Phòng giáo dục đào tạo Đan Phợng Phợng Trờng Trờng THCS Phơng Phơng Đình sáng kiến kinh nghiệm số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ trờng thcs Họ tên: Đinh Công Hải Trờng trung học sở Phơng Đình Năm học 2008 -2009 cộng hoà xà hội chủ nghĩa việt nam độc lập- tự do- hạnh s¸ng kiÕn kinh nghƯm gi¸o dục tiên tiến tên sáng kiến số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ trờng thcs sơ yếu lý lịch Họ tên :Đinh công Hải Ngày sinh :02/04/1974 Chức vụ :giáo viên Năm vào ngành:10/1996 Đơn vị công tác:Trờng THCS Phơng Đình-Huyên Đan Phợng Trình độ chuyên môn: Đại học toán Hệ đào tạo :chính quy a mở đầu I/ Lí chọn đề tài : Toán học môn học có ứng dụng hầu hết tất ngành khoa học tự nhiên nh lĩnh vực khác đời sống xà hội Vì toán học có vị trí đặc biệt việc phát triển nâng cao dân trí Toán học không cung cấp cho học sinh (ngời học )những kiến thức bản,những kĩ tính toán cần thiết mà điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ t logic,một phơng pháp luận khoa học Trong việc dạy học toán việc tìm phơng pháp dạy học giải tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng phơng pháp dạy học góp phần hình thành và phát triển t học sinh Đồng thời thông qua việc học toán học sinh đợc bồi dỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác t để giải tập toán , đặc biệt giải phơng trình vô tỉ Hiện từ lớp học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ Q thành tập số thực R Trong giáo viên dạy phơng trình vô tỉ khai thác phân tích đề , mở rộng toán mới, dẫn đến học sinh gặp toán giải phơng trình vô tỉ lúng túng cha biết cách giải giải đợc nhng cha chặt chẽ mà mắc nhiều sai lầm tìm tập xác định, nâng lên luỹ thừa, đa biểu thức dấu giá trị tuyệt đối Vì phát triển lực t cho học sinh thông qua việc giải phơng trình vô tỉ cần thiết xin đợc trình bày phần nhỏ để khắc phục tình trạng giải phơng trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lợng học môn toán học sinh trờng THCS ii/ Mục đích nghiên cứu đề tài Trang bị cho học sinh số kiến thức giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao lực học môn toán,giúp em tiếp thu cách chủ động sáng tạo công cụ giải tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ Gây đợc hứng thú cho học sinh làm tập SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải đợc số tập Giải đáp đợc thắc mắc, sữa chữa đợc sai lầm hay gặp giải phơng trình vô tỉ trình dạy học Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phơng pháp áp dụng thành thạo phơng pháp để giải tập Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt tập phơng trình vô tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lợng giáo dục iii Phạm vi nghiên cứu- Đối tợng nghiên cứu : Phát triển lực, t học sinh thông qua toán giải phơng trình vô tỉ học sinh THCS Đề tài áp dụng học sinh THCS chủ yếu học sinh khối luyện tập ,ôn tập cuối kì ,cuối năm cho kì thi trờng ,thi vào cấp iv Các phơng pháp nghiên cứu tiến hành : Phơng pháp nghiên cứu : Tham khảo thu thập tài liệu Phân tích,tổng kết kinh nghiệm Kiểm tra kết chất lợng học sinh 2.Phơng pháp tiến hành : Thông