PHNG GIẠO DỦC TP. HÚ K THI CHN HC SINH GII THCS NÀM HC 2006 - 2007 MÄN TOẠN - LÅÏP 9 Thåìi gian: 120 phụt (khäng kãø thåìi gian giao âãư) Bi 1 (2 âiãøm): Cho biãøu thỉïc xxxyyxyA 31031.3103 23 −+−= a) Phán têch A thnh nhán tỉí. b) Tçm càûp säú x, y tho mn âiãưu kiãûn y - x = 4 3 âäưng thåìi A = 0 Bi 2 (2 âiãøm): Cho biãøu thỉïc M = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 4t 2 våïi x, y, z, t l cạc säú ngun khäng ám. Tçm cạc giạ trë ca x, y, z, t âãø biãøu thỉïc M cọ giạ trë nh nháút tho mn âiãưu kiãûn: 2x 2 - 2y 2 + 5t 2 = 30 x 2 + 8y 2 + 9z 2 = 168 Bi 3 (2 âiãøm): Cho hm säú f(x) = 2x2x 1x2x 2 2 +− +− (x ∈ R) a) Chỉïng minh ràòng våïi hai giạ trë x 1 , x 2 tu ca x sao cho 1≤ x 1 < x 2 thç f(x 1 ) < f(x 2 ) b) Våïi giạ trë no ca x thç 4 3 )x(f 2 1 << Bi 4 (4 âiãøm): Cho tam giạc cán ABC (AB = AC), âỉåìng cao AH. Trãn cảnh BC láúy 2 âiãøm M v E sao cho ME = 2 1 BC (BM < BE). Qua M k âỉåìng thàóng vng gọc våïi BC càõt AB tải D. Qua E k âỉåìng thàóng vng gọc våïi DE càõt âỉåìng thàóng AH tải N. a) Chỉïng minh: BM . BH = MD . HN b) Chỉïng t N l mäüt âiãøm cäú âënh. c) Biãút AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tênh khong cạch giỉỵa tám âỉåìng trn näüi tiãúp v tám âỉåìng trn ngoải tiãúp ca tam giạc ABC. HỈÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃƯ THI HC SINH GII NÀM 2006- 2007 Män: Toạn - Låïp 9 Bi 1(2 âiãøm) a) (1 âiãøm) x3x10xy10xy21yx37yx33y3A 223 −++−−= (0,5 â) ( ) ( ) 2 3 . 3 7 3 10y x y x y x = − − + ( ) ( ) 2 3 . 3 2 3 5 3 10 60y x y x y x y x = − − − + o (0,5 â) ( ) ( ) ( ) 3 . 3 2 . 3 5y x y x y x = − − − b) (1 âiãøm) x3y0A == hoỷc 3 x2 y = hoỷc 3 x5 y = * x3y = 0 4 3 x3x =+ 0 2 3 x 2 = 4 3 x = 3 4 y x = 4 3 xy += 4 3 xy += 2 3 y = * 3 x2 y = 0 4 3 3 x2 x =+ 2 1 5 0 12 3 x + = ữ 3 4 y x = 4 3 xy += 4 3 xy += * x 3 5 y = 0 4 3 3 x5 x =+ 0 12 16 32 5 x 2 = 3 4 y x = 4 3 xy += 4 3 xy += 32 9 x = 32 1 x = 4 27 x = 12 1 x = 4 3 xy += 4 3 xy += 2 15 y = 6 5 y = Vỏỷy coù 3 cỷp sọỳ thoớa maợn õióửu kióỷn A = 0 vaỡ 3 4 y x = laỡ: ( 4 3 x = ; 2 3 y = ) ; (x = 27 4 ; y = 15 2 ) vaỡ ( 12 1 x = ; 6 5 y = ) Baỡi 2 (2 õióứm) Tổỡ 2x 2 - 2y 2 + 5t 2 = 30 vaỡ x 2 + 8y 2 + 9z 2 = 168 Suy ra: 3x 2 + 6y 2 + 9z 2 + 5t 2 = 198 3(x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 4t 2 ) = 198 + 7t 2 3M = 198 + 7t 2 66t 3 7 66M 2 += Giaù trở nhoớ nhỏỳt cuớa M laỡ 66 khi t = 0 Do õoù: 2x 2 - 2y 2 = 30 (1) vaỡ x 2 + 8y 2 + 9z 2 = 168 (2) Tổỡ (1) (x + y)(x - y ) = 15 Vỗ x, y laỡ caùc sọỳ nguyón khọng ỏm, nón x + y = 15 vaỡ x - y = 1 (3) Hoỷc: x + y = 5 vaỡ x - y = 3 (4) Tổỡ (3) x = 8, y = 7, caùc giaù trở naỡy khọng thoớa (2) Tổỡ (4) x = 4, y = 1. Thay vaỡo (2) ta coù: 16 + 8 + 9z 2 = 168 9z 2 = 144 z 2 = 16 z = 4 (z = - 4 loaỷi) Vỏỷỷy giaù trở nhoớ nhỏỳt cuớa M laỡ 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = 0 Baỡi 3 (2 õióứm) a) 1 õióứm Hóỷ phổồng trỗnh vọ nghióỷm ho ỷc ho ỷc ( ) ( ) ( ) 11x 1x xf 2 2 + = - Vồùi x 1 = 1, x 2 >1 thỗ f(x 1 ) = 0, f(x 2 ) > 0 nón f(x 1 ) < f(x 2 ) - Nóỳu x 1, ta coù ( ) ( ) 2 1x 1 1 1 xf + = Vồùi 1 < x 1 < x 2 thỗ 0 < x 1 - 1 < x 2 - 1 nón: ( ) 2 1 1x 1 > ( ) 2 2 1x 1 Do õoù: ( ) 2 1 1x 1 1 1 + < ( ) 2 2 1x 1 1 1 + hay f(x 1 ) < f(x 2 ) Vỏỷy vồùi 1 x 1 < x 2 thỗ f(x 1 ) < f(x 2 ) b) 1 õióứm f(x) > 1 2 2x2x 1x2x 2 2 + + > 1 2 2x4x2 2 + > x2x2x2x 22 + > 0 x (x - 2) > 0 x > 2 hoỷc x < 0 (1) f(x) < 4 3 2x2x 1x2x 2 2 + + < 4 3 4x 2 - 8x + 4 < 3x 2 - 6x + 6 x 2 - 2x - 2 < 0 (x - 1) 2 - 3 < 0 (x -1 + 3 ) (x - 1 - 3 ) < 0 1 - 3 < x < 1 + 3 (2) Tổỡ (1) vaỡ (2) suy ra 2 1 < f(x) < 4 3 1 - 3 < x < 0 hoỷc 2 < x < 1 + 3 Baỡi 4 (4 õióứm) A D B M H E C N a) Xeùt MDE vaỡ HEN coù: ã DME = ã EHN = 90 0 ã MDE = ã HEN (goùc coù caỷnh tổồng ổùng vuọng goùc) nón MDE HEN , suy ra: HN ME HE MD = Hay MD.HN = HE.ME Do BH = ME ( BC 2 1 = ) nón BM = HE Do õoù: MD.HN = BM.BH (1) b) Tổỡ (1) HN BH BM MD = (2) ABH coù MD//AH nón BH AH BM MD = (3) Tổỡ (2) vaỡ (3) BH AH HN BH = AH BH HN 2 = N AH cọỳ õởnh vaỡ HN khọng thay õọứi nón N laỡ õióứm cọỳ õởnh. c) A P BC = 6cm BH = 3cm AHB ( 0 90H = ) coù AH 2 = AB 2 - BH 2 = 5 2 - 3 2 = 16 = 4 2 K I B H C AH = 4cm Goỹi K laỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp ABC, thỗ BK laỡ phỏn giaùc cuớa à B vaỡ K AH. Do õoù: 5 3 BA BH KA KH == Suy ra: 5,0 8 4 8 KAKH 5 KA 3 KH == + == KH = 1,5cm KA = 2,5cm Goỹi I laỡ tỏm dổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp ABC thỗ IP laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa caỷnh AB vaỡ I AH nón 5 2,5( ) 2 2 AB PA cm= = = . ABH ( 0 90H = ) coù cos ( ã BAH ) 8,0 5 4 AB AH === ã cos( ) 0,8PAI = API ( 0 90P = ) coù cos ( ã PAI ) AI AP = ã 2,5 3,125 0,8 cos( ) AP AI PAI = = = Do õoù KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm) Vỏỷy khoaớng caùch giổợa tỏm õổồỡng troỡn ngoỹai tióỳp vaỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp cuớa tam giaùc ABC laỡ 0,625cm. . ( ) 2 2 1x 1 Do õoù: ( ) 2 1 1x 1 1 1 + < ( ) 2 2 1x 1 1 1 + hay f(x 1 ) < f(x 2 ) Vỏỷy vồùi 1 x 1 < x 2 thỗ f(x 1 ) < f(x 2 ) b) 1 õióứm. nón f(x 1 ) < f(x 2 ) - Nóỳu x 1, ta coù ( ) ( ) 2 1x 1 1 1 xf + = Vồùi 1 < x 1 < x 2 thỗ 0 < x 1 - 1 < x 2 - 1 nón: ( ) 2 1 1x 1 >