Đang tải... (xem toàn văn)
cơ học là khoa học nghiên cứu chuyển động cơ học của vật chất. Trong đó, chuyển động cơ học là sự dời chỗ của vật chất từ vị trí này sang vị trí khác trong không gian, theo thời gian.
-1- phần mở đầu Cơ học nghiên cứu quy luật cân chuyển động vật thể dới tác dụng lực Cân hay chuyển động học trạng thái đứng yên hay dời chỗ cđa vËt thĨ kh«ng gian theo thêi gian so với vật thể khác đợc làm chuẩn gọi hệ quy chiếu Không gian thời gian độc lập với Vật thể học xây dựng dới dạng mô hình chất điểm, hệ vật rắn Cơ học đợc xây dựng sở hệ tiên đề Niu tơn đa tác phẩm tiếng " Cơ sở toán học triết học tự nhiên" năm 1687 - học đợc gọi học Niu tơn Cơ học khảo sát vật thể có kích thớc hữu hạn chuyển động với vận tốc nhỏ vận tèc ¸nh s¸ng C¸c vËt thĨ cã kÝch th−íc vÜ mô, chuyển động có vận tốc gần với vận tốc ánh sáng đợc khảo sát giáo trình học tơng đối Anhxtanh Trong trờng đại học kỹ thuật, học làm tảng cho môn học kỹ thuật sở kỹ thuật chuyên ngành nh sức bền vật liệu, nguyên lý máy, động lực học máy, động lực học công trình, lý thuyết tính toán máy nông nghiệp, lý thuyết ô tô máy kéo v.v Cơ học đà có lịch sử lâu đời với trình phát triển khoa học tự nhiên, thời kỳ phục hng sau đợc phát triển hoàn thiện dần Các khảo sát có tầm quan trọng đặc biệt làm tảng cho phát triển học công trình nhà bác học ngời ý Galilê (1564- 1642) Galilê đà đa định luật chuyển động vật thể dới tác dụng lực, đặc biệt định luật quán tính Đến thời kỳ Niutơn (1643- 1727) ông đà hoàn tất sở thống mở rộng học Galilê, xây dựng hệ thống định luật mang tên ông - định luật Niutơn Tiếp theo Niutơn Đalămbe (1717- 1783), ơle ( 1707 - 1783) đà có nhiều đóng góp cho học đại ngày -2ơle ngời đặt móng cho việc hình thành môn học giải tích mà sau Lagơrăng, Hamintơn, Jaccobi, Gaoxơ đà hoàn thiện thêm Căn vào nội dung đặc điểm toán khảo sát, chơng trình học giảng cho trờng đại học kỹ thuật chia thành phần: Tĩnh học, động học, động lực học nguyên lý học Tĩnh học nghiên cứu quy luật cân vật thể dới tác dụng lực Động học nghiên cứu quy luật chuyển động vật thể đơn mặt hình học Động lực học nghiên cứu quy luật chuyển ®éng cđa vËt thĨ d−íi t¸c dơng cđa lùc C¸c nguyên lý học nội dung học giải tích Cơ học giải tích phần động lực học hệ đợc trình bày theo hớng giải tích hoá Cơ học khoa học có tính hệ thống đợc trình bày chặt chẽ Khi nghiên cứu môn học đòi hỏi phải nắm vững khái niệm hệ tiên đề, vận dụng thành thạo công cụ toán học nh hình giải tích, phép tính vi phân, tích phân, phơng trình vi phân để thiết lập