CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ________________________________________________________________________________________ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS A. DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô ( ) xfy = ,đồ thị là (C). Có 3 dạng phương trình tiếp tuyến như sau: Dạng 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm ( ) ( ) 0 0 ;M x y C∈ - Tính đạo hàm và giá trị ( ) 0 'f x . - Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y= − + Chú ý: tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) 0 0 ;M x y C∈ có hệ số góc ( ) 0 'k f x= Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k - Giải phương trình: ( ) 'f x k= , tìm nghiệm 0 0 x y⇒ - Phương trình tiếp tuyến dạng: ( ) 0 0 y k x x y= − + Chú ý: cho đường thẳng : Ax+By+C=0∆ , khi đó: - Nếu ( ) // : Ax+By+m=0 : A d d hsg k B ∆ ⇒ ⇒ = − - Nếu ( ) : x-Ay+n=0 : B d d B hsg k A ⊥ ∆ ⇒ ⇒ = Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm ( ) ( ) 0 0 ;A x y C∉ - Gọi d là đương thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( ) ( ) 0 0 :d y k x x y= − + - Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( ) à Cd v là hệ pt sau có nghiệm: ( ) ( ) ( ) 0 0 ' f x k x x y f x k  = − +   =   Chú ý: Cho đường cong ( ) ( ) xfyC = : và đường thẳng ( ) bkxyd += : . Điều kiện để d tiếp xúc với (C) là hệ sau có nghiệm. ( ) ( ) ' f x kx b f x k  = +   =   1. Cho hàm số 4 2 2y x x= − ,hãy khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): ____________________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 1 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ________________________________________________________________________________________ a. Tại điểm có hoành độ 2x = b. Tại điểm có tung độ y = 3. c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: ( ) 1 24 2008d y x= + d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: ( ) 2 1 2008 24 d y x= − + 2. Cho hàm số 2 3 1 x x y x − − + = + có đồ thị là (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. c. Viết phương trình tt của (C) tại giao điểm của (C) với trụng hoành. d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1,-1). e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k = -13. 3. Cho hàm số ( ) 2 1 ó do thi là C 1 x x y c x − − = + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0. c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0. d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). 4. Cho hàm số ( ) m Cmxmxxy 33 23 +−−= . Định m để ( ) m C tiếp xúc với trục hoành. 5. Cho hàm số ( ) ( ) m Cmxxmxxy −−−++= 234 1 . Định m để ( ) m C tiếp xúc với trục hoành. 6. Cho hàm số ( ) 1 4 : 2 + − = x x yC . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C). 7. Cho đồ thị hàm số ( ) 43: 23 +−= xxyC . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tt với (C). 8. Cho đt hàm số ( ) 12: 24 +−= xxyC . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tt đến (C). 9. đồ thị hàm số ( ) 23: 3 +−= xxyC . Tìm các điểm trên đt y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tt với (C). B. DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô ( ) xfy = ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: - Nghiệm của phương trình ( ) ' 0f x = là hoành độ của điểm cực trị - Nếu ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x  =   <   thì hàm số đạt cực đại tại 0 x x= - Nếu ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x  =   >   thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x x= . ____________________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 2 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ________________________________________________________________________________________ Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp - Để hàm số ( ) y f x= có 2 cực trị ( ) 0 ' 0 ó nghiêm 0 a f x c ≠  ⇔ = ⇔  ∆ >  - Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung . 0 CD CT y y⇔ < - Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung . 0 CD CT x x⇔ < - Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm trên trục hoành 0 . 0 CD CT CD CT y y y y + >  ⇔  >  - Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm dưới trục hoành 0 . 0 CD CT CD CT y y y y + <  ⇔  <  - Để hàm số ( ) y f x= có cực trị tiếp xúc với trục hoành . 0 CD CT y y⇔ = Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm số 3 2 y ax bx cx d= + + + - Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Dạng 2: Hàm số 2 ax bx c y dx e + + = + - Đường thẳng qua 2 điểm cực trị có dạng ( ) ( ) 2 ax ' 2 ' bx c a b y x dx e d d + + = = + + 1. Chứng minh rằng hàm số y = ( ) 2 2 4 1 1x m m x m x m + − − + − luôn có có cực trị với mọi m. 2. Cho hàm số ( ) 3 2 1 2 1 3 y x mx m x= − + + − . Định m để: a. Hàm số luôn có cực trị. b. Có cực trị trong khoảng ( ) 0;+∞ . c. Có hai cực trị trong khoảng ( ) 0;+∞ . 3. Định m để hàm số ( ) 3 2 2 3 1 2y x mx m x= − + − + đạt cực đại tại x = 2. 4. Cho hàm số y = x 3 −3x 2 +3mx+3m+4 . a. Khảo sát hàm số khi m = 0. b. Định m để hàm số không có cực trị. c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu. ____________________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 3 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ________________________________________________________________________________________ 5. Cho hàm số 5393 23 −++−= mxmxxy .Định m để đt hàm số có cực đại cực tiểu, viết pt đt đi qua hai điểm cực trị ấy. 6. Cho hàm số ( ) mx mxmx y − +−++ = 11 2 , chứng minh rằng đt hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. 7. Cho hàm số ( ) ( ) 2221 23 ++−+−+= mxmxmxy . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 8. Cho hàm số mx mmxx y − −++ = 22 312 . Định m để đt hs có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung. 9. Cho hàm số ( ) ( ) m Cmxmmxxy 212 3 1 23 +−−+−= . Định m để hs có hai điểm cực trị cùng dương. C. DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN-NGHỊCH BIẾN LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô ( ) xfy = có TXĐ là miền D - f(x) đồng biến trên D ( ) Dxxf ∈∀≥⇔ ,0' - f(x) nghịch biến trên D ( ) Dxxf ∈∀≤⇔ ,0' . (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dung các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: ( ) cbxaxxf ++= 2 1. Nếu 0 <∆ thì f(x) luôn cùng dấu với a 2. Nếu 0 =∆ thì f(x) có nghiệm a b x 2 −= và f(x) luôn cùng dấu với a khi a b x 2 −≠ 2. Nếu 0 >∆ thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a. So sánh nghiệm của tam thức với số thực α 1. ( )    < >∆ ⇔<< 0. 0 21 α α fa xx 2. ( )        < > >∆ ⇔<< α αα 2 0. 0 21 S faxx ____________________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 4 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ________________________________________________________________________________________ 2. ( )        > > >∆ ⇔<< α αα 2 0. 0 21 S faxx 4. ( ) ( )        << > >∆ ⇔<< αβ βααβ 2 0 0 S ffx 3. ( ) ( )        −<> >− ≥∆ ⇔    −< > αα αα α α 22 0. 0 S hoac S ff x x 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + + . Định m để: a. Hàm số luôn đồng biến trên R. b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( ) +∞ ;2 2. Xác định m để hàm số 12 23 23 +−−= x mxx y • Đồng biến trên R • Đồng biến trên ( ) +∞ ;1 3. Cho hàm số ( ) ( ) 2512123 23 ++++−= xmxmxy • Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) +∞ ;2 . • Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1; −∞− . 4. Cho hàm số 2 26 2 + −+ = x xmx y . Đình m để hs nghịch biến trên [ ) +∞ ;1 D. DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG 1. Tìm số giao điểm của 2 đường cong . Để tìm giao điểm của 2 đường cong ( ) y f x= có đồ thị là ( ) 1 C và ( ) y g x= có đồ thị là ( ) 2 C thường có 2 cách như sau: Cách 1: - Lập phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ) f x g x= . - Số nghiệm của pt trên chính là số giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C . Cách 2: Dựa vào đồ thị để biện luận số giao điểm với 2 đường. 2. Biện luận nghiệm dựa vào đồ thị ____________________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 5 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ________________________________________________________________________________________ - Biến đổi phương trình về dạng ( ) ( ) f x m ξ = (1) - Phương trình (1) là phương hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng ( ) ( ) m d y m ξ = song song với trục hoành. - Cho ( ) m ξ thay đổi từ −∞ đến +∞ trên trục Oy để tìm số giao điểm của (C) và ( ) m d 1. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x y x − = + có đồ thị là (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) 2 2 1 0x m x m− + − + = 2. Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 1 1y x x= + − có đồ thị là (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) 2 2 1 2 1 0x m− − + = 3. Cho hàm số 3 2 ax 4y x= + − a. Khảo sát hàm số trên khi a = 3. b. Tìm các giá trị của a để phương trình 3 2 ax 4 0x + − = có nghiệm duy nhất. E. DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH. LÝ THUYẾT CẦN NẮM: Các công thức về khoảng cách: ( ) ( ) 2 2 B A B A AB x x y y= − + − Cho đường thẳng ( ) Ax+By+C=0d 1. Cho hàm số ( ) m Cmxmxxy 2333 23 ++−−= . Định m để ( ) m C có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất. 2. Cho ( ) 1 22 : − + = x x yC . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 3. Cho hàm số ( ) 1 1 : 2 − +− = x xx yC . Tìm cá điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất. ____________________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 6 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ________________________________________________________________________________________ 4. Cho hàm số ( ) 1 22 : − + = x x yC . Tìm 2 điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất. 5. Cho hàm số ( ) 1 1 : 2 + ++ = x xx yC . Tìm 2 điểm M,N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất. 6. Cho hàm số ( ) 1 12 : 2 − ++ = x xx yC • Tìm cá điểm A thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất. • Tìm 2 điểm M,N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất. F. DẠNG 5: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH 1. Cho hàm số ( ) ( ) m Cmxxmxy 2313 23 +−−−= . CMR: ( ) m C luôn qua 2 điểm cố định khi m thay đổi. 2. 3. Cho hàm số ( ) ( ) 2 462 : 2 + +−+ = mx xmx yC m . CMR đồ thị ( ) m C luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. 4. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 1321: 24 +−+−= mmxxmyC m . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên. 5. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) m Cmxmxmxmy 116333 23 +++−+−+= luôn đi qua 3 điểm cố định. G. DẠNG 6: ĐỒ THỊ CÓ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Cho hàm số ( ) 22 : 2 − + = x xx yC • Khảo sát hàm số. • Định a để pt sau có 4 nghiệm phân biệt. a x xx = − + 22 2 2. Cho hàm số ( ) 1 33 : 2 + ++ = x xx yC • Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. • Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m x xx = + ++ 1 33 2 3. Cho hàm số ( ) 1 4 : 2 − − = x xx yC • Khảo sát hàm số. • Định m để pt ( ) 04 2 =−−+ mxmx có 4 nghiệm phân biệt. 4. Cho hàm số ( ) 2 1 : 2 + −+ = x xx yC • Khảo sát hàm số. • Định m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: ( ) 0121 2 =−−−+ mxmx H. DẠNG 7: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG. ____________________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 7 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ________________________________________________________________________________________ Điểm ( ) 00 ; yxI là tâm đối xứng của đồ thị ( ) ( ) xfyC = : ⇔ Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: ( ) ( )    =+ =+ 0 0 ' 2' 2 yxfxf xxx ( ) ( )    =−+ −= ⇔ 00 0 22 2' yxxfxf xxx Vậy ( ) 00 ; yxI là tâm đối xứng của (C) ⇔ ( ) ( ) xxfyxf −−= 00 22 1. Cho hàm số ( ) 32 222 : 2 + +++ = x mxx yC m . Định m để ( ) m C có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O. 2. Cho hàm số ( ) 1 2 : 222 + ++ = x mxmx yC m . Định m để ( ) m C có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O. 3. Cho hàm số ( ) Cxx x y 3 11 3 3 2 3 −++−= . Tìm những điểm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung. 4. Cho hàm số ( ) 1 23 cbxaxxy +++= . Xác định a, b, c để (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;-1). ____________________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 8 . x xx yC • Khảo sát hàm số. • Định m để pt ( ) 04 2 =−−+ mxmx có 4 nghiệm phân biệt. 4. Cho hàm số ( ) 2 1 : 2 + −+ = x xx yC • Khảo sát hàm số. • Định. Cho hàm số ( ) 1 33 : 2 + ++ = x xx yC • Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. • Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m x xx = + ++ 1 33 2 3. Cho hàm số