Bồi dỡng học sinh giỏi 9 Biến đổi các biểu thức có chứa căn thức I. Một số phép biến đổi căn thức cơ bản 1. Biến đổi căn thức bậc lẻ AA k k = + + 12 12 121212 +++ = kkk BABA 12 12 12 + + + = k k k B A B A (Với B 0) 12 12 12 . + + + = k k k BABA 2. Biến đổi căn bậc chẵn AA k = 21 2 2122 BABA kk = (Với A, B 0) k k B A B A 2 2 21 = (Với A 0 và B > 0) k k k BABA 2 2 2 . = (Với B 0) 3. Lu ý: nm m n AA . = với A 0) II. Một số phép biến đổi căn thức khác 1. Biến đổi biểu thức dới dấu căn thành bình phơng để giải phóng đợc một dấu căn Ví dụ 1: Rút gon biểu thức sau A = 15281528 ++ Giải A = ( ) ( ) 22 3535 ++ = 3535 ++ = 523535 =++ Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B = 1212 ++ xxxx Giải Điều kiện xác định của B là : 1 012 01 x xx x Ta có : B = ( ) ( ) 22 111111211121 ++=++++ xxxxxx B= 1111 ++ xx + Nếu 2 011 1 x x x Thì B = 121111 =++ xxx 1 + Nếu 21 011 1 < x x x thì B = ( ) 21111 =+ xx 2 Phơng pháp bình phơng Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau A = 15281528 ++ Giải Cách giải : Trớc hết ta tính A 2 . + Nếu ta có A > 0 thì A = 2 A + Nếu ta có A < 0 thì A = 2 A Xét A 2 = 16 + 2 6064 = 16 +2 4 = 20 Vì A > 0 nên A = 5220 2 == A Ví dụ 2: Cho biểu thức B = 1212 + xxxx Giải Điều kiện xác định của B là : 2 1 012 012 x xx x Ta có B 2 = 2x - 2 1 x + Nếu 1 2 1 01 x x x thì B 2 = 2 Vì B > 0 nên B = 2 2 = B + Nếu 1 2 1 2 1 01 < < x x x thì B 2 = 4x-2 Vì B > 0 nên B = 24 2 = xB Lu ý: Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi biểu thức là tổng hoặc của hai căn thức bậc hai và các biểu thức dới dấu căn có dạng A + B và A - B. 3. Phơng pháp hữu tỷ hóa ( dùng phong pháp lũy thừa) Để rút gọn các biểu thức vô tỷ ta đặt căn thức bậc n của một số nào đó bằng ẩn phụ để chuyển về một biểu thức hữu tỉ Ví dụ 1 : Tính 2 A = 33 5252 ++ Giải Ta áp dụng hằng đẳng thức (a + b) 3 = a 3 + b 3 +3ab(a + b) Ta có A 3 = 3 33 5252 ++ = 35252 3 3 3 3 + + + 33 5252 + ++ 33 5252 = 4 + 3 3 1 A A 3 = 4 - 3A A 3 + 3A - 4 = 0 A 3 - A 2 + A 2 - A + 4A - 4 = 0 (A - 1)(A 2 + A + 4) = 0 A - 1 = 0 (vì A 2 + A + 4 > 0) A = 1 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A = ( ) ( ) 3 223 3 223 2 413 2 413 + + xxxxxxxx tại x = 3 2007 Giải Đạt ( ) 3 223 2 413 + xxxx = a và ( ) = 3 223 2 413 xxxx b ta có A 3 = a 3 + b 3 +3ab(a + b) = x 3 - 3x + 3 A 3 4 4 A 3 - 3A -x 3 + 3x = 0 (A - x)(A 2 + Ax + x 2 - 3(A - x) = 0 (A - x)( A 2 + Ax + x 2 - x) = 0 A - x = 0 vì A 2 + Ax + x 2 - x > 0 với x = 3 2007 A = x = 3 2007 Dạng bài tính giá trị của biểu thức Bài 1: Chứng minh rằng nếu x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz thì x + y + z = 0 hoặc x = y = z Môt số bài tập áp dụng đẳng thức trên: Bài 1.2: Cho biết abcccbbaa 3 =++ . Tính giá trị của biểu thức P = + + + a c c b b a 111 Giải Từ giả thiết của bài toán và điều kiện để có P ta suy ra a, b, c > 0 033 333 =++=++ abccbaabcccbbaa Đặt zyxa === c , b , với x , y , z > 0 Ta có x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = 0 (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx) = 0 Vì x, y , z > 0 x + y + z > 0 x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx = 0 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0 (x - y) 2 + ( y + z) 2 + (z - x) 2 = 0 x = y = z Vậy P = + + + a c c b b a 111 = 8111 = + + + x z z y y x Dạng bài rút gọn biểu thức Bài: Cho a < b < 0 và b ba a x = 21 . 