TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 10 – BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG DẪN 1. Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh: 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + Hướng dẫn: Ta đặt 2 2 2 y z x a x b c x z y y c a b z a b x y z c + −  =  = +   + −   = + ⇒ =     = +  + −  =   nên BĐT 1 3 2 2 y z x x z y x y z x y z   + − + − + − ⇔ + + ≥  ÷   2 . 2 . 2 . 6 x y y z z x x y y z z x y x z y x z y x z y x z       ⇔ + + + + + ≥ + + =  ÷  ÷  ÷       (đúng) Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra a b c ⇔ = = 2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: 2 2 2 3x y z+ + = . Chứng minh : 3 xy yz zx z x y + + ≥ Hướng dẫn: Đặt xy a z yz b x zx c y  =    =    =   với , , 0a b c > từ giả thiết 2 2 2 3x y z+ + = 3ab bc ca⇔ + + = Và BĐT cần CM ⇔ CM BĐT 3a b c + + ≥ mặt khác ta có BĐT sau: 2 2 2 3( ) 3a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + = Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra 1x y z⇔ = = = 3. Cho x, y, z >0 thoả 1x y z+ + = . Chứng minh: 1 4 9 36 x y z + + ≥ Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có thể đặt: a x a b c b y a b c c z a b c  =  + +   =  + +   =  + +  với a,b,c >0 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 1 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” Nên BĐT ⇔ CM 4. 9. 36 a b c a b c a b c a b c + + + + + + + + ≥ 4. 4. 9. 9. 22 b c a c a b a a b b c c ⇔ + + + + + ≥ 4. 9. 4. 9. 2 .4. 2 .9. 2 4. .9. 22 b a c a c b b a c a c b a b a c b c a b a c b c       ⇔ + + + + + ≥ + + =  ÷  ÷  ÷       (đúng) Dấu “=” xảy ra 1 6 2 1 3 3 1 2 x b a y c a z  =   =   ⇔ ⇒ =   =    =   4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh: ( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + − Hướng dẫn: Ta đặt x b c y c a z a b = +   = +   = +  với , , 0a b c > nên BĐT ⇔ CM BĐT ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥ mặt khác ta có 2 2 2 ( )( )( ) 8 ( ) ( ) ( ) 0a b b c c a abc a b c b c a c a b+ + + − = − + − + − ≥ Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra x y z ⇔ = = 5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . Chứng minh : 1 1 1 1 1 1 1a b c b c a     − + − + − + ≤  ÷ ÷ ÷     Hướng dẫn: Do 1abc = nên ta có thể đặt x a y y b z z c x  =    =    =   với , , 0x y z > Nên BĐT có thể viết lại 1 1 1 1 x z y x z y y y z z x x      − + − + − + ≤  ÷  ÷ ÷      ⇔ ( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + − (đã CM ở VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra 1a b c⇔ = = = 6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 2 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” Chứng minh : 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b + + ≥ + + + Hướng dẫn: Ta đặt 1 1 1 a x b y c z  =    =    =   với , , 0x y z > và do 1abc = nên 1xyz = Nên BĐT 2 2 2 3 2 x y z y z z x x y ⇔ + + ≥ + + + mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y z y z z x x y x y z y z z x x y     + + + + + + + ≥ + +  ÷   + + +   2 2 2 3 3 3 2 2 2 xyz x y z x y z y z z x x y   + + ⇔ + + ≥ ≥ =  ÷ + + +   Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra 1a b c ⇔ = = = 7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 2xyz x y z= + + + . Chứng minh : 3 2 x y z xyz+ + ≤ Hướng dẫn: Từ 1 1 1 2 1 1 1 1 xyz x y z x y z = + + + ⇔ + + = + + + Ta đặt 1 1 1 , , 1 1 1 a b c x y z = = = + + + với , , 0a b c > 1 1 1 , , a b c b a c c a b x y z a a b b c c − + − + − + ⇒ = = = = = = Nên BĐT cần CM ⇔ CM BĐT 3 . . . 2 a b b c c a b c c a c a a b a b b c + + ≤ + + + + + + Mặt khác ta có: 1 . 2 a b a b b c c a a c b c   ≤ +  ÷ + + + +   1 . 2 b c b c c a a b b a c a   ≤ +  ÷ + + + +   1 . 2 c a c a a b b c c b a b   ≤ +  ÷ + + + +   Nên 1 3 . . . 2 2 a b b c c a a b b c c a b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b   + + ≤ + + + + + =  ÷ + + + + + + + + + + + +   Vậy BĐT luôn đúng 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 3 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” Dấu “=” xảy ra 2x y z⇔ = = = 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 Hướng dẫn: a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b ⇔ 2a 2 +2b 2 +2≥ 2ab+2a+2b ⇔(a 2 -2ab+b 2 )+(a 2 -2a+1)+(b 2 -2b+1) ≥ 0 ⇔( a-b) 2 +(a-1) 2 +(b-1) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b với mọi a,b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) ⇔ a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 -a(b+c+d+e)≥ 0 ⇔ 0 4444 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥         +−+         +−+         +−+         +− eae a dad a cac a bab a ⇔ 0 2222 2222 ≥       −+       −+       −+       − e a d a c a b a Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) c) a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) ⇔ a 3 +b 3 - ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b) 2 (a 2 -2ab+b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a+b) 2 (a-b) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) d) a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 ⇔ (a 4 - a 3 b )+(b 4 -ab 3 ) ≥ 0 ⇔ a 3 (a- b )+b 3 (b-a) ≥ 0 ⇔ (a- b )( a 3 - b 3 ) ≥ 0 ⇔ (a- b ) 2 ( a 2 +ab+ b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a- b ) 2         +       + 4 3 2 2 2 bb a ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc Hướng dẫn: a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) ⇔ 2(a+b+c) 2 ≥ 6(ab+bc+ca) ⇔ 2a 2 +2b 2 +2c 2 +4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca≥ 0 ⇔ (a-b) 2 +(a-c) 2 +(b-c) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc ⇔ a 2 +a 2 b 2 +b 2 +b 2 c 2 +c 2 +c 2 a 2 -6abc≥ 0 ⇔ (a-bc) 2 +(b-ac) 2 +(c-ab) 2 ≥ 0 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 4 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc 10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 ≥ a 3 +b 3 b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4 ≥ a 3 +b 3 + c 3 Hướng dẫn: a) a 4 +b 4 ≥ a 3 +b 3 ⇔ 2(a 4 +b 4 ) ≥ ( a 3 +b 3 )(a+b) ⇔ (a-b) 2 0 4 3 2 2 2 ≥         +       + b b a Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b = 2 1 b) a 4 +b 4 +c 4 ≥ a 3 +b 3 + c 3 ⇔3 ( a 4 +b 4 +c 4 ) ≥ ( a 3 +b 3 + c 3 )(a+b+c) ⇔ ( ) ( ) ( ) 0 4 3 24 3 24 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥         +       +−+         +       +−+         +       +− a a cacc c bcbb b aba Các bạn vào: vanxe67.violet.vn để xem nhiều chuyên đề toán học hay. 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 5 - GV: Nguyễn Văn Xê .       + 4 3 2 2 2 bb a ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca). lượng thật trong giáo dục” Dấu “=” xảy ra 2x y z⇔ = = = 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) a 3