Đang tải... (xem toàn văn)
Truyền nhiệt là một môn khoa học nghiên cứu luật phân bố nhiệt độ và các luật trao đổi nhiệt(TĐN) trong không gian và theo thời gian giữa các vật có nhiệt độ khác nhau.
CHƯƠNG DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 2.1 ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT 2.1.1 Thiết lập định luật Fourier dẫn nhiệt Định luật Fourier định luật dẫn nhiệt, xác lập quan hệ vectơ q gr adt Để thiết lập định luật ta tính nhiệt lượng δ Q dẫn qua mặt dS nằm lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS đoạn x quảng đường tự trung bình phân tử, Hình Để tìm dịng nhiệt q thời gian dτ , hình H2 Vì T1 T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 vận tốc trung bình ω phân tử lớp , bằng: d 2n = i n ωdSdτ Lượng lượng qua dS từ T1 đến T2 d E = E 1d n = i kT1 n ωdSdτ d E = E 2d n = 1 kT2 n ωdSdτ , k = Rµ NA = 8314 = 1,3806.10 − 23 J / K số Boltzmann, NA số 6,02217 phân tử kmol chất khí (số Avogadro), I số bậc tự cảu phân tử chất khí Trừ đẳng thức cho nhau, thu lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng: δ Q = ( E − E )d n = i k (T1 − T2 ) n ωdSdτ ⎛ ∂T ⎞ ⎟2 x ⎝ ∂x ⎠ Vì T1 − T2 = −⎜ Rµ ⎛ i i µ ⎞⎛ i R µ ⎟⎜ n 0k = n = ⎜n0 6 N A ⎜ N A ⎟⎜ µ ⎠⎝ ⎝ ⎞ ⎟ = ρC v nên có: ⎟ ⎠ ⎛1 ⎞ ∂T δ Q = −⎜ ρC v ωx ⎟ dSdτ , ddawtj λ = ρC v ωx ⎝3 ⎠ ∂x có δ2Q ∂T = q x = −λ δSsτ ∂x Đây dịng nhiệt theo phương x Khi dS có vị trí bất kỳ, véctơ dịng nhiệt qua ⎛ ∂T ∂T ∂T ⎞ + j + k ⎟ = −λgr adT dS q = −λ⎜ i ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎝ ⎠ 2.1.2 Phát biểu hệ định luật Fourier Định luật Fourier phát biểu, vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ gradien nhiệt độ Biểu thức dạng vectơ q = −λgr adt , dạng vô hướng q = −λgradt = −λt n (M) Dấu (-) vectơ ngược chiều Nhờ định luật Fourier, biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), tính cơng suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức Q = ∫∫ S − λgradt.dS tìm lượng nhiệt Qτ [J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức τ Qτ = ∫ ∫∫ S − λgradtdSdτ , [J] 2.1.3 Hệ số dẫn nhiệt Hệ số dẫn nhiệt hệ số định luật Fourier: λ= q q , [W/mK] = ∂t gradt ∂n Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt vật liệu Với chất khí, theo chứng minh trên, có 1⎛ p ⎞ 8kT ⎛ kT ⎞ 2C v ⎜ ⎟= λ = ρC v ωx = ⎜ ⎟C v πm ⎜ π 2d p ⎟ 3Rd 3 ⎝ RT ⎠ ⎝ ⎠ k 2T π3 m Hệ số dẫn nhiệt λ khí lý tưởng khơng phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng tăng nhiệt độ tăng CV, λ giảm tăng số chất khí, R = Rµ µ , tăng đường kính d tăng khối lượng m phân tử chất khí Với vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, xác định thực nghiệm cho bảng công thức thực nghiệm tài liệu tham khảo Ví dụ, trị trung bình hệ số λ số vật liệu thường gặp nêu bảng Vật liệu λ[W/mK] Vật liệu λ[W/mK] Bạc 419 Thuỷ tinh 0,74 Đồng 390 Gạch khô 0,70 Vàng 313 Nhựa PVC 0,13 Nhôm 209 Bông thuỷ tinh 0,055 Thép Cacbon 45 Polyurethan 0,035 Yhép CrNi 17 Khơng khí 0,026 Bảng Hệ số dẫn nhiệt trung bình vật liệu thường dùng 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT 2.2.1 Nội dung ý nghĩa PTVPDN PTVPDN phương trình cân nhiệt cho vi phân thể tích dV nằm hồn tồn bên vật V dẫn nhiệt PTVPDN phương trình để tìm trường nhiệt độ t(M, τ) V, cách tính phương trình 2.2.2 Thiếtt lập PTVPDN Xét cân nhiệt cho vi phân thể tích dV Hình Cân nhiệt cho dV bao quanh điểm M(x,y,z) bên vật V, có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt qv , dòng nhiệt qua M q Định luật bảo toàn lượng cho dV phát biểu rằng: [Độ tăng enthalpy dV] = [hiệu số nhiệt lượng (vào - ra)dV]+ [lượng nhiệt sinh dV] Trong thời gian giây, phương trình có dạng : ρdVC p ∂t = −divq.dV + q v dV hay ∂τ ∂t = (q v − divq ) ∂τ ρC p Theo định luật Fourier q = −λgr adt , λ = const ta có ⎡ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞⎤ divq = div(−λgr adt ) = −λ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎥ = −λ∇ t ⎜ ⎟ ⎣ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠⎦ ⎧ ∂2t ∂2t ∂2t ⎪ + + (Trong taûo âäü vuäng goïc (xyz)) ∂z ∂y ⎪ ∂x ∂2t ∂2t ⎪ ∂ t ∂t với ∇ t = ⎨ + Trong toả âäü trủ (r, ϕ, z) + + r ∂r r ∂ϕ ∂z ⎪ ∂r2 cos θ ∂t ∂2t ∂2t ⎪ ∂ t ∂t , toả âäü cáưu (r, ϕ, θ) + + 2 + + ⎪ ∂r r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin θ∂ϕ ⎩ gọi toán tử Laplace hàm t(M) PTVPDN phương trình kết hợp định luật nói trên, có dạng: ∂t λ ⎛ qv λ ⎞ ⎛q ⎞ [m2/s] gọi hệ số khuếch = + ∇ t ⎟ = a ⎜ v + ∇ t ⎟ , với a = ⎜ ∂τ ρC p ⎝ λ λ ρC p ⎠ ⎠ ⎝ tán nhiệt, đặc trưng cho mức độ tiêu tán nhiệt vật 2.2.3 Các dạng đặc biệt PTVPDN Phuơng trình VPDN tổng quát [ ] ∂T = q V − div(−λgr adt ) có dạng đơn ∂τ ρc P giản hơn, cần đáp ứng đủ điều kiện đặc biệt sau đây: 1) Vật V khơng có nguồn nhiệt, qv = 0, 2) Với λ = const, ∀M(x,y,z) ∈ V, ( ∂t = div λgr adt ∂τ ρC p ) ∂t = a∇ t ∂τ 3) Nếu nhiệt độ ổn định V, ∂t = ∀M∈V, ∇ t = ∂τ 4) Khi trường t(M) ổn định chiều : t(x) toạ độ vng góc tìm theo t(r) toạ độ trụ tìm theo t(r) tạo