qua dạng phơng trình vô tỉ đa phơng pháp giải khắc phục sai lầm hay gặp , dạng tập tự giải b- nội dung đề tài i/ Cơ sở lý luận: Trong đề tài đợc đa số phơng trình vô tỉ phù hợp với trình độ học sinh THCS Trang bị cho học sinh số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ áp dụng để làm tập Rút số ý làm phơng pháp Chọn lọc số tập hay gặp phù hợp cho phơng pháp giải , cách biến đổi Vận dụng giải toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ Tôi hi vọng đề tµi nµy sÏ gióp Ých cho häc sinh ë trêng THCS việc học giải phơng trình vô tỉ Qua em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng định hớng giải toán sai lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kiĨm tra ii/ T×nh h×nh thùc tÕ 1.KÕt tình trạng cha thực : Qua kết khảo sát, kiểm tra trớc áp dụng đề tài với 40 học sinh thấy kết tiếp thu giải phơng trình vô tỉ nh sau: Điểm díi §iĨm - §iĨm - §iÓm - 10 SL % SL % SL % SL % 20 50% 14 35% 12,5% 2,5% Nguyên nhân thực tế trên: Đây dạng toán tơng đối lạ khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bị phơng pháp giải , nên việc suy luận hạn chế nhiều lối thoát dẫn đến kết thấp đặc biệt học sinh trung bình em khó giải iii/ Nội dung phơng pháp tiến hành 1/ Khái niệm phơng trình vô tỉ Phơng trình vô tỉ phơng trình chứa ẩn dấu 2/ Các ví dụ : a) c) x  1 x3 x  b) 3x   d) x  2 x  x  =3 x  x 3 x2   x2  x 3/.Phơng pháp chung : Để giải phơng trình chứa dấu ta tìm cách khử dấu Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ phơng trình - Biến đổi đa phơng trình dạng đà học - Giải phơng trình vừa tìm đợc - So sánh kết với ĐKXĐ kết luận nghiệm 4/ Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ bản: a/ Phơng pháp1: nâng lên luỹ thừa (Bình phơng lập phơng hai vế phơng trình ): Giải phơng trình dạng : f ( x) g ( x ) + / c¸c vÝ dơ : Ví dụ 1: Giải phơng trình : x  x  (1) §KX§ : x+1 0  x -1 Với x -1 vế trái phơng trình không âm Để phơng trình có nghiệm x-1 x 1.Khi phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : x+1 = (x-1)2 x2 -3x=  x(x-3) =  ChØ cã nghiÖm x =3 thoả mÃn điều kiện x Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x =3 Ví dụ 2: Giải phơng trình: x x 13 x  x x  13  x   x  0  x 0 13  ( 1) §KX§ :  0 3 x  x 1 13   x 13 (2) B×nh phơng hai vế (1) ta đợc : x (13  x )  x  27 x 170 Phơng trình có nghiệm x1 10 vµ x 17 ChØ cã x1 10 thoà mÃn (2) Vậy nghiệm phơng trình x 10 * Giải phơng trình dạng : f ( x)  h( x)  g ( x) VÝ dô 3: Giải phơng trình: x x 1   x 1   x (1) §KX§:  x 0  x 0 x 1 x     x Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc : x 2  x   x  x  x  0  1 Ph¬ng trình có nghiệm x Vậy nghiệm phơng trình x Ví dụ 4: Giải phơng trình: thoà m·n (2)  1 x   x (1) Lập phơng trình hai vế (1) ta đợc: x  x  33 ( x  1)(7  x) 8 (x-1) (7- x) =  x =-1 (đều thoả mÃn (1 ) x =7 (đều thoả mÃn (1 ) VËy x  1; x 7 lµ nghiƯm phơng trình * Giải phơng trình dạng : f ( x) Ví dụ5: Giải phơng trình x 1 - x = 12  x h( x )  g ( x)  x  = 12  x + x  x  0  12  x     x  0 §KX§: (1)  x    x 12   x 12 x Bình phơng hai vế ta ®ỵc: x- = (12  x)( x  7) (3) Ta thấy hai vế phơng trình (3) thoà mÃn (2) bình phơng vế phơng trình (3) ta đợc : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = Phơng trình có nghiệm x1 = 44 x2 = thoả mÃn (2) VËy x1 = 44 vµ x2 = nghiệm phơng trình * Giải phơng trình dạng : Ví dụ 6: Giải phơng trình : §KX§ :         x  x    x  x  x x x x     10         x 1 + f ( x)  x  10 = h( x )  x2 0 10 0 0 0  g (x ) q( x) + x  (1)  x ≥ -1 (2) Bình phơng hai vế (1) ta đợc : x+1 + x+ 10 + ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ +  2+ + ( x  2)( x  5) = ( x  2)( x  5) (3) Víi x -1 hai vế (3) dơng nên bình phơng hai vế (3) ta đợc ( x  1)( x  10) = 1- x §iỊu kiƯn x -1 (4) Ta việc kết hợp (2) (4) x = nghiệm nhầt phơng trình (1) + / Nhận xét : Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trình giảng dạy cần ý nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dơng a, b a = b a2n = b2n ngợc lại (n= 1,2,3 ) Từ mà ý điều kiện tồn căn, điều kiện hai vế phơng trình vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phơng pháp Ngoài phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp với nhiều phơng pháp khác lại với + / Bài tập áp dụng: x  = x- x  45 - x  16 =1 x  x 1 x x2  1   = x+ 4x =3 1 x = x 1+ 6 x -  (2 x  5) = 2x  b / Phơng pháp : đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : +/ Các vÝ dô : x + ( x  1)( x 10) x Ví dụ1: ĐKXĐ: Giải phơng tr×nh: x  24 x  16  x  9 x  24 x  16    x   (1) (3 x  4)  x 4  0x x Phơng trình (1) 3x  3 x   3 x  = -x + 4  x  4 x  x  x 2 0  Víi x= x = nghiệm phơng trình (đều thoả mÃn x ) Ví dụ : Giải phơng trình : x x 4 + x  x  16 = ĐKXĐ: x R Phơng trình tơng đơng : Lập bảng xét dấu : x x x- x- + x =5 - + - + + Ta xÐt c¸c kho¶ng : + Khi x < ta cã (2)  6-2x =5  x = 0,5(tho¶ m·n x  2) + Khi  x  ta cã (2)  0x + =5 v« nghiƯm + Khi x > ta cã (2)  2x – =5 x =5,5 (tho¶ m·n x > )  Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x = 0,5 vµ x = 5,5 VÝ dơ : Giải phơng trình: x x + x  x   = ; ĐKXĐ: x Phơng trình đợc viết lại : ( x 1)  x 14 + ( x  1)  x   = ( x   2) + x   3) =1 =1 (1) - NÕu  x < ta cã (1)  2- x  + - x  =  x  =2 x= không thuộc khoảng xét - NÕu  x  10 th× (1)  0x = Phơng trình có vô số nghiệm - Nếu x> 10 (1) -5 = phơng trinh vô nghiệm Vậy phơng trình có vô số nghiệm :  x  10 + NhËn xÐt : Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh song thùc tÕ cÇn lu ý cho häc sinh : -áp dụng đẳng thức A = A - Học sinh thờng hay mắc sai lầm lúng túng xét khoảng giá trị ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm + /.Bài tập áp dụng x + ( x 1 x  6x  + x  10 x  25 x  2x 1 + x  4x  x 34 x + =8 = x 8  x  4x  x =5 x   x  + x   x = 2 c.Phơng pháp : đặt ẩn phụ: + / Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x2 + 3x + x  3x  =33 §KX§ : x R Phơng trình đà cho tơng đơng víi: 2x2 + 3x +9 + x  3x - 42= (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > (Chó ý r»ng häc sinh thờng mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y) Ta đợc phơng trình : y2 + y – 42 =  y1 = , y2 = -7 Cã nghiÖm y =6 thoả mÃn y> Từ ta có x  3x  =6  2x2 + 3x -27 = Phơng trình có nghiệm x1 = 3, x2 = - Cả hai nghiệm nghiệm phơng trình đà cho