Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công NI DUNG ễN TP MễN THI: TON CAO CP THNG Kấ (DNH CHO THI TUYN SINH CAO HC NGNH: SINH HC) PHN I: TON CAO CP 1. Cỏc kin thc ph tr ( thi s khụng hi trc tip vo cỏc vn ny nhng thớ sinh phi nm c vi yờu cu v bit vn dng chỳng khi gp trong cỏc vn liờn quan khỏc). 1.1. Gii h phng trỡnh tuyn tớnh. 1.2. Cỏc hm s s cp (min xỏc nh, tớnh cht v dng th). 1.3. Tỡm o hm, vi phõn hm mt bin. 1.4. Tỡm gii hn hm s khi x . 1.5. Tớnh tớch phõn bt nh v tớnh tớch phõn xỏc nh, tớch phõn suy rng loi I. 2. Phng trỡnh vi phõn 2.1. Nghim riờng v nghim tng quỏt 2.2. Gii phng trỡnh vi phõn dng bin s phõn ly, ng cp, tuyn tớnh cp 1, Becnui, vi phõn ton phn. 2.3. Gii phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 2 h s hng s vi v phi dng e x P n (x) (cosx sinx) (phng phỏp tỡm dng nghim riờng) v vi v phi tu ý (phng phỏp bin thiờn hng s). 2.4. H 2 phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh vi h hng s (trng hp cú v phi). PHN II: CC KT QU C BN CA XC SUT 1. Hoỏn v, t hp, chnh hp, nh thc Newton 2. Xỏc sut 2.1. Bin c. Quan h gia cỏc bin c. 2.2. nh ngha xỏc sut c din v nh ngha thng kờ. 2.3. Tớnh cht ca xỏc sut. 2.4. Cụng thc cng xỏc sut. 2.5 Xỏc sut cú iu kin. Khỏi nim c lp ca cỏc bin c. Cụng thc nhõn xỏc sut. 2.6. Cụng thc xỏc sut y v Bayes. 2.7. Dóy phộp th Bemoulli. nh ngha Pn (m.p) - S cú kh nng nht. 3. Bin ngu nhiờn - hm phõn phi 3.1. i lng ngu nhiờn: ri rc, liờn tc, bng phõn phi xỏc xut, hm mt . 3.2. Hm phõn phi: nh ngha tớnh cht. 3.3. Cỏc s c trng ca i lng ngu nhiờn: k vng, phng sai, Mod, Median, phõn v. 3.4. Cỏc phõn phi thng gp: Nh thc, Poisson, chun, u, m, 2 , student PHN III: THNG Kấ NG DNG 1. Mu ngu nhiờn v c trng mu X , s 2 . Phõn b ca X , s 2 trong mt s trng hp. Cỏch tớnh X , s 2 1 Tµi liÖu «n thi cao häc chuyªn ngµnh Sinh häc – Biªn so¹n: NguyÔn V¨n C«ng 2. Ước lượng 2.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất. 2.2. Ước lượng khoảng cho kỳ vọng, phương sai và xác suất. Độ chính xác ước lượng và cơ mẫu. 3. Kiểm định giả thiết 3.1. Kiểm định giả thiết: µ = µo với µ ≠ µo , µ<µo , µ > µo p = po với p ≠ po , p < po , p > po µ1 = µ2 với µ1 ≠ µ2 , µ1 < µ2 , µ1 > µ2 p1 = p2 với p1 ≠ p2 , p1 < p2 , p1 > p2 3.2. Kiểm tra sự phù hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm. 3.3. Kiểm tra tính độc lập. 3.4. So sánh nhiều tỷ lệ. 3.5. Tiêu chuẩn phi tham số: Tiêu chuẩn dấu của Wilcoxon, tiêu chuẩn Mann-Whiney. 4. Hồi quy và tương quan 4.1. Hệ số tương quan. Ý nghĩa, cách tính hệ số tương quan mẫu. 4.2. Đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm, sai số. 4.3. Hồi quy phi tuyến tính (trường hợp có thể tuyến tính hoá được). TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. P.E Đankô, A.G. Pôpôp…, Bài tập toán cao cấp phần I và II, Nxb “Mir” 1983 (Tiếng Việt). 2. Nguyễn Đình Trí…, Toán cao cấp (tập 1, 2, 3), Nxb Giáo dục, 1996. 3. Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nxb Đại học Quốc gia 1996, 1997. 