chứng minh định lý đợc trình bày môn học Ngoài ngời học cần phải thờng xuyên giải tập để củng cố kiến thức đồng thời rèn luyện kỹ áp dụng lý thuyết học giải toán kỹ thuật -3- Phần I Tĩnh Học Chơng Các khái niệm hệ tiên đề tĩnh học lý thuyết mô men lực ngẫu lực 1.1 khái niệm Tĩnh học nghiên cứu quy luật cân vật rắn tuyệt đối dới tác dụng lực Trong tĩnh học có hai khái niệm vật rắn tuyệt đối lực 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối vật thể có hình dạng bất biến nghĩa khoảng cách hai phần tử luôn không đổi Vật thể có hình dạng biến đổi gọi vật biến dạng Trong tĩnh học khảo sát vật thể rắn tuyệt đối thờng gọi tắt vật rắn Thực tế cho thấy hầu hết vật thể vật biến dạng Song tính chất biến dạng không ảnh hởng đến độ xác cần có toán xem nh vật rắn tuyệt đối mô hình tính toán 1.1.2 Lực định nghĩa lực Lực đại lợng đo tác dụng học vật thể với Lực đợc biểu diễn đại lợng véc tơ có ba yếu tố đặc trng: độ lớn (còn gọi cờng độ), phơng chiều điểm đặt Thiếu ba yếu tố tác dụng lực không đợc xác định Ta thờng dùng chữ có dấu véc tơ để ký hiệu r r r véc tơ lực Thí dụ lực P , F1 , N Với ký hiệu phải hiểu chữ dấu véc tơ ký hiệu độ lớn Thí dụ độ lớn r r r lực P , F N P, F, N Độ lớn lực có thứ nguyên Niu tơn hay bội số Kilô Niu tơn viết tắt (N hay kN) Sau giới thiệu số định nghĩa: -4Hệ lực: Hệ lực tập hợp nhiều lực tác dụng lên vật rắn Lực tơng đơng: Hai lực tơng đơng hay hai hệ lực tơng đơng hai lực hay hai hệ lực có tác động học nh Để biểu diễn hai lực tơng đơng hay hai hệ lực tơng đơng ta dùng dấu tơng đơng nh toán học r r r r r r r r ThÝ dơ hai lùc F vµ P tơng đơng ta viết F P Hai hệ lùc ( F1 , F2 , Fn ) vµ ( P1 , r r r r r r r r P2 , Pm ) tơng đơng ta viết ( F1 , F2 Fn ) ∼ ( P1 , P2 , Pm ) Hợp lực: Hợp lực hệ lực lực tơng đơng với hệ lực đà cho Thí r r r r r r r r dô nÕu cã R ∼ ( F1 , F2 , Fn ) R đợc gọi hợp lực hệ lực ( F1 , F2 , Fn ) HƯ lùc c©n bằng: Hệ lực cân hệ lực tơng đơng với không (hợp r r r lực kh«ng) ThÝ dơ: hƯ lùc ( F1 , F2 Fn ) cân r r r ( F1 , F2 Fn ) 1.2 Hệ tiên đề tĩnh học Tĩnh học đợc xây dựng sở sáu tiền đề sau đây: Tiên đề 1: (Hệ hai lực cân bằng) Điều kiện cần đủ để hai lực cân hai lực có độ lớn, r r r r phơng, ngợc chiều đặt lên vật rắn Ta có ( F1 , F2 ) ∼ F1 = - F2 Tiên đề : ( Thêm bớt hệ lực cân bằng) Tác dụng hệ lực lên vật rắn không đổi ta thêm vào bớt hệ lực cân Tiên đề 3: ( Hợp lực theo nguyên tắc hình r F2 r R bình hành) Hai lực đặt vào điểm vật rắn có hợp lực đợc biểu diễn đờng chéo hình bình hành mà hai cạnh hai lực đà cho r F1 Hình 1.1 -5r r Hình vẽ 1.1 Biểu diễn hợp lực hai lùc F1 , F2 VỊ ph−¬ng diƯn vÐc t¬ cã thÓ viÕt: r r r R = F1 + F2 Tiên đề 4: ( Lực tác dụng tơng hỗ) Lực tác dụng tơng hỗ hai vật rắn có độ lớn, phơng nhng ngợc chiều Tiên đề 5: (Tiên đề hoá rắn) Một vật không tuyệt đối rắn trạng thái cân hoá rắn giữ nguyên trạng thái cân ban đầu Tiên đề 6: ( Giải phóng liên kết) Trớc phát biểu tiên đề cần đa số khái niệm về: Vật rắn tự do, vật rắn không tự do, liên kết phản lực liên kết Vật rắn tự vật rắn có khả di chuyển theo phía quanh vị trí xét Nếu vật rắn bị ngăn cản hay nhiều chiều di chuyển đợc gọi vật rắn không tự Những điều kiện ràng buộc di chuyển vật rắn khảo sát gọi liên kết Trong tĩnh häc chØ xÐt liªn kÕt sù tiÕp xóc cđa vật rắn với (liên kết hình học) Theo tiên đề vật khảo sát vật liên kết xuất lực tác dụng tơng hỗ Ngời ta gọi lực tác dụng tơng hỗ vật liên kết lên vật khảo sát phản lực liên kết Để khảo sát vật rắn không tự ta phải dựa vào tiên đề giải phóng liên kết sau đây: Tiên đề:Vật rắn không tự xem nh vật rắn tự giải phóng liên kết thay vào phản lực liên kết tơng ứng Xác định phản lực liên kết lên vật rắn nội dung toán tĩnh học Sau giới thiệu số liên kết phẳng thờng gặp tính chất phản lực Liên kết tựa (vật khảo sát tựa lên vật liên kết): Trong dạng phản -6lực liên kết có phơng theo pháp tuyến chung hai mặt tiếp xúc Trờng hợp đặc biệt tiếp xúc điểm nhọn tựa lên mặt hay ngợc lại phản lực liên kết có phơng pháp tuyến với mặt điểm tiếp xúc ( Hình vÏ 1.2, 1.3, 1.4) r NC N r N C r NB r NA A B H×nh 1.2 H×nh 1.3 Hình 1.4 Liên kết khớp lề: Khớp lề di động ( hình 1.5) hạn chế chuyển động vật khảo sát theo chiều vuồng góc với mặt phẳng trợt phản lực liên kết có phơng vuông góc với mặt trợt Khớp lề cố định ( hình 1.6) cho phép vật khảo sát quay quanh trục lề hạn chế chuyển động vuông góc với trục quay lề Trong trờng hợp phản lực có hai thành phần vuông góc với trục lề ( hình 1.6) r R r N Y Yo X H×nh 1.5 O Xo Hình 1.6 Liên kết dây mềm hay cứng: (hình 1.7 hình 1.8) Các liên kết dạng hạn chế chuyển động vật thể theo chiều dây Phơng phản lực liên kết phơng dọc theo dây -7- r sA r T1 r T r T2 A r s r sB B Hình 1.7 Hình 1.8 Liên kết ngàm (hình 1.9) Vật khảo sát bị hạn chế di chuyển theo phơng mà hạn chế chuyển động quay Trong trờng hợp phản lực liên kết có lực mô men phản lực ( Khái niệm mô men lực đợc nói tới phần sau) Liên kết gót trục: ( hình 1.10) Vật khảo sát bị hạn chế chiều chuyển động theo phơng ngang, phơng thẳng đứng chuyển động quay quanh trục X Y phản lực liên kết có thành phần nh