= + + (2) 2 (1) (2) ax ( ) b a c a c x c ⇔ = − − ⇔ + − − + ( ) ( ) 2 ax - ax - cx + c = 0 ax x-1 1 0 ( 1)(ax - c) = 0 c x x ⇔ ⇔ − − = ⇔ − 1 1 0 ax - c = 0 x x c x a =  − =   ⇔ ⇔   =    05 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 C A B M 1 2 A Túm li: a + b +c = 0 thỡ a thc 2 ( ) axp x bx c= + + ; ( 0)a cú nghim l: x = 1 hoc c x a = 0.5 5 V hỡnh ỳng c Trờn tia AM ly im A sao cho: AM = AM. Hai tam giỏc AMB v AMC ta cú: BM = CM (gt). AM = AM (cỏch v) 1 2 M M = (i nh) Vy: ' 'A BM AMC A B AC = = Trong tam giỏc ABA thỡ: AA < AB + AB suy ra AA < AB + AC M AA = 2AM suy ra + 2 AB AC AM 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 6 v hỡnh ỳng Xét DAMV và DCBV Có BD = MD vì MB = 2BD ả ả 1 2 D D= (đối đỉnh) DA DC= vì D là trung điểm của AC Do đó , tam DAM DCB=V V .(c.g.c) Suy ra AM BC= (1) à ả 1 2 B M= suy ra AM // BC (hai góc so le trong) (2) Xét EANV và EBCV NE CE= vì E là trung điểm của CN ả à 2 1 E E= (đối đỉnh) EA EB= vì E là trung điểm của AB Do đó , EAN EBC=V V (c.g.c) điểm) Suy ra AN BC= (3) à ả 1 2 C N= suy ra AN // BC (4) điểm) Từ (2) và (4) suy ra ba điểm , ,M A N thẳng hàng theo thứ tự đó Suy ra MN MA AN= + Từ(1) và (3) ta có : 2MN MA AN BC BC BC= + = + = Vậy 2MN BC= (Đpcm) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1 1 2 1 2 1 2 2 D E B A C M N . PHÒNG GD&ĐT PHÚ THI N ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM 2008 MÔN THI: TOÁN LỚP 7 Thời Gian: 120 phút (không kể thời gian. ------------------------------------Hết----------------------------------------- Họ tên thí sinh: ……………………………… ; phòng thi: …………… ; số báo danh:……… Đáp Án Biểu Điểm ĐỀ CHÍNH THỨC Bài