3 Rút gọn biểu thức: A = bx bx ax ax + + 1 1 1 1 b) a < b < 0 2a < 2b 2a - b < b b b b ba > 2 ( Vì b < 0) 1 2 > b ba 0 2 11 221 > +=+ = = b ba ax b ba ax b ba a x và b ba ax = 2 11 < 0 vậy 0 1 1 < + ax ax Nên A = bx bx ax ax bx bx ax ax + + = + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bxaxax bxaxax ++ ++ 121 121 2 2 = 11 21 1 2 2 2 1 21 1 2 2 2 1 == + + + + b ba a b b ba b ba b ba a b b ba b ba . . Dạng bài chứng minh đẳng thức Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu a , b , c 0 và thỏa mãn 2 ca b + = thì ta có : accbba + = + + + 211 Giải Ta có accbba + = + + + 211 baacaccb + + = + + 1111 ( )( ) ( )( ) baac cb accb ba ++ = ++ ( )( )( ) ( )( )( ) cbbaac cb baaccb ba +++ = +++ a - b = b - c 2 ca b + = Nhận xét: ta sử dụng phép biến đổi tơng đơng Bài: Chứng minh rằng: a) Nếu: yx thì 2222 yxxyxxyxyx ++=++ Giải Ta có ( ) ( ) ( ) 22 22 2 2 yxyxyxyxyx ++++=++ = ( ) 22222 4)(22 xyxyx =++ (1) Vì 22 yxyx Ta lại có ( ) 2 2 2222 4xyxxyxx =++ (2) Từ (1) và (2) ta có 2222 yxxyxxyxyx ++=++ với yx b) Nếu xy 0 thì yxxy yx xy yx +=+ + + + 22 Hớng dẫn: Làm tơng tự nh (a) Bài 2: Cho ax 3 = bx 3 = cx 3 và 1 111 =++ zyx . Chứng minh rằng 333 3 222 cbaczbyax ++=++ 4 Giải Từ 1 111 =++ zyx ta suy ra x , y , z 0 Đặt: ax 3 = bx 3 = cx 3 = m 33 z m c ; y m b ; === 3 x m a 33 333 333 111 m zyx m z m y m x m cba = ++=++=++ (1) Ta lại có 3 3 3 3 222 111 m zyx m z m y m x m czbyax = ++=++=++ (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Ta biến đổi cả hai vế về biểu thức thứ ba Bài : a) Cho c 0 và cbcaba +++=+ Chứng minh rằng: a, b > 0 và 0 111 =++ cba Giải Ta có ( )( ) cbcacbabacbcaba +++++=++++=+ 22 ( )( ) 0 ++= cbcac c < 0 (Vì theo giả thiết c 0) Ta lại có Ta có ( )( ) 0))(( 2 =++++=++= bcacabcbcaccbcac 0 = ++ abc acbcab ( Vì abc 0) 0 111 =++ cba b) Cho a , b > 0 và 0 111 =++ cba . Chứng minh rằng: c 0 và cbcaba +++=+ Giải 00 1 0 111 <>= + =++ c cab ba cba Ta lại có >+ >+ <= + <= + =++ 0 0 0 1 0 1 0 111 cb ca abc cb bac ca cba Vậy cbcaba +++ ;; xác định Mặt khác 22 00 111 cccabcabcabcab cba =+++=++=++ ( )( ) 2 ccbca =++ ( )( ) ccbca =++ ( )( ) ccbca =++ ( )( ) ccbca 22 =++ 5 > > + + 0 0 0 0 b a cb ca ( )( ) cbacbcaba 22 +=++++ ( )( ) bacbcacba +=+++++ 22 ( ) bacbca +=+++ 2 cbcaba +++=+ Một số bài tập luyện tập Bài 1: Chứng minh rằng a) Chứng minh rằng : 4 4 4 4 4 523 523 15 15 + = + Giải đặt 4 4 55 xx == . Khi đó ta cần chứng minh: 4 23 23 1 1 x x x x + = + Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) x x xx xx x x 23 23 1232 1232 1 1 2 2 4 + = + ++ = + = 4 4 23 23 + x x b) Rút gọn A = 128 128128 4 44 ++ Giải Ta có 12282128128 4 2 44 2 += ++= M M = 1282 4 + Vậy A = 2 Bài tâp: 6 . Bồi dỡng học sinh giỏi 9 Biến đổi các biểu thức có chứa căn thức I. Một số phép biến đổi căn thức cơ bản 1. Biến đổi căn thức bậc lẻ AA. Một số phép biến đổi căn thức khác 1. Biến đổi biểu thức dới dấu căn thành bình phơng để giải phóng đợc một dấu căn Ví dụ 1: Rút gon biểu thức sau A =