4. Nguyễn Đình Cử, Trương Giêu, Bài tập xác suất và thống kê toán, Đại học Kinh tế Quốc dân, 1992. Tài liệu 1 và 3 là tài liệu tham khảo chính. 2 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công Phần I Toán cao cấp Chơng i Ma trận, định thức, hệ ph ơng trình tuyến tính A. tóm tắt lí thuyết I. Ma trận. 1. Khái niệm về ma trận. - Cho hai số dơng m, n; ma trận cỡ m x n là một bảng gồm m x n số và đợc xếp thành m hàng, n cột và có dạng nh sau: A = mnmm n n aaa aaa aaa . . . 21 22221 11211 = [ ] ij a mxn (i = m,1 ;j = n,1 ) - Trong ma trận A, phần tử [ ] ij a mxn (i = m,1 ;j = n,1 ) là phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận. - Ví dụ: A = 161310 9611 732 A là ma trận cỡ 3x3 gồm 9 số, đợc xếp vào 3 hàng và 3 cột B = 1 2 5 7 B là ma trận cỡ 4x1 gồm 4 số đợc viết thành 4 hàng và 1 cột C = 975 462 1170 8511 C là ma trận cỡ 4x3 gồm 12 số đợc viết thành 4 hàng và 3 cột 2. Các dạng ma trận. 2.1. Ma trận vuông cấp n. - Ma trận cỡ nxn đợc gọi là ma trận vuông cấp n và có dạng: nnnn n n aaa aaa aaa . . . 21 22221 11211 = [ ] ij a nxn (i= n,1 ;j = n,1 ) - Trong ma trận vuông, các phần tử aii (i = n,1 ) gồm a 11 , a 22 , .,a nn đợc gọi là các phần tử chéo, đờng thẳng xuyên qua các phần tử chéo đợc gọi là đờng chéo chính; đờng chéo gồm các phần tử a i,n+1- i (i = n,1 ) đợc gọi là đờng chéo phụ của ma trận. - Ví dụ: A = 161310 9611 732 A là ma trận vuông cấp 3, các phần tử 2; -6; 16 đợc gọi là các phần tử chéo, đờng thẳng nối các phần tử 2; -6 và 16 đợc gọi là đờng chéo chính B = 70 213 B là ma trận vuông cấp 2, các phần tử 13;7 đợc gọi là các phần tử chéo 3 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công 2.2. Ma trận hàng và ma trận cột. - Ma trận cỡ 1xn đợc gọi là ma trận hàng và có dạng: [ ] n aaa 11211 . = [ ] i a 1 1xn trong đó (i = n,1 ) - Ma trận cỡ nx1 đợc gọi là ma trận cột và có dạng: 1 21 11 . n a a a = [ ] 1i a nx1 trong đó (i = n,1 ) - Ví dụ: A = [ ] 7531 A là ma trận hàng cỡ 1x4 B = 6 4 2 B là ma trận cột cỡ 3x1 2.3. Ma trận tam giác. - Ma trận vuông cấp n có các phần tử a ij = 0 với i>j đợc gọi là ma trận tam giác trên và có dạng: nn n n a aa aaa .00 .0 . 222 11211 hoặc nn n n a aa aaa 222 11211 . . - Ma trận vuông cấp n có các phần tử a ij = 0 với i<j đợc gọi là ma trận tam giác dới và có dạng: nnnn aaa aa a . 0 . 0 .0 21 2221 11 hoặc nnnn aaa aa a . 21 2221 11 2.4. Ma trận chéo và ma trận đơn vị. - Ma trận vuông cấp n có các phần tử a ij = 0 với i j đợc gọi là ma trận chéo và có dạng: nn a a a .00 0 .0 0 .0 22 11 hoặc nn a a a . 22 11 - Ma trận chéo có các phần tử a ii = 1 (i = n,1 ) đợc gọi là ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là I n và có dạng: 1 .00 0 .10 0 .01 hoặc 1 . 