hình vẽ z YA ZA mA A XA mX mY YA y XA x H×nh 1.9 Hình 1.10 Các hệ suy từ hệ tiên đề tĩnh học Hệ 1: ( Định lý trợt lực) Tác dụng lực lên vật rắn A không đổi ta trợt lực dọc theo r FA r F 'B B r FB ®−êng tác dụng đến đặt điểm khác r Thật vậy: Cho lực F đặt A r vật rắn ( FA ) Ta đặt vào điểm B r đờng r r Hình 1.11 tác dụng F cặp lực cân ( FB , FB ) (hình 1.11) Theo tiên đề hai có -8thể viết: r r r r FA ∼ ( FA , FB , FB′ ) số A, B theo lực để điểm đặt lực đó, lực có độ lớn phơng r r Mặt khác theo tiên đề hai lực ( FA , FB ) cặp lực cân theo tiên đề hai bớt cặp lực vật, nghĩa là: r r r r r FA ∼ ( FA , FB , FB′ ) FB r Nh ta đà trợt lực F ban đầu đặt A dọc theo đờng tác dụng đặt B mà tác dụng học lên vật rắn không đổi Hệ 2: Hệ lực cân lực hệ lấy theo chiều ngợc lại hợp lùc cđa c¸c lùc r r r Chøng minh: Cho hƯ lùc c©n b»ng ( F1 , F2 , Fn ) Gi¶ sư ta lÊy ë hƯ r lực Fi đổi chiều sau cho tác dụng lên vật rắn Xét vật rắn chịu tác dung r lực - Fi Theo tiên đề thêm vào vật rắn hệ lực cân đà cho, tác dụng lên vật rắn không đổi, nghÜa lµ: r r r r r r - Fi ∼ (- Fi , F1 , F2 Fi Fn ) r r Trong hÖ (n+1) lùc ë vÕ phải có hai lực cân ( Fi , - Fi ) theo tiên đề r r ta bớt Fi , - Fi nghĩa lµ: r r r r r r - Fi ∼ ( F1 , F2 , Fi −1 Fi +1 Fn ) r r BiĨu thøc nµy chøng tá - Fi hợp lực hệ lực đà cho kh«ng cã Fi 1.3 Lý thut vỊ m« men lực ngẫu lực 1.3.1 Mô men lực tâm trục 1.3.1.1 Mô men lực tâm r r r Mô men lực F tâm O đại lợng véc tơ, ký hiệu m o (F) có: -9r - §é lín b»ng tÝch sè: F.d, víi F độ lớn lực F d khoảng cách từ r tâm O tới đờng tác dụng F gọi cánh tay đòn - Phơng vuông góc với mặt phẳng chứa tâm O lực F (mặt phẳng t¸c dơng) r r - ChiỊu h−íng vỊ phÝa cho nhìn từ đỉnh véc tơ m o (F) xuống r mặt phẳng tác dụng thấy véc tơ lực F chuyển động theo chiều mũi tên vòng quanh O theo ngợc chiều kim đồng hồ (hình 1.12) r r Dạ vào hình vẽ dễ dàng thấy ®é lín cđa vÐc t¬ m o (F) b»ng hai lần r diện tích tam giác OAB ( tam giác có đỉnh O đáy lực F ) r Với định nghĩa biểu diễn véc tơ mô men lực F tâm O biểu thøc sau: r r r r r m o (F) = OA x F = r x F r r Trong r véc tơ định vị điểm đặt lực F so với tâm O Trong trờng hợp mặt phẳng tác dụng mô men lực đà xác định, để đơn r giản ta đa khái niệm mô men đại số lực F tâm O nh sau: r Mô men đại số lực F tâm O đại lợng ®¹i sè ký hiƯu: mo = ± F.d r LÊy dấu dơng (+) nhìn vào mặt phẳng tác dụng thấy lực F quay theo chiều mũi tên vòng quanh O theo chiều ngợc kim đồng hồ (hình 1.13), lấy dấu trừ (-) trờng hợp quay ngợc lại (hình 1.14) Mô men đại số thờng đợc biểu