Ví dụ 2: Giải phơng trình: x + x = 12 (ĐKXĐ : x o) Đặt x = y x = y2 ta có phơng trình y2 + y -12 = phơng trình có nghiệm y= y = - (loại)  x =  x = 81 lµ nghiệm phơng trình đà cho Ví dụ 3: Giải phơng trình: ĐKXĐ : Đặt x 0  x 0 3  x 1 ( x  1)(3  x ) + = x 1  x  x + 3 x  = t   t2 = + t2  (2) thay vào (2) ta đợc ( x  1)(3  x )  3 3 x t2 – 2t =  t(t-2) = - = (1) -1 ≤ x ≤ ( x  1)(3  x )  t 0  t + Với t = phơng trình vô nghiƯm +Víi t = thay vµo (2) ta cã : ( x  1)(3  x) =  x1 = -1; x2 = (thoả mÃn) Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x1 = -1và x2 = Ví dụ 4: Giải phơng trình : x  = 2( x2 + 2) Ta có Đặt x3 x = x = a 0 ; x  x 1 x  x 1 = b  vµ a2 + b2 = x2 + Phơng trình đà cho đợc viết 5ab = 2(a2 + b2) (2a- b)( a -2b) =  2a  b   a  2b 0   + Trêng hỵp: 2a = b 2 x 1 = x  x 1  4x + = x2 – x +1  x2 – 5x -3 = Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 = 5 37 ; x2 =  37 + Trêng hỵp: a = 2b  x 1 =2 x  x 1  x+ = 4x2 -4x + = 4x2 -5x + = phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x= Ví dụ 5: Giải phơng trình: Đặt x 37 5 vµ x= + (x+1) = x- + 37 1 x +3 = u  x = t ĐKXĐ: -1 x phơng trình (1) trở thµnh u + 2u2 = -t2 + t +3ut  (u –t ) + u(u-t) + (u-t) =  (u-t)(2u – t +1 ) = x 1 u t  2u  t  x 1  1 x    x 1 1  1 2 x   x   0  thoả mÃn điều kiện -1 x nghiệm phơng trình đà cho Ví dụ 6: Đặt Giải phơng trình: x x + x2 x x =  24 25 x 3 §KX§ : x 1 x  = t   x = t + phơng trình đà cho trở thành (t 1)  (1) 1 x2 + t 1 (t  1) + t  = t2 4 = t2 4 2   4t   t   0 t (t  1) t t ĐkXĐ: x Vậy phuơng đà cho cã nghiƯm x= 1vµ x= 2 0  x  x 5 1  + / Nhận xét : Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển dạng hữu tỉ Song để vận dụng phơng pháp phải có nhận xét,đánh giá tìm tòi hớng giải cách đặt ẩn nh cho phù hợp nh : Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phụ để đa biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) + / Bài tập áp dụng: 1/ x2 – + 2/ x 5/ x x2  - 2x x6 x x + =7 3/ = 20 x 4/ x = x2 -3 x3  =20 x = 2x2 – 6x +4 x  23 d Ph¬ng pháp : đa phơng trình tích : + / Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh: x  10 x  21 = x  + x  - (1) ĐKXĐ : x -3 Phơng trình (1) có dạng : ( x  3)( x  7) - x  + x  +6 = ( x   3) -2(  x 3 ( x   3) (       x   3) ) x 3  2) x   0 x   0  =3 =0  x  9   x  4 x x ĐKXĐ Vậy phơng trình ®· cho cã nghiƯm lµ x = 1; x = Ví dụ 2: Giải phơng trình: x + x =1 Đặt x2 Phơng trình (1)   3 t2 §KX§ : x  -2 = t  Khi dã  x = 3 t2 3 t2 +t=1 = 1- t  3- t3 = (1-t)  t3 - 4t2 + 3t + =0  (t-2) ( t2 -2t -1) = Từ phơng trình ta tìm đợc x=2 ; x= + 2 Ví dô3: = 2(x2 + 1) + 2x - (1) Giải phơng trình: Đặt (4x-1) x =y ; y  (1)  (4x-1) y = 2y2 + 2x -1 x 10 nghiệm phơng tr×nh (1)   2y2 - (4x -1) y + 2x – 1=  ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) =  (y- 2x+1) (2y- 1) = Giải phơng trình ta tìm ®ỵc x = ; x = VÝ dơ4:  u  1)  (u -1 ){ ( = ( u2 -1)  u  1) -  (u-1) (  (+)  lµ nghiƯm phơng trình (1) Giải phơng trình: ( x  )(  x  ) = 2x ĐKXĐ: -1 x (1) đặt  x = u (0  u  ) suy x = u2 -1 phơng trình (1) trë thµnh : (u -1 ) ( (+) (u+1)} =  u  2u  1) =0  u  0    u  2u   u-1 =  u =1 ( tho¶ m·n u  ) suy x = tho¶ m·n (1)  u  2u  =   u = 2u + 2u     ( 2u 1) u (thoả mÃn u )  5u2 + 4u - =  nªn cã x = u22 -1 = ( )2 – =  24 25 u1    0(loai )   u2  thoà mÃn điều kiện (1) Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x = x =  24 25 + /.NhËn xÐt : Khi sử dụng phơng pháp đa phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ ta cần ý bớc sau + Tìm tập xác định phơng trình + Dùng phép biến đổi đại số , đa phơng trình dạng f(x) g(x) .