1 1 2.5. Ma trận chuyển vị. - Ma trận chuyển vị của ma trận A = [ ] ij a mxn là ma trận đợc thành lập từ ma trận A bằng cách đổi hàng thành cột, cột thành hàng - Ma trận chuyển vị của ma trận A đợc kí hiệu là A T : A T = [ ] ji a nxm 4 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công - Ví dụ: A = 161310 9611 732 A T = 1697 1363 10112 2.6. Ma trận đối. - Ma trận đối của ma trận A = [ ] ij a mxn (i = m,1 ;j = n,1 ) là ma trận đợc kí hiệu là - A và đợc xác định nh sau: - A = [ ] ij a mxn (i = m,1 ;j = n,1 ) - Ví dụ: A = 161310 9611 732 - A = 161310 9611 732 2.7. Ma trận bằng nhau. - Hai ma trận A và B đợc gọi là bằng nhau nếu nó có cùng cỡ và các phần tử ở cùng vị trí bằng nhau, tức là: + A = [ ] ij a mxn (i = m,1 ;j = n,1 ); B = [ ] ij b mxn (i = m,1 ;j = n,1 ) + a ij = b ij - Khi A bằng B ta viết A = B - Ví dụ: A = 92 38 76 51 ; B = hg fe dc ba A = B a = 1; b= -5; c = 6; d = 7; e = 8; f = 3; g = -2; h = 9 2.8. Ma trận bậc thang. - Ma trận A = [ ] ij a mxn (i = m,1 ;j = n,1 ) có a ij = 0 với i,j : i>j đợc gọi là ma trận bậc thang. - Ví dụ: A = 5800 2170 4031 3. Các phép toán với ma trận. 3.1. Phép cộng ma trận. a. Định nghĩa. - Cho hai ma trận cùng cỡ mxn: A = [ ] ij a mxn , B = [ ] ij b mxn (i = m,1 ;j = n,1 ), tổng của ma trận A và ma trận B là ma trận C cỡ mxn đợc xác định bởi: C = A + B = [ ] ij c mxn = [ ] ijij ba + mxn với c ij = a ij + b ij , ( i = m,1 ; j = n,1 ) - Ví dụ: A = 41 32 ; B = 32 75 A + B = + ++ 3421 7352 = 11 107 b. Tính chất. A + B = B + A ( A và B cùng cỡ ) A + 0 = 0 + A = A A + (- A ) = ( - A ) + A = 0 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( A , B , C là các ma trận cùng cỡ ) Chú ý: Gọi M mxn là tập gồm các ma trận cùng cỡ mxn, khi đó ( M mxn , +) đợc gọi là một nhóm giao hoán. 3.2. Phép hiệu ma trận. a. Định nghĩa. 5 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công - Cho hai ma trận cùng cỡ mxn: A = [ ] ij a mxn , B = [ ] ij b mxn (i = m,1 ;j = n,1 ), hiệu của ma trận A và ma trận B là ma trận C cỡ mxn đợc xác định bởi: C = A - B = [ ] ij c mxn = [ ] ijij ba mxn với c ij = a ij - b ij , ( i = m,1 ; j = n,1 ) - Ví dụ: A = 41 32 ; B = 32 75 A - B = )3(421 7352 = 73 43 b. Tính chất. A - B = - B + A ( A và B cùng cỡ ) A - ( B C ) = A - B C ( A, B, C là cùng cơ ) A - 0 = A; 0 - A = - A 3.3. Nhân ma trận với một số. a. Định nghĩa. - Cho A = [ ] ij a mxn (i = m,1 ;j = n,1 ) và một số thực k ( k R ), tích của A và k là ma trận cỡ mxn, kí hiệu là kA và đợc xác định bởi: kA = [ ] ij ka mxn (i = m,1 ;j = n,1 ). - Ví dụ: A = 92 38 76 51 ; k = -3 kA = 9).3()2).(3( 3).3(8).3( 7).3(6).3( )5).(3(1).3( = 276 924 2718 153 b. Các tính chất. k( A B ) = kA kB ( k + h )A = kA + hA k(hA) = (kh)A 1.A = A; 0.A = 0 3.4. Phép nhân ma trận với ma trận. a. Định nghĩa. - Tích của ma trận A = [ ] mxp aij a và ma trận B = [ ] pxn ij b (kí hiệu là AB : A bên trái, B bên phải) là ma trận C = [ ] mxn ij c trong đó các phần tử c ij đợc xác định bởi công thức: C ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + a i3 b 3j + .+ a ip b pj = = p k kjik ba 1 ( ta có thể nói tắt c ij bằng hàng i của A nhân với cột j của B) - Ví dụ: (1): [ ] 2222 21 12 82 123 4.21.2 4.31.3 41 2 3 xx x x = = (2): [ ] [ ] [ ] 11 11 12 21 112431 2 3 .41 x x x x xx =+= (3): 2222 23 32 189 1810 4.22.12.41.23.11.4 4.32.22.11.33.21.1 41 23 21 . 214 321 xx x x = ++++ ++++ = (4): 3333 32 23 11617 13811 749 2.43.11.42.14.41.1 2.23.31.22.34.21.3 2.23.11.22.14.21.1 214 321 . 