diễn mũi tên vòng quanh tâm O theo chiều mô men -10- z r F B r B F A A(x,y,z) r r m o( F ) O r d 900 A 90 O y O r F d mo(F)=F.d mo(F)= - F.d H×nh 1.13 B H×nh 1.14 x Hình 1.12 1.3.1.2 Mô men lực trục r r Mô men lực F trục OZ đại lợng đại số ký hiệu mZ( F ) tÝnh r r theo c«ng thøc: mZ( F ) = F'.d' Trong F' hình chiếu lực F mặt phẳng vuông góc với trục Z d' khoảng cách tính từ giao điểm O trục Z r với mặt phẳng đến đờng tác dụng F ' (hình 1.15) Lấy với dấu (+) nhìn từ hớng dơng trục OZ sÏ thÊy h×nh chiÕu F' r B F '' Z quay quanh trục OZ ngợc chiều kim d đồng hå LÊy dÊu (-) tr−êng hỵp B1 r F' r FZ A () O ngợc lại Từ hình vẽ ta rút trị số mô men Hình 1.15 r lực F trục OZ hai lần diện tích tam giác OAB1 r 1.3.1.3 Quan hệ mô men lực F tâm O với trục qua O Trên hình 1.16 ta thấy: r mo( F ) = 2.diÖn tÝch (∆OAB) r mZ( F ) = diện tích (oa1b1) -11Vì oa1b1 hình chiếu tam giác OAB mặt phẳng vuông góc với trục Z O Nếu gọi góc hợp hai mặt phẳng OAB mặt phẳng r r oa1b1 góc góc hợp véc tơ mô men m o (F) với trơc OZ, ta cã: DiƯn tÝch ∆oa1b1 = diƯn tÝch B ∆OAB cosα r F z A d r r r hay mZ( F ) = m o (F) cosα r m z(F) α r F KÕt qu¶ cho thÊy mô men lực r F trục OZ hình chiếu véc tơ r mô men lực F lấy với điểm O b trục OZ chiếu trục OZ r m o(F) a d' Hình 1.16 1.3.2 Lý thuyết ngẫu lực 1.3.2.1 Định nghĩa yếu tố đặc trng ngẫu lực Định nghĩa: Ngẫu lực hệ hai lực song song ngợc chiều cờng độ r r Hình 1.17 biểu diễn ngẫu lực ( F1 , F2 ) Mặt phẳng chứa hai lực gọi mặt phẳng tác dụng Khoảng cách d đờng tác dụng hai lực gọi cánh tay đòn Chiều quay vòng lực theo đờng khép kín mặt phẳng tác dụng gọi lµ chiỊu quay cđa ngÉu lùc TÝch sè m = d.F gọi mô men r m ngẫu lực Tác dụng ngẫu lực đợc đặc trng ba yếu tố: A2 d A1 A2 - Độ lớn mô men m - Phơng mặt phẳng tác dụng r m H×nh 1.17 d A1 -12- ChiỊu quay cđa ngÉu ThiÕu ba yếu tố tác dụng ngẫu lực cha đợc xác định Để biểu diễn đầy đủ ba yếu tố ngẫu lực ta đa khái niệm véc r r tơ mô men ngẫu lực m Véc tơ mô men m có trị số tích số d.F có phơng vuông góc với mặt phẳng tác dụng, có chiều cho nhìn từ mút xuống mặt phẳng tác dụng thấy chiều quay ngẫu lực theo chiều ngợc kim đồng hồ r Với định nghĩa ta thấy véc tơ mô men m ngẫu lực véc tơ mô men hai lực thành phần lấy điểm đặt lực Theo hình 1.17 có thÓ viÕt: r r r r r r r m = m A1( F2 ) = m A2 ( F1 )= A1A x F2 = A2A1 x F2 1.3.2.2 Định lý mô men ngẫu lực Trong ngẫu lực, tổng mô men hai lực thành phần điểm đại lợng không đổi véc tơ mô men ngẫu lực r r Chøng minh: XÐt ngÉu lùc ( F1 , F2 ) biểu diễn hình 1.18 Chọn r r