= (gọi ph.= (gọi ph ơng trình tÝch) Tõ ®ã ta suy f(x) = ; g( x) = ; ….= (gäi lµ ph ph ơng trình quen thuộc + Nghiệm phơng trình tập hợp nghiệm phơng trình f(x) = g( x) = ;.= (gọi ph thuộc tập xác định + Biết vận dụng,phối hợp cách linh hoạt với phơng pháp khác nh nhóm số hạng,tách số hạng đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn đa phơng trình dạng tích quen thuộc đà biết cách giải + /.Bài tập ¸p dông: 1/ x3  7x  =0 3/ x(x+5) = 11 x  5x   2/ x2  x  -2 = x2  x  4/ 2( x2 + 2x + 3) = x e Phơng pháp : đa hệ phơng trình : + /.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: 25 x Đặt: x x 3x  =2 (§KX§:  x2  15) 15  x = a (a 0) (* ) 25  x = b ( b  0) ( ** ) Từ phơng trình đà cho chuyển hệ phơng trình : 15 x b 2 a   b )( a  b ) ( a   0 a  b  2( a a  b   a  b   b)   a     b    Thay vào phơng trình (*) ta có 25 x2 = ĐkXĐ ) 49 Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x = Đặt (5 x )  x  ( x  3) x  Ví dụ 2: Giải phơng trình: x     x  x x  t (t  0) 51  x2 = 51  x=  51 ( = (1) (§KX§ :  x  5) u (u 0) Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình : t 2 u    ut  t  u Ví dụ3: ut = Giải phơng tr×nh:  u   t   x  x 3 5 (tháa m·n ®iỊu kiƯn ) Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= ;(§KX§: x  1) 2 x + x =   x u    x   t (t  0) Đặt Khi ta có u3 = – x ; t2 = x- nªn u3 + t3 = Phơng trình đà cho đơc đa hệ: Từ phơng trình (1) u = t Thay vào phơng trình (2) ta có : u  t 1(1)   t 1( 2) u ( – t )3 + t2 =  t( t2 - 4t + = t   t  4t    t   t 1 t 3 Từ ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x ) nghiệm phơng trình đà cho Ví dụ 4: Giải phơng trình: ( x 1) + ( x  1) + x = Đặt: x =a; ab = 3  a   b x x2  = b nªn ta cã: a2 = ( x  1) b2 = ( x 1) Ta đợc phơng tr×nh : a2 + b + ab = ( 1) x x ; Ta đợc phơng trình : a3 b3 = (2) 12 Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình :   b  ab 1 a    b3  a Tõ hƯ ph¬ng tr×nh ta suy a –b =  b = a Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = a =1 Từ ta đợc x = Vậy nghiệm phơng trình : x = + /.Nhận xÐt : Qua vÝ dơ trªn cho ta thÊy phơng pháp hệ phơng trình có điểm sáng tạo đặc thù riêng, đòi hỏi học sinh phải t phơng pháp đợc áp dụng cho học sinh , giỏi Ta cần ýmột số điểm sau: + Tìm điều kiện tồn phơng trình + Biến đổi phơng trình để xuất nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình việc giải hệ phơng trình quen thuộc Ngoài ngời học biết kết hợp phơng pháp với phơng pháp khác nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng đẳng thức + /.Bài tập áp dụng: Giải phơng trình sau : 1 x 2 + =2 = x3+  x2 2x  3 + 1 x x + 1 x =1 x  21 = 2x   x = x f / Phơng pháp :chứng tỏ tập giá trị hai vế rời , phơng trình vô nghiệm + /.