độ cầu tìm theo d2t =0 dx d t dt + =0 dr r dr d t dt + =0 dr r dr 2.3 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ Phương trình vi phân dẫn nhiệt phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ) Nghiệm tổng quát thu cách tích phân phương trình ln chứa số số tuỳ ý chọn Để xác định nghiệm riêng PTVPDN, cần cho trước số điều kiện, gọi chung điều kiện đơn trị Điều kiện đơn trị tập hợp điều kiện cho trước , đủ để xác định nghiệm hệ phương trình 2.3.1 Phân loại điều kiện đơn trị Theo nội dung, điều kiện đơn trị phân loại sau 1) Điều kiện hình học: Cho biết thơng số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thước vị trí hệ vật V 2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định thông số vật lý điểm M ∈V, tức cho biết (ρ, λ, a, qv, …)= f(M∈V, t) 3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ thời điểm đầu τ = điểm M∈V, tức cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z) 4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ luật cân nhiệt điểm M biên W vật V thời điểm khảo sát Nếu ký hiệu dòng nhiệt dẫn vật V đến M ∈ W q λ = −λ ∂t = −λt n (M) mơ tả tốn học ∂n điều kiện biên có dạng: 10 t w = t (M, τ) hoàûc⎫ ∀M ∈ W ∈ V ⎬ q λ = −λt n (M ) = q (M, τ, t (M ))⎭ ∀τ ∈ ∆τ xeït Điều kiện hình học, điều kiện vật lý điều kiện biên cần phải cho trước toán Riêng điều kiện đầu cần cho tốn khơng ổn định, có chứa biến thời gian τ 2.3.2 Các loại điều kiện biên Trên biên Wi vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với mơi trường mà V tiếp xúc, người ta cho trước loại điều kiện biên khác Bảng sau tóm tắt ý nghĩa vật lý tốn học, minh hoạ hình học trường hợp đặc biệt loại điều kiện biên quanh vật V Bảng Các loại điều kiện biên Loại ĐKB Ý nghĩa vật lý hay thông số cho trước Mơ tả tốn học mơ tả hình học hay Trường hợp hay pt CBN đồ thị (t-x) đặc biệt tw1 = tf W1 Cho nhiệt độ tW1 tw1 = t(M1, τ) ∀M1∈W1∈V tiếp xúc chất lỏng có α lớn q = const Cho dịng nhiệt q qua ∀M2 ∈W2∈V ↔γ=const -λtn(M2) = q(M2, q=0 ↔W2 τ) mặt đối xứng cách nhiệt 11 α = ↔ W3 cách nhiệt Cho mặt W3 toả nhiệt chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số đối xứng -λtn(M3)= α = ∞ ↔t(M3) α(t(M3),tf) =tf W3 biến thành W1 Khi α (λ,α,tf) = const ↔ R cố định Cho W4 tiếp xúc vật V2 đứng yên, có t2 = const↔W4 − λt n ( M ) = - biến thành W1 λ2t2n(M4) (λ1, λ2 )=const↔gó c λ2 , t2 Cho W5 hoá γ=const − λt n ( M ) = rắn từ pha ∂x ρrc − λ f t fn (M ) lỏng có thơng ∂τ số (ρ, rc, λf, tf) W5 