điểm O không gian, tổng mô men cđa hai lùc F1 , F2 lÊy víi O cã thÓ r r r r viÕt: mo (F1 ) + m o (F2 ) = r r r A1 r F1 r = OA1 x F1 + OA2 x F2 ; = OA1 x F1 - OA2 x F2 ; r r F2 A2 o = (OA1 - OA2) x F1 ; H×nh 1.18 r r = A2A1 x F1 = m Trong định lý điểm O kết luận tác dụng ngẫu lực không thay đổi ta rời chỗ không gian nhng giữ r nguyên độ lớn, phơng chiều véc tơ mô men m Cũng từ định lý rút hệ ngẫu lực tơng đơng sau -13HƯ qu¶ 1: Hai ngÉu lùc cïng n»m mét mặt phẳng có trị số mô men m chiều quay tơng đơng Hệ 2: Hai ngẫu lực nằm hai mặt phẳng song song trị số mô men, chiều quay tơng đơng với Thật hai trờng hợp ngẫu lực đảm bảo có véc tơ mô r men m nh− 1.3.2.3 Hỵp hai ngÉu lùc r r Định lý: hợp hai ngẫu lực có mô men m vµ m cho ta mét ngÉu lùc cã mô men M tổng hình học véc tơ mô men hai ngẫu lực đà cho Ta r r cã M = m + m r r Chøng minh: XÐt hai ngÉu lùc cã m« men m m nằm hai mặt phẳng Trên giao tuyến hai mặt phẳng lấy đoạn thẳng r r r A1A2 ngÉu lùc cã m« men m thay b»ng ngÉu lực ( F1 F2 ) nằm mặt phẳng r r r đặt vào A1A2 Ngẫu lực có m« men m thay b»ng ngÉu lùc ( p p 2) nằm mặt phẳng đặt vào A1A2 (hình 1.19) r m r m1 r m2 r F1 π2 r P2 r F2 r P1 r R1 r R2 π1 H×nh 1.19 r r r r r r Tại A1 hợp hai lực F1 , P1 đợc lực R Tại A2 hợp hai lực F2 P2 đợc lực R r r Do tính chất đối xứng dễ dàng nhận thấy hai véc tơ R R song song -14r r ngợc chiều có cờng độ Nói khác hai lực R R tạo thành ngẫu lực Đó ngẫu lực tổng hợp hai ngẫu lực đà cho r r r Gọi M mô men cña ngÉu lùc ( R R 2) ta cã: r r r M = A1A2 x R = A1A2 x R r r r r r r Thay R = F1 + P1 vµ R = F2 + P2 , suy ra: r r r r r M = A1A2 x ( F2 + P2 ) = A1A2 x F2 + A1A2 x P2 , r r r r r r r M = m A1 ( F2 ) + m A1( P2 ) = m + m Tr−êng hỵp hai ngÉu lực nằm mặt phẳng Khi mô men ngẫu lực đợc biểu diễn mô men đại số Theo kết trên, ngẫu lực tổng hợp trờng hợp nằm mặt phẳng tác dụng hai ngẫu lực đà cho có mô men tổng đại số mô men ngẫu lực thành phần: M = (m1 m2) ... ) = r r r A1 r F1 r = OA1 x F1 + OA2 x F2 ; = OA1 x F1 - OA2 x F2 ; r r F2 A2 o = (OA1 - OA2) x F1 ; H×nh 1. 18 r r = A2A1 x F1 = m Trong định lý điểm O kết luận tác dụng ngẫu lực không thay... a d'' Hình 1. 16 1. 3.2 Lý thuyết ngẫu lực 1. 3.2 .1 Định nghĩa yếu tố đặc trng ngẫu lực Định nghĩa: Ngẫu lực hệ hai lực song song ngợc chiều cờng độ r r Hình 1. 17 biểu diễn ngẫu lực ( F1 , F2 ) Mặt... cân ( Fi , - Fi ) theo tiên đề r r ta bớt Fi , - Fi nghĩa là: r r r r r r - Fi ∼ ( F1 , F2 , Fi ? ?1 Fi +1 Fn ) r r BiĨu thøc nµy chøng tá - Fi lµ hợp lực hệ lực đà cho Fi 1. 3 Lý thuyết mô men