SỞ GD&ĐT BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ NĂM HỌC: 2009 – 2010 Môn thi: Toán lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: ( 3,5 điểm). 1) Tính giá trị biểu thức: 6 6 sin os . 48 48 A c π π = + 2) Giải phương trình: 2 2 2 os ( os ) tan( ) tan( ) os( sin2x). 2 4 4 c c x x x c π π π π = − + + 3) Tam giác ABC có góc C nhọn và 2 2 2 tan 2 bc C b c = − . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. Câu 2: ( 3 điểm). 1) Một thầy giáo có 15 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách toán, 4 cuốn sách lý, 3 cuốn sách hoá và 3 cuốn sách sinh. Thầy giáo đó lấy ra 7 cuốn đem tặng cho 7 học sinh A, B, C, D, M, N, P mỗi em một cuốn. Tìm xác suất để sau khi tặng sách xong thầy vẫn còn đủ cả 4 loại sách mỗi loại ít nhất một quyển. 2) Cho ( x 2 + x - 2 ) n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … +a 2n x 2n và 2 1 44. n n C C− = Hãy tìm a 5 . Câu 3: ( 1,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Lấy hai điểm M, N sao cho 4 , 2BC BM NM NC= = − uuur uuuur uuuur uuur . Hãy dựng điểm P, Q lần lượt thuộc đoạn AC, AB sao cho chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất. Khi đó hãy tìm chu vi và diện tích tứ giác MNPQ theo a. Câu 4: ( 1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy điểm M sao cho 2 ' 5 AM AB= uuuur uuuur , mp(P) đi qua M song song với CA’ và BC’. Hãy xác định thiết diện của mp(P) với hình lăng trụ. Câu 5: ( 1 điểm) Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có: tan tan tan 3 2 2 2 A B C + + ≥ . ----------------------------Hết--------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………… Số báo danh: …… . ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ NĂM HỌC: 2009 – 2010 Môn thi: Toán lớp 11 Đáp án, thang điểm này gồm 2 trang Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm. bài làm của học sinh phải chi tiết, chặt chẽ. Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương ứng. Câu Nội dung Điểm 1 1) A= 5 3 os . 8 8 12 c π + 0,5 2 6 os os( ) 12 3 4 4 c c π π π + = − = 0,25 A= 20 3 2 3 6 32 + + 0.25 2) Đk…, Pt 2 os sin 2 2 ( )c x x k k⇔ ± = ∈ Ζ 0,5 0=⇒ k 0.5 k=0 thì os x=0 cotx= 2 c x  ⇒  ±  0,5 3) GT ( ) ( ) 2 2 2 2 2sin osC 2.2 sin .2 sin cos sin 2 sin 2 sin Cc R B R C C C R B R C ⇔ = − − 0,25 ( ) ( ) 2 sin osC sin cos sin 0B c B C C⇔ − + = 0.25 2 B C π ⇔ + = đpcm 0.5 2 1) 7 15 AΩ = 0,25 Số cách tặng Không còn sách toán: !7. 2 10 C Không còn sách lý: !7. 3 11 C Không còn sách hoá: !7. 4 12 C Không còn sách sinh: !7. 4 12 C 0,25 Không còn sách lý và hoá: 7! Không còn sách lý và sinh: 7! Không còn sách hoá và sinh: 1 9 .7!C 0,25 Số cách tặng không còn đủ 4 loại sách: !7. 2 10 C + !7. 3 11 C + !7. 4 12 C + !7. 4 12 C -(7!+ 7!+ 1 9 .7!C ) 0,25 Số cách tặng còn đủ 4 loại sách: 7 15 A -[ !7. 2 10 C + !7. 3 11 C + !7. 4 12 C + !7. 4 12 C -(7!+ 7!+ 1 9 .7!C ) ]=26439840 0,25 ⇒ xác suất cần tìm 0,25 2) 2 1 44 11. n n C C n− = ⇔ = 0,5 ( x 2 + x - 2 ) 11 = ( ) ( ) 11 11 11 2 0 2 k k k k C x x − = − + ∑ = ( ) ( ) ( ) 11 11 11 11 2 2 11 11 0 0 0 0 2 2 k k k i k k k i i k i k i k k k i k i C C x x C C x − − − − = = = =     − = −  ÷  ÷     ∑ ∑ ∑ ∑ 0,5 Để có a 5 thì: 0 ≤ i ≤ k ≤ 11 và 2k-i=5 hay           == == == 5,5 3,4 1,3 ik ik ik vậy a 5 = +− − 1 3 3113 11 )2( CC +− − 3 4 4114 11 )2( CC 5 5 5115 11 )2( CC − − =-12672 0,5 3 Dựng hình Chứng minh Chu vi = MN+N’P+PQ+QM’= 7 4 a Diện tích: 3 3 2 4 2 4 2 a a a + = 64 35 2 a 0,5 0,25 0,5 0,25 4 BC’//KH ⇒ (P)//(A’CH) Kẻ TMD//A’H, TI//HC, IE//BC’, EF//CA’ Thiết diện là ngũ giác DTIEF 0.25 0.5 0.25 5 2 2 2 2 tan tan tan 3 (tan tan tan ) 3 2 2 2 2 2 2 tan tan tan 2(tan tan tan tan tan tan ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C A B B C C A + + ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ Mà 1 tan( ) tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 2 A B A B B C C A C + = ⇔ + + = Nên đpcm 2 2 2 tan tan tan tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B B C C A ⇔ + + ≥ + + Luôn đúng ⇒ ĐPCM 0.25 0.5 0.25 ………………… Hết……………………. A C M N N’ B M’ Q P A’ M C’ B’ A K C H T I E D F B . = ⇔ = 0,5 ( x 2 + x - 2 ) 11 = ( ) ( ) 11 11 11 2 0 2 k k k k C x x − = − + ∑ = ( ) ( ) ( ) 11 11 11 11 2 2 11 11 0 0 0 0 2 2 k k k i k k k i i k i k i. i ≤ k ≤ 11 và 2k-i=5 hay           == == == 5,5 3,4 1,3 ik ik ik vậy a 5 = +− − 1 3 3113 11 )2( CC +− − 3 4 4114 11 )2( CC 5 5 5115 11 )2( CC