41 23 21 xx x x = +++ +++ +++ = - Chú ý: 6 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công + Muốn nhân AB ( A bên trái, B bên phải) phải có điều kiện là số cột của A bằng số hàng của B; muốn nhân BA (B bên trái, A bên phải) phải có điều kiện là số cột của B phải bằng số hàng của A. Do đó khi nhân AB đợc thì cha chắc đã nhân BA đợc và ngợc lại, nhng khi A và B là hai ma trận vơng cùn cấp thì nhân AB và BA đều đợc. + Khi nhân AB và BA đợc thì cha chắc AB = BA và có những ma trận A 0 và B 0 nhng AB = 0. b. Chuyển vị của tích hái ma trận. - Giả sử có ma trận A = [ ] mxp aij a và ma trận B = [ ] pxn ij b thì ta nhân AB đợc và AB có cỡ là mxn. - Qua phép chuyển vị ta có A t = [ ] pxm i a ạ và B t = [ ] nxp ji b , ta thấy rằng số cột của B t bằng số hàng của A t . Vậy nhân B t A t đợc và B t A t có cỡ mxn. Vậy ta có thể kết luận: (AB) t = B t A t - Ví dụ: A = 22 41 21 x ; B = 22 13 12 x Ta có: AB = 2x2 2x2 1.2 2.3 ( 1).( 1) 2.1 4 3 1.2 4.3 1.( 1) 4.1 14 3 ộ ự ộ ự - + - - + ờ ỳ ờ ỳ = ờ ỳ ờ ỳ + - + ở ỷ ở ỷ (AB) t = 22 33 144 x Ta lại có: A t = 22 42 11 x ; B t = 22 11 32 x B t A t = 22 11 32 x 22 42 11 x = 2222 33 144 4.11).1(2.1)1).(1( 4.31.22.3)1.(2 xx = ++ ++ Vậy (AB) t = B t A t = 22 33 144 x c. Một số tính chất. A(B+C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA A(BC) = (AB)C k(BC) = (kB)C = B(kC) (k là hằng số) AI = IA =A A ( I là ma trận đơn vị ) II. Ma trận con và định thức. 1. Ma trận con. - Xét ma trận vuông cấp n: A = [ ] ij a nxn = nnnn n n aaa aaa aaa . . . 21 22221 11211 (i= n,1 ;j = n,1 ), nếu ứng với mỗi phần tử a ij của A ta bỏ đi hàng i và cột j chứa a ij thì ta thu đợc một ma trận con chỉ còn n-1 hàng và n1 cột, ma trận này đợc gọi là ma trận con ứng với phần tử a ij của A và kí hiệu là M ij . - Ví dụ: với A = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa thì ta có tập các ma trận con cấp 2 của A là: M 11 = 3332 2322 aa aa (ứng với a 11 của A); M 12 = 3331 2321 aa aa ( ứng với a 12 của A ) 7 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công M 13 = 3231 2221 aa aa ( ứng với a 13 của A ); M 21 = 3332 1312 aa aa ( ứng với a 21 của A ) M 22 = 3331 1311 aa aa ( ứng với a 22 của A ); M 23 = 3231 1211 aa aa ( ứng với a 23 của A ) M 31 = 2322 1312 aa aa ( ứng với a 31 của A ); M 32 = 2321 1311 aa aa ( ứng với a 32 của A ) M 33 = 2221 1211 aa aa ( ứng với a 33 của A ) 2. Định thức của ma trận. 2.1. Định nghĩa. - Định thức của ma trận A là 1 số thực, kí hiệu là det(A) và đợc xác định nh sau: + Nếu A là ma trận cấp 1: A = [ ] 11 a thì: det(A) = a 11 . + Nếu A là ma trận vuông cấp 2: A = 2221 1211 aa aa thì: det(A) = a 11 det(M 11 ) a 12 det(M 12 ) = a 11 a 22 a 12 a 21 ( a 11 và a 12 là các phần tử của hàng 1 của ma trận A) + Nếu A là ma trận vuông cấp n thì: det(A) = a 11 det(M 11 ) a 12 det(M 12 ) + .