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: x  - x  = x  (1) §KX§:   x  5 x 3 x  0  0  0   x    x   x     1   Víi x  th× x < 5x ®ã x  < x  Suy vế trái (1) số âm , vế phải số không âm Vậy phơng trình vô nghiệm Ví dụ2: Giải phơng trình: x  x  11  Mµ ( x  3)  ( x  3)  + + + x  x  13 + x  4x  =3+ ( x  3)  + ( x  2)  = 3+ ( x  3)  + ( x  2)   + 2 +1=3+ Vế phải phơng trình đà cho lớn vế trái Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm 13 (*) + /.Bài tập áp dông: x  - x  = 6 x + x2 = x2 - 6x +13 x  = x - x g / Phơng pháp : Sử dụng tính đối nghịch hai vế + /.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: 3x  x  + x  10 x  14 = – 2x – x2 (1) Ta cã vÕ tr¸i cđa (1) 3x  x  + x  10 x  14 = + 3( x  1)  5( x  1)   + =5 VÕ ph¶i cđa (1) : -2x –x2 = – (x + 1)2  VËy hai vÕ ®Ịu b»ng x = -1 Do phơng trình (1) có nghiệm x = -1 Ví dụ2: Giải phơng trình: x +  x = x2 -10x + 27 (1) §KX§:  x  XÐt vÕ ph¶i cđa (1) ta cã : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + với x vế trái cña (1) ( x 4 6 x )2  ( ( x  1)  (  ) 2 =1 hay x + V× phơng trình (1) có nghiệm :  10 x  27  2(*) x   x    x  2(**)  Giải phơng trình (*) ta dợc x = giá trị thoả mÃn (**) Vậy x =5 nghiệm phơng trình (1) + / Bài tập áp dụng : 3x  12 x  16 + y  y  13 = 2 3 x  x  12 x  x  3,5 + = x  10 x  = 3-4x -2x2 ( x  x  2)( x  x 4) h / Phơng pháp : sử dụng tính đơn điệu hàm số : + / Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng tr×nh : x  + x  = (1) §KX§: x  Ta thÊy x =3 nghiệm với phơng trình (1) Với x > th× x  > , x > nên vế trái (1) lớn Với x< x -1 -1  x  th× x  < 1, nên vế trái (1) nhỏ Vậy x= nghiệm phơng trình (1) Ví dụ 2: Giải phơng trình : x  28 + 23 x  23 + x + x = 14 x 1 + (1) =2 (1)  víi a,b > x¶y dấu = bất đẳng thức không chặt= bất đẳng thức không chặt a =b Dấu = bất đẳng thức không chặt= bất đẳng thức không chặt (1) xảy x= 4x   x2 - 4x +1 = (do x> Giải phơng trình ta tìm đợc x= (thoả mÃn ĐKXĐ) Vậy x= nghiệm phơng trình + / NhËn xÐt : 15 ) Khi sư dơng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần ý bớc sau : + Biến đổi phơng trình dạng f(x) = g(x) mà f(x)  a , g(x)  a (a lµ h»ng số ) Nghiệm phơng trình giá trị x thoả mÃn đồng thời f(x) =a g(x) = a + Biến đổi phơng trình dạng h(x) = m (m số ) mà ta có h(x) m h (x) m nghiệm phơng trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + áp dụng bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki + / Bài tËp ¸p dơng: x  x  12 =3- 3 x  12 x  13 19 x +5 x2  + 95 x  x 2 = x + 10  x x  x  15 = = x2 -12x + 40 x  x  11 x  x  18 iv/ KÕt qu¶ thực : 1/ Nhận xét: Trên giới thiệu với bạn số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, kết thu đợc rõ ràng đà vận nhiều dạng toán, ứng dụng toán Nếu nh rèn luyện cho học sinh dạng toán đà trang bị cho em lợng kiến thức nhỏ Trong chơng trình toán phổ thông nhiều phơng pháp Trên trình bày số phơng pháp thông dụng chơng trình trung học sở Tuy nhiên với dạng toán đối tợng tiếp thu cách dễ dàng, giáo viên phải khéo léo lồng vào tiết dạy nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho em làm quen dần Dạng toán có tác dụng tơng hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết t sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung = bất đẳng thức không chặtSáng tạo bất đẳng thức không chặt vấn đề Kết sau áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài thấy chất lợng qua kiểm tra đà đợc nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên rõ rệt Điểm dới §iĨm - §iĨm - §iĨm - 10 SL % SL % SL % SL % 12,5% 20 50% 10 25% 12,5% v / kết luận : 16 Trên số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ mà đà áp dụng giảng dạy thực tế trờng THCS cho học sinh đại trà nh trình ôn luyện , bồi dỡng học sinh giỏi Tôi đồng nghiệp đà thu đợc kết sau : + Häc sinh tiÕp thu bµi nhanh dƠ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập yêu thích môn toán + Học sinh tránh đợc sai sót bản, có kĩ vận dụng thành thạo nh phát huy đợc tính tích cực học sinh Tuy nhiên để đạt đợc kết nh mong muốn , đòi hỏi ngời giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ ®Õn kiÕn thøc míi tõ thĨ ®Õn tỉng qu¸t, từ dễ đến khó phức tạp ,phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Ngời thầy cần phát huy trọng tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh từ em có nhìn nhận bao quát, toàn diện định hớng giải toán đắn Làm đợc nh đà góp phần nâng cao chất lợng giáo dục nhà trờng Trong đề tài chắn không tránh khỏi hạn chế định Vậy mong đợc giúp đỡ nh góp ý thầy ,cô giáo cho để rút kinh nghiệm trình giảng dạy năm học sau Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách giải phơng trinh chửụng trỡnh ủaừ hoùc, ủửụùc hoùc rèn luyện kó thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo học sinh học toán §Ĩ hoàn thành đề tài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy nhận đợc giúp đỡ đồng nghiệp ,các thầy cô giáo tổ toán trờng THCS Phơng Đình giúp đỡ hớng dẫn hoàn thành đề tài c tài liệu tham khảo - SGK Toán 7-Nhà xuất GD 2003 - SGK Đại số 9-Nhà xuất GD - Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất GD 2001 17 - Toán bồi dỡng Đại số - Nhà xuất GD 2002 Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất GD 1995 Để học tốt Đại số - Nhà xuất GD 1999 Phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực - Nhà xuất GD 2002 23 chuyên đề toán sơ cấp - Nhà xuất trẻ 2000 Những đề thi tài liệu khác có liên quan Ngày 30 tháng năm 2009 Ngời viết Đinh Công Hải ý kiến nhận xét đánh giá xếp loại hội đồng khoa học së 18 ý kiÕn , xếp loại hđkh ngành gdđt huyện 19 ... sinh giải đợc số tập Giải đáp đợc thắc mắc, sữa chữa đợc sai lầm hay gặp giải phơng trình vô tỉ trình dạy học Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phơng pháp áp dụng thành thạo phơng pháp. .. ĐKXĐ phơng trình - Biến đổi đa phơng trình dạng đà học - Giải phơng trình vừa tìm đợc - So sánh kết với §KX§ råi kÕt ln nghiƯm 4/ Mét sè ph¬ng pháp giải phơng trình vô tỉ bản: a/ Phơng pháp1 :... häc sinh ë trêng THCS viÖc häc giải phơng trình vô tỉ Qua em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng định hớng giải toán sai lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích