Chµo mõng Chµo mõng Các thày cô giáo đến dự giờ thăm lớp Các thày cô giáo đến dự giờ thăm lớp DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 11 11 §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Chương III Gv:vò thÞ bÝch thu Xột 2 mnh cha bin P(n):3 n < n + 100 và Q(n): 2 n > n với n N* a. Vi n = 1, 2, 3, 4, 5 thỡ P(n), Q(n) ỳng hay sai? b. Vi mi n N* thỡ P(n), Q(n) ỳng hay sai? Tr li: a. P(n) Q(n) n ? n+100 1 2 3 4 5 3 n n ? n 1 2 3 4 5 2 n b. Vi mi n N* P(n) sai; Q(n) cha th khng nh chc chn. 3 9 27 81 243 101 102 103 104 105 < > 2 8 16 32 5 4 3 2 1 4 > > > > > < < < Việc kiểm tra cho Q(n) đúng với mọi số tự nhiên n N* bằng cách thử với 1 số giá trị của ncho dù làm được với số lượng lớn cũng không thể được coi là CM hơn nữa tập số tự nhiên là vô hạn nên việc thử là không thêr thực hiện được. Chng III: DY S - CP S CNG V CP S NHN Đ1: PHNG PHP QUI NP TON HC 1. Phng phỏp qui np toỏn hc Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n n N* N* là đúng với mọi n ta làm như sau: là đúng với mọi n ta làm như sau: 1n k= B1: Kim tra mnh ỳng vi n=1 B2: .Gi s mnh ỳng vi (Gi thit qui np-GTQN) .Ta chng minh mnh cng ỳng vi n=k+1 . KL mnh ỳng vi mi mi n n N*. N*. 2. Vớ d ỏp dng: Vớ d 1 Vớ d 1 : Chng minh rng vi mi n : Chng minh rng vi mi n N*, ta cú: N*, ta cú: ( 1) 1 2 3 . (1) 2 n n n + + + + + = Lưu ý: Nếu ở Bước 1 sai thi ta kết luận mệnh dề cần c/m là sai. Ví dụ 1 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi n : Chứng minh rằng với mọi n ∈ ∈ N*, ta có: N*, ta có: ( 1) 1 2 3 . (1) 2 n n n + + + + + = Lời giải: +) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng. 1(1 1) VT(1) 1 VP(1) 2 + = = = +) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN) ( 1) 1 2 3 . 2 k k k + + + + + = Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: ( 1)[( 1) 1] 1 2 3 . ( 1) (2) 2 k k k k + + + + + + + + + = Thật vậy: (2) (1 2 3 . ) ( 1)VT k k= + + + + + + ( 1) ( 1) 2 k k k + = + + [ ] ( 1) ( 1) 1 2 k k+ + + = (2)VP= Vậy với mọi n ∈N*, ta có: ( 1) 1 2 3 . (1) 2 n n n + + + + + = Xét mệnh đề chứa biến Q(n): “ 3 n > 3n + 1” víi n ∈ N* a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi n ∈ N* thì Q(n) đúng hay sai? Trả lời: a. Q(n) n ? 3n+1 1 2 3 4 5 3 n b. Với mọi n ∈ N*, Q(n) sai. 3 9 27 81 243 4 7 10 13 16 < > > > > c. Dù ®o¸n 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +cã c. Dự đoán kết quả tổng quát của Q(n) . §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học Chó ý: §Ó chøng minh mÖnh ®Ò lµ ®óng víi sè tù nhiªn n ≥ p ( p lµ mét sè tù nhiªn) thì : B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ p (Giả thiết qui nạp - GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n= k+1 2. Ví dụ áp dụng: HOẠT ĐỘNG NHÓM HOẠT ĐỘNG NHÓM : 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +CMR cã : * 13 1 6 n n n N u∀ ∈ = − MCMR cã CMR:∀n ∈ N*cã 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1) Giải: * Với n =1, ta có VT=VP = 2. Vâïy (1) đúng với n=1. * Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là 2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k = (2) (GT quy nạp) * Ta phải cmr (1) cũng đúng với n = k +1, tức là 2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k + 2(k +1) = (3) Thật vậy, từ (2) ta có VT (3) = 2+ 4+ 6 +. . .+ 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k +1) = (k+1)(k+2)=VP (3) • Vậy hệ thức (1) đúng với mọi số n ∈ N*. k(k+1) (k+1)(k+2) CMR:∀n ∈ N*cã 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1) : * 13 1 6 (2) n n n N u∀ ∈ = − MCMR cã 1 1 13 1 12 6u = − = M 1 1 13 1 6 k k u + + = − M  Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)  Giả sử m nh đệ ề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là : Thật vậy: 13 1 6 k k u = − M 1 1 13 1 13.13 1 k k k u + + = − = − 13(13 1) 12 k = − + 13 12 6 k u= + M Vậy với mọi n ∈N*, ta có: 13 1 6 n n u = − M 3 3 1 k k> + ( ) : 2, : 3 3 1 3 n n n N n≥ ∀ ∈ > +CMR cã  Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng  Giả sử bất đ ng th cẳ ứ (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là : Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có: 1 3 3( 1) 1 k k + > + + 1 3 3 1 3 3(3 1) k k k k + > + ⇔ > + 1 3 9 3 k k + ⇔ > + 1 3 3 4 6 1 k k k + ⇔ > + + − 1 6 1 0 : 3 3 4 k k k + − > > +V × nª n Vậy: 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +cã [...]... pháp qui nạp toán học •Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p • Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp • Các bài tập 1,2,3,4 tự luyện tập • Bài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh th có đường chéo? • Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp QUÝ TH Y CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE TH NH ĐẠT . th với 1 số giá trị của ncho dù làm được với số lượng lớn cũng không th được coi là CM hơn nữa tập số tự nhiên là vô hạn nên việc th là không th r th c. đẳng th c (3) đúng  Giả sử bất đ ng th cẳ ứ (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là : Th t vậy: theo giả thiết