+(-1) 1+n a 1n det(M 1n ) ( a 11 ; a 12 .a 1n là các phần tử của hàng 1 trong ma trận A ) - Chú ý: (1): Để kí hiệu định thức của ma trận A ngoài det(A) ngời ta còn dùng hai gạch đứng đặt ở bên trái và bên phải các phần tử của ma trận A. Ví dụ: A = 2221 1211 aa aa det(A) = 2221 1211 aa aa = a 11 a 22 a 12 a 21 (2): Định thức của ma trận cấp n đợc gọi là định thức cấp n; một định thức cấp n có nhiều định thức con cấp n i ( i = n,1 ) khác nhau. 2.2. Các tính chất của định thức. 2.2.1. Tính chất 1: det(A t ) = det(A) 2.2.2. Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng hay hai cột của một định thức ta đợc một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu. Ví dụ: 21 43 43 21 = 2.2.3. Tính chất 3: Một định thức có hai hàng hay hai cột nh nhau thì bằng 0. 2.2.4. Tính chất 4: Ta có thể khai triển định thức theo bất cứ hàng hay cột nào - Khai triển định thức theo các phần tử nằm ở hàng i: + + = ) in det(M in a .) i2 det(M i2 a) i1 det(M i1 a 1i 1)(det - Khai triển định thức theo các phần tử nằm ở cột j: 8 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công + + = ) nj det(M nj a .) 2j det(M 2j a) 1j det(M 1j a j1 1)(det - Ví dụ: xét = 987 654 321 + Tính theo hàng 2: + = + 87 21 6 97 31 5 98 32 4)1( 12 = 240 + Tính theo cột 3: + = + 54 21 9 87 21 6 87 54 3)1( 31 = 240 2.2.5. Tính chất 5: Một định thức có một hàng hay một cột toàn là số 0 thì bằng 0. 2.2.6. Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng hay một cột của một định thức với một số k thì đợc một định thức mới bằng định thức đó nhân với k. Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng hay một cột có một thừa số chung ta có thể đa thừa số chung đó ra ngoài dấu của định thức 2.2.7: Tính chất 7: Một định thức có hai hàng hay hai cột tỉ lệ với nhau thì bằng 0. 2.2.8: Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của một hàng hay một cột có dạng tổng của hai số hạng thì định thức đó có thể phân tích thành tổng của hai định thức. 2.2.9: Tính chất 9: Nếu một định thức có một hàng hay một cột là tổ hợp tuyến tính của các hàng hay các cột khác thì định thức ấy bằng 0. 2.2.10: Tính chất 10: Định thức không thay đổi nếu ta đồng thời cộng k lần (k 0) các phần tử của một hàng vào một hàng khác hay cộng k lần các phần tử của một cột vào một cột khác. Ví dụ: 516 754 312 21 HH + )2.( +++ 516 3)2(71)2(52)2(4 312 = 516 130 312 516 754 312 31 CC + )1.( + + + 6)1(516 4)1(754 2)1(312 = 116 354 112 2.2.11. Tính chất 11: Các định thức của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử chéo. nn n n a aa aaa .00 .0 . 222 11211 = a 11 a 22 .a nn ; nnnn aaa aa a . 0 . 0 .0 21 2221 11 = a 11 a 22 .a nn 2.3. Các phơng pháp tính định thức. 2.3.1. Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các tính chất. 2.3.2. Phơng pháp 2: áp dụng các phép biến đổi sơ cấp a. Các bớc tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp về hàng và cột. - Bớc 1: áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng và cột để đa định thức về dạng tam giác, cụ thể ta có thể áp dụng các phép biến đổi sơ cấp sau: Đổi chỗ hai hàng hay hai cột của định thức: Tính chất 2 Nhân các phần tử của một hàng hay một cột với một số k 0:Tính chất 