di động với tốc độ hoá rắn ∂x ∂τ Mặt bao chân cho W6 tiếp xúc chân khơng khơng có nhiệt -λTn(M6)= độ Tc – εδ0T4(M6) λTn(M6) = εδ0[T2(M6)Tc2] 12 Cho W7 tiếp xúc chất khí có thơng số (Tk, ε) Quy trao đổi -λTn(M7)=α nhiệt phức hợp [T(M7)- Tk]+ -λTn(M7)=αph εδ0[T4(M7) - T4k ] [t(M7)- Tk] Mô tẳ toán học cho loại điều kiện biên phương trình cân dịng nhiệt vào điểm M biên Phương trình mơ tả điều kiện biên loại 2, 3, 4, phương trình vi phân tuyến tính cấp t tn Phương trình mơ tả điều kiện biên loại phương trình phi tuyến, chứa T4 chưa biết 2.3.3 Mơ hình tốn dẫn nhiệt Ở dạng tổng qt, tốn dẫn nhiệt mơ tả hệ phương trình vi phân (t) gồm phương trình vi phân dẫn nhiệt phương trình mơ tả điều kiện đơn trị nêu mục 2.3., có dạng ⎧ ∂t ⎛ qv ⎞ ⎪ ∂τ = a ⎜ ∇ t + λ ⎟, ∀M ∈ V ⎝ ⎠ ⎪ ⎪Miãön xạc âënh v thäng säú váût l ca ∀M ∈ V ⎪t = t (M , τ), ∀M ∈ W 1 ⎪ W1 ⎪− λt n (M ) = q(M , τ), ∀M ∈ W2 ⎪ ⎨− λt n (M ) = α[ t (M ) − t f ], ∀M ∈ W3 ⎪ Hình Mơ hình tổng qt ⎪− λt n (M ) = −λ t n (M ), ∀M ∈ W4 toán dẫn nhiệt t(x,y,z,τ) dx ⎪ ⎪− λt n (M ) = −λ n t n (M ) + ρrc dτ , ∀M ∈ W5 ⎪ ⎪− λt n (M ) = εδ T (M ), ∀M ∈ W6 ⎪− λt n (M ) = α[ t (M ) − t k ] + εδ [T (M ) − Tk4 ], ∀M ∈ W7 ⎩ Giải tốn dẫn nhiệt tìm hàm phân bố nhiệt độ t(M(x,y,z),τ) thoả mãn phương trình hệ (t) nói Việc gồm có bước tích phân phương trình vi phân dẫn nhiệt để tìm nghiệm tổng quát, sau xác định số theo phương trình mơ tả điều kiện đơn trị 13 2.4 DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng toán đơn giản truyền nhiệt Tuỳ theo kết cấu vách điều kiện biên, toán dãn nhiệt phân loại sau 2.4.1 Vách phẳng lớp có biên loại 2.4.1.1 Phát biểu toán Cho vách phẳng dày δ rộng vô hạn, làm vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt bên tiếp xúc với chất lỏng có nhiệt độ khác tf1 > tf2 , với hệ số toả nhiệt vào vách α1, α2 Tìm phân bố nhiệt độ t(x) vách Hình Trường t(x) vách phẳng có 2W3 dịng nhiệt q(x) qua vách Theo toán học, phát biểu tương đương với việc tìm hàm t(x), ∀x∈[0,δ ] nghiệm hệ phương trình (t) sau ⎧ d2t ⎪ =0 ⎪ dx (t) ⎨α1 [ t f − t (0)] = −λt x (0) ⎪− λ t (δ) = α [ t ( δ) − t ] x f2 ⎪ ⎩ (1) ( 2) (3) 2.4.1.2 Tìm phân bố nhiệt độ t(x) 1) Tìm nghiệm tổng qt cách tích phân phương trình (1), ta có : t ( x ) = ∫∫ dx = C1 x + C 2) Xác định C1 , C2 theo điều kiện biên (2) (3) − (t f − t f ) ⎧ , [ K / m] ⎪C1 = λ λ α [ t f − C ] = − λ C1 ⎫ ⎪ +δ+ α1 α2 ⎬⇒⎨ − λC1 = α [C1δ + C − t f ]⎭ ⎪ λ C1 , [ K ] ⎪C = t f + α2 ⎩ 14 Phân bố nhiệt độ vách t(x)= tf1 - t f1 − t f λ λ +δ+ α1 α2 (x + λ ) α1 Bằng cách thay x δ, ta dễ dàng tìm nhiệt độ mặt vách Đồ thị t(x) mmột đoạn thẳng qua điểm định hướng R1(-λ/α1, tf1) R1(δ + λ/α2, tf2) hình H 2.4.1.3 Tìm dịng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có q(x) = -λgradt(x) = -λC1 = const, ∀x hay q = Nếu gọi R = q= t f1 − t f , [W/m2] δ + + α1 λ α δ + + , [m2K/W], nhiệt trở dẫn nhiệt vách phẳng, có α1 λ α V − V2 t f −t f , tương tự cơng thức tính dịng điện I = R Rđ 2.4.2 Vách phẳng có biên loại Biên loại trường hợp đặc biệt biên loại 3, mặt vách tiếp xúc với chất lỏng thực có hệ số toả nhiệt α lớn Theo phương trình cân nhiệt cho biên loại 3, α(tw-tf) = -λtn ,vì qλ = -λtn hữu hạn,nên α → ∞ (tw-tf) → 0, tức tW = tf cần thay tw = tf 1/α =0 vào kết nêu trên, ta tìm t(x) q(x) cho tốn biên loại Ví dụ: toán biên hỗn hợp (W1 + W3) toán biên W1 có lời giải sau: t W1 − t f ⎧ ⎪t(x) = t W1 − λ δ+ ⎪ ⎪ α2 1) Khi α1 = ∞ thỗ t W1 t f q= δ ⎪ + ⎪ λ α2 ⎩ t −t ⎧ t(x) = t W1 − W1 f x ⎪ δ ⎪ t W1 − t f 2) Khi = = thỗ q= ⎪ δ ⎪ λ ⎩ 15 2.4.3 Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ Phương trình cân nhiệt vách có λ(t) phụ thuộc t có dạng q ( x ) = −λ ( t ) dt Khi , tìm t(x) theo phương trình tích phân dx ∫ λ(t )dt = −∫ q(x )dx Khi cho phép tính gần đúng, cố thể dùng cơng thức tính t q nêu trên, coi λ số, trị trung bình tích phân khoảng nhiệt độ t2 [t1, t2] vách, λ = λ( t )dt t − t1 ∫ t1 Ví dụ, λ(t) có dạng bậc t2 t1 + t λ= ∫1 (a + bt )dt = a + b t − t1 t t2 t +t t + t1t + t 2 (a + bt + ct )dt = a + b + c λ= t − t1 ∫ t1 2.4.4 Vách phẳng n lớp 2.4.4.1 Phát biểu toán Cho vách phẳng n lớp, lớp i có δi , λi khơng đổi, hai mặt ngồi tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 chất lỏng lạnh có tf2, α2 khơng đổi Tìm dịng nhiệt q qua vách, nhiệt độ mặt tiếp xúc ti phân bố nhiệt độ ti(x) lớp Hình Vách phẳng n lớp 2.4.4.2 Xác định q, ti, ti(x) Khi ổn định, dòng nhiệt q qua lớp bất biến, có hệ phương trình: q= α1(tf1 – t0) = t i − t i +1 , (∀i = ÷ n ) = α( t n − t f ) δi / λ i 16 Đây hệ (n+2) phương trình bậc ấnố q (n+1) ẩn số ti, ∀i=1÷n Bằng cách khử ti tìm q, sau tính ti xác định ti(x) vách lớp với biên loại 1, ta có: δ q ⎧ tn = tf2 + , t i = t i +1 + i q, ∀i = (n − 1) ÷ ⎪ λi α2 ⎪ t f1 − t f ⎪ , [W/m ] ⎨q = n δi ⎪ +∑ + α1 i =1 λ i α ⎪ ⎪ ⎩t i ( x ) = t i − ( t i − t i +1 ) x / δ i , ∀i = ÷ n Phân bố nhiệt độ vách phẳng nhiều lớp có dạng đoạn thẳng gãy khúc, giống biên loại Khi vách có biên loại λ phụ thuộc t, thay tw = tf, 1/α = λ = λ = const vào công thức 2.5 DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU 2.5.1 Vách trụ lớp có biên w3 2.5.1.1 Phát biểu tốn Cho ống trụ đồng chất dài vơ cùng, bán kính r2/r1, hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 , mặt r2 tiếp xúc chất lỏng nguội có tf2, α2 Tìm phân bố nhiệt độ t(r) vách lượng nhiệt qua vách Mơ tả hình học toạ độ trụ có dạng Hình Trường t(r) ống trụ có Hình 2W3 Phát biểu tốn học giải hệ phương trình sau: 17 ⎧ d t dt =0 (1) ⎪ + r dr ⎪ dr ( t )⎨α [ t f − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2) ⎪− λt (r ) = α [ t (r ) − t ] (3) r 2 f2 ⎪ ⎩ 2.5.1 Tìm trường nhiệt độ t(r) 1) Tích phân phương trình (1) theo bước sau: Đổi biến u = rdu + udr d(ur ) du u dt → Phương trình (1) có dạng = =0 → + = 0→ rdr rdr dr r dr d(ur)=0→ur=C1→ u = C1 dt dr = → t (r ) = ∫ C1 = C1 ln r + C r r dr 2) Xác định C1, C2 theo hệ phương trình (2), (3): − (t f − t f ) ⎧ C ⎫ ⎪ C1 = , [K ] α1 [ t f − C1 ln r1 − C ] = −λ r2 λ λ ⎪ ⎪ + ln + r1 ⎪ α r1 r1 α r2 ⎬⇒⎨ C1 ⎪ ⎪ −λ = α [C1 ln r2 + C − t f ] λ − ln r1 ), [K ] ⎪ ⎪C = t f + C1 ( r2 ⎭ α1 r1 ⎩ Phân bố nhiệt độ ống trụ t (r ) = t f − t f1 − t f r λ λ + ln + r1 α r2 α r1 ⎛ r λ ⎞ ⎜ ln + ⎟ ⎜ r αr ⎟ 1 ⎠ ⎝ Đồ thị t(r) có dạng logarit, tiếp tuyến r1 qua điểm R1(r1-λ/α1, tf1), tiếp tuyến r2 qua điểm R2(r2+λ/α2, tf2) 2.5.1.3 Tính nhiệt qua vách trụ Dịng nhiệt qua 1m2 mặt trụ đẳng nhiệt bán kính r q(r) = -λtr(r) = -λC1/r , [W/m2] q(r) hàm giảm r tăng, không đặc trưng cho vách trụ 2) Lượng nhiệt truyền qua m dài ống trụ, ký hiệu q l , định nghĩa là: ql = ql = lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l , [W/m] C q (r ).2πrl = −λ 2πr = 2πλC1 = const , ∀r l r Thay C1bởigiá trị trên, thu được: 18 ql = t f1 − t f , [W/m] r2 1 + ln + 2πr1α1 2πλ r1 2πr2 α Vì q l = const, ∀r, nên q l đ ược dùng để đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ d 1 Đại lượng R = + ln + l πd α 2πλ d πd α 1 , [mK / W ] gọi nhiệt trở dẫn nhiệt 1m ống trụ 2.5.2 Vách trụ có biên hỗn hợp Khi α→∞ thay tw = tf 1/α = vào để có lời giải cho toán vách trụ biên hỗn hợp (W1+ W3) hoăck biên W1 sau: 1) Khi α1 = ∞ t w1 − t f r ⎧ ln ⎪ t ( r ) = t w1 − r λ r1 ln + ⎪ r1 α r2 ⎪ ⎨ t w1 − t f ⎪q l = r 1 ⎪ ln + ⎪ 2πλ r1 2πr2 α ⎩ t −t r ⎧ t (r ) = t w1 − w1 W ln ⎪ r r1 ln ⎪ ⎪ r1 2) Khi α1 = α1 = ∞ ⎨ t −t ⎪q l = w1 f r ⎪ ln ⎪ 2πλ r1 ⎩ 2.5.3 Vách trụ n lớp 2.5.3.1 Phát biểu toán Cho ống trụ n lớp, lớp i có ri / ri+1 λi khơng đổi, mặt r0 tiếp xúc với chất lỏng nóng có tf1, α1, mặt rn tiếp xức với chất lỏng lạnh có tf2, α2 kh ơng đổi Tìm lượng nhiệt q l , nhiệt độ ti Hình Trường t(r) ống trụ n lớ 19 mặt phân bố ti(n) lớp i, ∀i = ÷ n 2.5.3.2 Xác định q l , ti ti(r) Khi ổn định, phương trình cân nhiệt cho 1m ống trụ : q l = α1[tf1 – t0]2πr1 = t i − t i +1 , (∀i = ÷ n ) = α ( t n − t f )2πrn ri +1 ln 2πλ i ri Đây hệ (n+2) phương trình bậc ẩn q l (n+1) ẩn ti Bằng cách khử ti để tính q l , sau tìm ti theo q l xác định ti(r) vách có 2W1, thu được: ⎧ t f1 − t f ql = ⎪ n r 1 ⎪ +∑ ln i +1 + 2πr1α1 i =1 2πλ i ri 2πrn α ⎪ ⎪ ql q r ; t i = t i −1 − l ln i , ∀i = ÷ n ⎨t = t f − 2πr1α1 2πλ i ri −1 ⎪ t i − t i +1 r ⎪ ln , ∀i = ÷ n t i (r) = t i − ⎪ ri +1 ri ln ⎪ ri ⎩ 2.5.4 Dẫn nhiệt qua vách cầu 2.5.4.1 Phát biểu toán Cho vách cầu đồng chất, bán kính r2/r1 có hệ số dẫn nhiệt λ khơng đổi, mặt r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 mặt r2 tiếp xúc chất lỏng lạnh có tf2, α2 khơng đổi Tìm phân bố nhiệt độ t(r) lượng nhiệt Q qua vách Trong toạ độ cầu, trường t(r) xác định hệ phương trình (t) sau: Hình 10 Phân bố t(r) vách cầu 20 ⎧ d t dt (1) =0 ⎪ + r dr ⎪ dr ( t )⎨α [ t f − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2) ⎪− λt (r ) = α [ t (r − t )] (3) r 2 f2 ⎪ ⎩ 2.5.4.2 Tìm phân bố t(r) 1) Tìm nghiệm tổng quát theo bước: Đổi biến u = dạng : u= dt → phương trình (1) có dr du u du dr +2 =0→ + = → tích phân lần có lnu + 2lnr = ln(ur2) =lnC1 → dr u r r C1 dt = → tích phân lần có : t(x) = r dr C1 ∫r dr = − C1 + C2 r 2) Tìm C1, C2 theo điều kiện biên (2) (3): t f1 − t f ⎧ [Km] ⎛ ⎞ C1 C1 ⎫ ⎪C1 = ⎛ α1 ⎜ t f + − C ⎟ = −λ ⎪ ⎪ ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ λ⎜ r1 r1 ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎜ α r2 + α r2 ⎟ + ⎜ r − r ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬⇒⎨ 2 ⎠ ⎝ 11 ⎝ 2⎠ ⎛ C ⎞ C − λ 21 = α ⎜ − + C − t f ⎟⎪ ⎪ ⎜ r ⎟⎪ ⎪C = t − C ⎛ λ + ⎞ ⎟ ⎜ [K ] r2 f1 1⎜ ⎝ ⎠⎭ ⎪ α r12 r1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎩ Phân bố nhiệt độ vách cầu t (r ) = t f − ⎛1 t f1 − t f 1⎞ ⎜ + ⎜ r α r2 + r ⎟ ⎟ ⎛ 1 ⎞⎝ λ 1 ⎠ + +⎜ + ⎟ α r12 α r22 ⎜ r1 r2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ λ ⎞ ⎝ ⎠ Đồ thị t(r) đường hyperbol có tiếp tuyến biên qua điểm R ⎜ r1 − , t f ⎟ ⎟ ⎜ α ⎛ ⎞ λ ,tf2 ⎟ R ⎜ r2 + ⎜ ⎟ α2 ⎝ ⎠ 2.5.4.3 Tính cơng suất nhiệt Q truyền qua vỏ cầu Q = q(r).