phòng gd&đt lục nam đề thi hsg giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 năm học: 2010 2011 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 23-10-2010 Quy định: 1) Thí sinh đợc dùng máy tính: Casio fx-500MS; Casio fx-570MS; Casio fx-500ES; Casio fx-570ES. 2) Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có yêu cầu cụ thể đợc qui định là chính xác đến 10 chữ số. 3) Từ bài 1 đến bài 3 phần a, chỉ ghi kết quả cuối cùng. 4) Từ bài 3 phần b trở đi, trình bày lời giải. Bi 1 (5 im ) : a) Tớnh giỏ tr ca biu thc ly kt qu vi 2 ch s phn thp phõn : N= 521973+ 491965+ 1371954+ 6041975+ 1122007 b) Tớnh kt qu ỳng (khụng sai s) ca tớch sau : P = 11232006 x 11232007 c) Tính: Q = 2 0 2 0 4 3 0 3 0 sin 35 tg 50 -cos 40 3 sin 35 :0,15cotg 55 4 o Bài 2 (5 điểm): 1) Cho ba số: A = 1193984; B = 157993 và C = 38743. a) Tìm ớc số chung lớn nhất của ba số A, B, C. b) Tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số A, B, C . 2) Tỡm thng v s d ca phộp chia: 56789987654321: 3579 Bài 3 (5 điểm): a)Cho 20082009 1 = a + 1 241 b + 1 c+ 1 d + 1 e+ 1 f + g Tìm a, b, c, d, e, f, g b) Tớnh 2 2 2 0,19981998 . 0,019981998 . 0,0019981998 . A = + + Bài 4 (5 điểm): Lói sut ca tin gi tit kim ca mt s ngõn hng thi gian va qua liờn tc thay i. Bn Chõu gi s tin ban u l 5 triu ng vi lói sut 0,7% thỏng cha y mt nm, thỡ lói sut tng lờn 1,15% thỏng trong na nm tip theo v bn Chõu tip tc gi; sau na nm ú lói sut gim xung cũn 0,9% thỏng, bn Chõu tip tc gi thờm mt s thỏng trũn na, khi rỳt tin bn Chõu c c vn ln lói l 5 747 478,359 ng (cha 1 đề chính thức làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. Bµi 5 (5 ®iÓm): a) Cho đa thức P(x)= 5x 4 +4x 3 -3x 2 +2x+1). Tính P(1,234) b) Cho đa thức P(x) = 5 4 3 2 .x a x bx cx dx e+ + + + + . Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P( 4) = 33, P(5) = 51. Tính giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10). B µi 6 ( 5 ®iÓm) : Tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = a = 2,75 cm, góc C = α = 37 o 25’. Từ A vẽ các đường cao AH, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. a) Tính độ dài của AH, AD, AM. b) Tính diện tích tam giác ADM. Bµi 7 ( 5 ®iÓm): a) Tìm các ch÷ số a, b, c, d để có: a5 × bcd = 7850 . b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2 là một số có 12 chữ số và có dạng 2 2525******89n = . Các dấu * ở vị trí khác nhau chữ số có thể khác nhau Bµi 8 ( 5 ®iÓm): Cho ΔABC vuông tại A đường cao AH, tia phân giác góc B cắt AC tại D. Biết DA = 2cm; DC = 3cm. a) Tính số đo góc C và góc B của ΔABC . b) Tính độ dài các đoạn thẳng AH; HB; HC. Bµi 9 ( 5 ®iÓm): Giải phương trình: x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 1= Bµi 10( 5 ®iÓm):Cho dãy hai số n u và n v có số hạng tổng quát là: ( ) ( ) 5 2 3 5 2 3 4 3 n n n u + − − = và ( ) ( ) 7 2 5 7 2 5 4 5 n n n v + − − = ( n∈ N và 1n ≥ ) Xét dãy số 2 3 n n n z u v= + ( n∈ N và 1n ≥ ). a) Tính các giá trị chính xác của 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , ; , , ,u u u u v v v v . b) Lập các công thức truy hồi tính 2n u + theo 1n u + và n u ; tính 2n v + theo 1n v + và n v . c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính 2 2 , n n u v + + và 2n z + theo 1 1 , , , n n n n u u v v + + ( 1, 2, 3, .n = ). Ghi lại giá trị chính xác của: 3 5 8 9 10 , , , ,z z z z z Hä vµ tªn: …………………………………….SBD:… 2 Bài 1 (5 điểm ) : a) N = 722,96 b) P = 126157970016042 c) Q = 2 0 2 0 4 3 0 3 0 sin 35 tg 50 -cos 40 3 sin 35 :0,15cotg 55 4 ≈ 0,379408548 ≈ 0,379409 Bµi 2 (5 ®iÓm): 1) Cho ba sè: A = 1193984; B = 157993 vµ C = 38743. a) T×m íc sè chung lín nhÊt cña ba sè A, B, C. b)T×m béi sè chung nhá nhÊt cña ba sè A, B, C víi kÕt qu¶ ®óng chÝnh x¸c. 2) Tìm thương và số dư của phép chia 56789987654321 : 3579 §S: 15867557321 và 2462 Bµi 3 (5®iÓm): a) Dùng máy ấn tìm số dư và viết được : 20082009 1 = 83327 + 1 241 1+ 1 5+ 1 5+ 1 1+ 1 1+ 3 Do đó : a = 83327; b = 1; c = 5; d = 5; e = 1; f = 1; g = 3 b) Đặt 0,0019981998 . = a. Ta có: 1 1 1 2. 100 10 2.111 100 A a a a A a   = + +  ÷   = Trong khi đó : 100a = 0,19981998 . = 0,(0001) . 1998 = 1998 9999 Vậy A = 2.111.9999 1111 1998 = Bµi 4 (5 ®iÓm): Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng, thì số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x. Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là: 6 5000000 1.007 1.0115 1.009 5747478.359 a x × × × = Quy trình bấm phím: 5000000 × 1.007 ^ ALPHA A × 1.0115 ^ 6 × 1.009 ^ ALPHA X − 5747478.359 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 = SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên. 3 Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, .đến khi nhận được giá trị nguyên của X = 4 khi A = 5. Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng Bµi 5 (5 ®iÓm): a) Cho đa thức P(x)= 5x 4 +4x 3 -3x 2 +2x+1). Tính P(1,234) §S; P(1,234)=18,00998479 b) Đặt Q(x) = 2 2 1x + . Khi đ ó Q(1) =3, Q(2) = 9 ; Q(3) = 19; Q( 4) = 33; Q( 5) = 51. Vậy R(x) = P(x) – Q(x) c ó 5 nghi ệm 1; 2; 3; 4; 5. V ậy P(x) = Q(x) + ( x – 1) ( x- 2) (x – 3) ( x- 4)( x- 5) = 2 2 1x + + ( x – 1) ( x- 2) (x – 3) ( x- 4)( x- 5) P(6) = 193 ; P(7)= 819; P(8) = 2649; P(9)= 6883 ; P(10)= 15321 B µi 6 ( 5 ®iÓm) : Dễ thấy · BAH = α ; · AMB = 2α ; · ADB = 45 o + α Ta có : AH = ABcosα = acosα = 2,75cos37 o 25’ = 2,184154248 ≈ 2,18 (cm) o o os 2,75 os37 25' 2,203425437 2,20( ) sin(45 ) sin(45 ) sin82 25' o o AH ac c AD cm α α α = = = = ≈ + + o o os 2,75 os37 25' 2,26976277 2,26( ) sin 2 ) sin 2 sin 74 50' AH ac c AM cm α α α = = = = ≈ b) ( ) 1 . 2 ADM S HM HD AH= − HM=AH.cotg2α ; HD = AH.cotg(45 o + α) Vậy : ( ) 2 2 o 1 os cotg2 cotg(45 + ) 2 ADM S a c α α α = − ( ) 2 2 o o 1 2,75 os 37 25' cotg74 50' cotg82 25' 2 o ADM S c= − = 0,32901612 ≈ 0,33cm 2 Bµi 7 ( 5 ®iÓm): a) Ta có 5 7850a bcd × = Suy ra 7850 5 bcd a = . Lần lượt thay các giá trị a từ 1 → 9 ta được 7850 314 25 = . Vậy a = 2; b = 3; c = 1; d = 4 b) Ta có 2 2525******89n = Do đó : 2525 x 10 8 < n 2 < 2526 x 10 8 Để n 2 tận cùng là 9 thì n chỉ có thể tận cùng là 3 hoặc 7 Thử trên máy ta có n tận cùng là 67, 33, 83, 17 thì n 2 tận cùng là 89. Vậy n nhận các giá trị : 502567; 502533; 502517; 502583 4 A B C H D M Bµi 8 ( 5 ®iÓm): Cho ΔABC vuông tại A đường cao AH, tia phân giác góc B cắt AC tại D. Biết DA = 2cm; DC = 3cm. a) Tính số đo góc C và góc B của ΔABC . b) Tính độ dài các đoạn thẳng AH; HB; HC. Ta có BD là phân giác của góc B suy ra DA BA 2 = = = sinC DC BC 3 từ đó tính được µ 0 C 41 48'37,13'' ≈ µ 0 B 48 11'22,87'' ≈ AH=AC.sinC 3,33333( )≈ cm HB=AH.cotgB 2,98142( )≈ cm HC=AH.tgB 3,72678( )≈ cm Bµi 9 ( 5 ®iÓm): Giải phương trình: x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 1= X 1 = 175744242 X 2 = 175717629 VËy: 175717629 < x <175744242 Bµi 10( 5 ®iÓm): a) 1 2 3 4 1, 10, 87; 740.u u u u= = = = 1 2 3 4 1, 14, 167, 1932v v v v= = = = . b) Công thức truy hồi của u n+2 có dạng: 2 1 2n n n u au bu + + + = + . Ta có hệ phương trình: 3 2 1 4 3 2 10 87 10; 13 87 10 740 u au bu a b a b u au bu a b = + + =   ⇔ ⇔ = = −   = + + =   Do đó: 2 1 10 13 n n n u u u + + = − Tương tự: 2 1 14 29 n n n v v v + + = − c) Quy trình bấm phím: 1 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14 SHIFT STO D 2SHIFT STO X (Biến đếm) ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA E ALPHA = 10 ALPHA B − 13 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F ALPHA = 14 ALPHA D − 29 ALPHA C ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA F ALPHA : ALPHA Y ALPHA = 2 ALPHA E + 3 ALPHA F = = = . (giá trị của E ứng với u n+2 , của F ứng với v n+2 , của Y ứng với z n+2 ). Ghi lại các giá trị như sau: 3 5 8 9 10 675, 79153, =108234392, z 1218810909, z 13788770710 z z z= = = = 5 A B C H D . 0,00 199 8 199 8 . = a. Ta có: 1 1 1 2. 100 10 2.111 100 A a a a A a   = + +  ÷   = Trong khi đó : 100a = 0, 199 8 199 8 . = 0,(0001) . 199 8 = 199 8 99 99 Vậy. 567 899 87654321: 35 79 Bài 3 (5 điểm): a)Cho 200820 09 1 = a + 1 241 b + 1 c+ 1 d + 1 e+ 1 f + g Tìm a, b, c, d, e, f, g b) Tớnh 2 2 2 0, 199 8 199 8 . 0,0 199 8 199 8 .