6 Cộng k lần các phần tử của hàng r (hoặc cột r) vào các phần tử tơng ứng ở hàng s ( hoặc cột s): Tính chất 10. - Bớc 2: Tính giá trị của định thức dạng tam giác thu đợc: Tính chất 11 9 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công b. Ví dụ: Tính = 162 963 510 - áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng: 162 963 510 21 HH - 162 510 963 31 )3/2( HH + - + 614622 510 963 = - 5100 510 963 32 )10( HH + - 5500 510 963 = - 3.1.(-55) = 165 - áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về cột: 162 963 510 31 CC - 261 369 015 21 )5/1( CC + - 25/291 35/399 005 32 )39/15( CC + - 39/1655/291 05/399 005 = - 5.(-39/5).165/39 = 165 2.4. Định thức của tích hai ma trận. - Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có: det(AB) = det(A).det(B) - Ví dụ: A = 12 13 ; B = 85 31 = = = 23)det( 1)det( 143 172 B A AB = = 23)det()det( 23)det( BA AB det(AB) = det(A)det(B) - Chú ý: nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta còn có: det(kA) = k n det(A) 2.5. Định thức con. - Cho A là ma trận cỡ mxn, định thức con cấp k (1 k min { } nm, )của A là định thức đợc suy ra từ A bằng cách bỏ đi m k hàng và n k cột. - Ví dụ: Xét ma trận A = 43 2121 4112 2431 x , ta có min { } 4,3 = 3 do đó k = 1,2,3: + Các định thức con cấp 1 của A là: 1 ; 3 ; 4 . + Các định thức con cấp 2 của A là: 12 31 ; 12 41 . + Các định thức con cấp ba của A là: 121 112 431 ; 221 412 231 ; 211 412 241 ; 212 411 243 III. Ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận. 1. Ma trận nghịch đảo. 1.1. Định nghĩa. - Ma trận A = [ ] ij a nxn đợc gọi là ma trận khả đảo (hay khả nghịch) nếu tồn tại ma trận 10 [...]... 2 1 k A-1 (A) ) là cấp cao nhất của các định thức con khác có (A) = 2 vì các định thức con cấp 3 của A đều bằng 0 nhng các định thức con cấp 2 khác 0 - Chú ý: Từ định nghĩa ta suy ra: + Mọi định thức con cấp k của A đều bằng 0 thì mọi định thức con cấp cao hơn k của A cũng đều bằng 0 + Nếu (A) = r tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của A khác 0 và mọi định thức con cấp r+1 của A đều bằng... vuông A ta có: (A) = (At) - Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng có các phần tử khác 0 - Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp dới đây: + Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận cho nhau + Nhân các phần tử của một hàng hay một cột của ma trận với 1 số khác 0 + Cộng k lần các phần tử tơng ứng của 1 hàng hay 1 cột với 1 hàng hay 1 cột khác 2.3 Cách tính hạng của ma trận a Tính... nghĩa - Cách làm: Tính các định thức con của ma trận từ cấp 2 trở lên: + Giả sử ma trận có một định thức con cấp p khác 0, ta tính tiếp các định thức con cấp p+1, nếu tất cả các định thức con cấp p+1 đều bằng 0 thì kết luận hạng của ma trận là p + Nếu trong số các định thức con cấp p+1 khác 0 thì ta tính tiếp các định thức con cấp p+2, nếu tất cả các định thức con cấp p+2 đều bằng 0 thì hạng của ma... lí Kronecker Capelli: Hệ AX = B có nghiệm khi và chỉ khi: - Từ định lí trên ta suy ra: + Nếu (A ) (A) thì hệ vô nghiệm + Nếu (A ) =(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất + Nếu (A ) =(A) < n thì hệ có vô số nghiệm - Ví dụ: Xem GT B Bài tập ( ) =(A) A 18 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công Chơng 2 Giải tích hàm một biến 19 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học... hệ thuần nhất 3 Các phơng pháp giải hệ phơng trình tuyến tính 3.1 Phơng pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đợc hệ tơng đơng 16 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công - Đổi chỗ hai phơng trình cho nhau - Nhân hai vế của một phơng trình nào đó với 1 số 0 - Cộng từng vế của 1 phơng trình với 1 phơng trình khác 3.2 Phơng pháp 2: áp dụng định lí Cramer - Nếu... 3 2 0 4 1 5 9 43 x 4 Giải: 13 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công Vì A có cỡ là 3x4 A có các định thức con thuộc các cấp 1; 2 và 3 Ta có 1 định thức con cấp 2 của A là 1 là: 3 1 2 2 0 3 4 = 1 0; 1 3 1 3 4 1 5 9 = 4 0; Vậy (A) = 2 1 3 1 2 2 0 5 9 = 4 0; 1 3 2 2 0 3 4 1 2 = 2 - 4 0 và các định thức con cấp 3 của A 5 9 = 4 0 b Phơng pháp dùng... dy = f(t)dt, mặt khác dy = ydx vì y = t dy f ' (t ) f ; (t ) dt x = dt = F(t) + C, trong đó F(t) là một nguyên hàm = tdx, vậy tdx = f(t)dt dx = t của ' f (t ) t t Nghiệm của phơng trình dới dạng tham số: x = F(t) + C, y = f(t) + Ví dụ: - Dạng tham số: y = f(t), y = g(t) 21 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công + Phơng pháp giải: Từ y = f(t) dy = f(t)dt mà dy... ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công y ( x) - Hai hàm số y1(x) và y2(x) đợc gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tỉ số y2 ( x) = hằng số với 1 mọi x [a, b] - Nếu hai hàm số y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính trên đoạn [a, b] thì định thức: y1 y2 ' 1 ' 2 y y ' ' = y1 y 2 y 2 y1 0 với mọi x [a, b] ( định thức y1 y2 ' 1 ' y2 y ' ' = y1 y 2 y 2 y1 đợc gọi là định thức Wronsky,... 0: x x Hai nghiệm riêng của (1) là y1 = ex cos , y2 = ex sin x x Vậy nghiệm tổng quát của (1) là y = ex (C1cos + C2sin ) 33 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công *Giải (2): - Bớc 1: Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất tơng ứng của (2), nghiệm này có dạng: y = C1y1(x) + C2y2(x) - Bớc 2: áp dụng phơng pháp biến thi n hằng số tìm C1 và C2, thay C1 và... 2n n 2 (1), trong đó: a m1 x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = bm xj (j =1, n ) là các ẩn số aij ( i = 1, m ; j=1, n ) là hệ số ở phơng trình thứ i của ẩn xj 14 Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công bi (i = 1, m ) là vế phải của phơng trình thứ i + Dạng ma trận của một hệ phơng trình tuyến tính: Hệ (1) có thể đợc viết dới dạng ma trận: AX = B, trong đó: A= [a . liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công NI DUNG ễN TP MễN THI: TON CAO CP THNG Kấ (DNH CHO THI TUYN SINH CAO HC NGNH: SINH HC). định thức có hai hàng hay hai cột nh nhau thì bằng 0. 2.2.4. Tính chất 4: Ta có thể khai triển định thức theo bất cứ hàng hay cột nào - Khai triển định