π(2r2)=- λ C1 4πr2 = -4πλC1 = const, ∀r r Thay C1 giá trị nêu trên, ta có: 21 Q= t f1 − t f , [W] ⎛ 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟+ + 4π ⎜ α r12 α r22 ⎟ 4πλ ⎜ r1 r2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Khi vách cầu có biên loại W1 Q = t W1 − t W2 ,[W ] ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πλ ⎜ r1 r2 ⎟ ⎝ ⎠ Khi vách cầu có n lớp với biên W3, sau giải hệ phương trình Q = α ( t f − t f )4πr02 = ( t i − t i +1 )4πλ i , (∀i = ÷ n ) = α ( t n − t f )4π 1 + ri ri +1 tìm được: Q= t f1 − t f ⎛ 1 ⎞ n ⎜ ⎟+∑ + 4π ⎜ α r12 α r22 ⎟ i =1 4πλ i ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ ⎜ − ⎜r r ⎟ ⎟ i +1 ⎠ ⎝ i ,[w ] Nhiệt độ mặt ti trường ti(r) lớp xác định 2.6.DẪN NHIỆT QUA THANH HOẶC CÁNH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI Để tăng cường truyền nhiệt, người ta thường gẵn cánh lên mặt tỏa nhiệt Nhiệt qua gốc cánh dẫn qua chiều dài x cánh, toả mặt xung quanh, làm tăng lượng nhiệt truyền qua gốc Nhiệt độ cánh t(x) giảm dần theo chiều dài x, tiết diện nhiệt độ coi phân bố 2.6.1 Phát biểu tốn Chơ trụ cánh dài l, tiết diện f = const có chu vi la U, mặt xung quanh tỏa nhiệt chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa nhiệt α; nhiệt độ tiết diện coi phân bố đều, gốc t0 > tf , mặt x = l tỏa nhiệt chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa nhiệt α2 Tìm phân bố nhiệt độ t(x) cánh Hình 11 Bài tốn t(x) trụ cánh phẳng có tiết diện khơng đổi 22 lượng nhiệt Q0 qua gốc cánh 2.6.2 Lập phương trình cân nhiệt tìm t(x) 2.6.2.1 Lập phương trình cân nhiệt tìm t(x) Vì nhiệt độ bên đồng với nhiệt độ biên W3 tức điểm trong, nên phương trình t τ = a∇ cần thay phương trình cân t nhiệt cho phân tố thay dV = fdx, ổn định có dạng: Hiệu lượng nhiệt dẫn (vào – ra) dV = nhiệt tỏa mặt Udx Nếu gọi θ(x) = t(x) − t f phương trình có dạng: −λ dθ d ⎛ dθ ⎞ f + λ ⎜ θ + ⎟f = αθUdx dx dx ⎝ dx ⎠ αU d 2θ Suy λf − αUθ = Đặt m = , [m −1 ] λf dx d 2θ − m 2θ = (1) Thì phương trình cân nhiệt để tìm θ(x) dx Nghiệm tổng quát (1) θ(x) = C1.e mx + C e − mx 2.6.2.2 Tìm θ(x) Q0 cho dài hữu hạn 1)Các số C1, C2 tìm theo điều kiện biên W1 x=0 W3 x=l ⎧θ(0) = C1 + C = t + t f = θ0 ⎨ − ml − ml ml ml ⎩−λθ x (l) = α 2θ(l) → −λ (m.C1.e − m.C2 e ) = α (C1.e + C e ) Giải hệ phương trình bậc tìm C1,C2 thay vào nghiệm tổng quát đưa dạng hàm hyperbol shx = (ex + ex)/2 chx = (ex + ex)/2, thx = shx/chx, thu θ(x) = θ0 α2 sh [ m(l − x) ] m.λ α ch(ml) + sh(ml) m.λ ch [ m(l − x) ] + Trong tính tốn kỹ thuật,khi f