UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc __________________________ _____________________________________________ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009 (VÒNG 2) Môn thi : Tóan Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/1/2009 Bài 1: (3 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có: 1 1 2 a b b c c a + = + + + Bài 2: (4 điểm) Cho 2 2 1 2 2 4 2 7 10 5 x x x A x x x x − − − = + − − − + − a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nguyên. Bài 3: (5 điểm). Giải hệ phương trình: 2x 2 + 3y = 1 3x 2 - 2y = 2 Bài 4: (5 điểm). Cho hình vuông ABCD, trên cạch BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = BM. Chứng minh các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngọai tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại một điểm. Bài 5: (3điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác O. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. c) CM.CN = 2R 2 d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ? Hết UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc __________________________ _____________________________________________ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009 (VÒNG 2) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN LÝ Bài Nội dung Điểm Bài 1 (3đ) 1 1 2 1 1 1 1 (*) a b b c c a a b c a c a b c + = + + + ⇔ − = − + + + + 0,5 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 c b A a b c a a b c a c b a b c a b c − = − = + + + + − = + + + 0,5 Theo giả thiết: 2 2 a c b a c b b a c b + = ⇔ + = ⇔ − = − , nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a A a b b c c a a b b c c a − + − = = + + + + + + 1,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 b a b c c a A c a b c b c c a b c c a − + − + = = = − + + + + + + Đẳng thức (*) được nghiệm đúng. 1,0 Bài 2a (2đ) x 2 - 7x + 10 = (x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 0.5 2 2 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 4 2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5 5 2 (2 4)( 2) ( 5)( 2) 8 15 ( 5)( 3) 3 ( 5)( 2) ( 5)( 2) 2 x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − = + − = + − = − − + − − − − − − + − − − − − = − − − + − − − − − + = = = − − − − − 1.5 Bài 2a (2đ) ( 2) 1 1 1 2 2 x A x x − − + = = − + − − , với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi 1 2x − nguyên, khi đó x – 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 nghĩa là x = 3, hoặc x=1. 2đ Bài 3 (5đ) Đặt u = x 2 ≥ 0, ta có: 2u + 3y = 1 8 13 u = 3u - 2y = 2 1 13 y =− 2đ Do đó: 2 8 13 x = 1 13 y =− Hệ PT có 2 nghiệm là: 2 26 1 2 26 1 ( , ) ( , );( , ) 13 13 13 13 x y − = − − 3đ Bài 4 (5đ) M C O D A C B H N Gọi H là giao của AM và CN 1đ Xét ∆AMB và ∆CNB là hai tam giác vuông có : AB = BN (cạnh hình vuông) BM = BN (gt) ⇒∆AMB = ∆CNB (c.g.c) 1đ · · BAM BCN= (1) 1đ Xét trong ∆AMB và ∆CMH có : · · AMB CMH= (đối đỉnh), kết hợp với (1) ⇒ · · 0 CHM ABM 90= = hay · 0 ACH 90= 1đ ⇒ H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn ngọai tiếp ABCD) Vậy AM, CN và đường tròn ngọai tiếp ABCD đồng quy tại H. 1đ ⇔ 2 2 2 26 13 13 x = ± = ± 1 13 y =− ⇔ Bài 5 (3đ) C A B N E P D F a) * Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP. * Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP. * Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP. 1đ b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB) · · NMP NCD= (hai góc đồng vị) · · ONC OCN= (hai góc đáy của tam giác cân ONC) · · NMP NOP= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP) Suy ra · · MNO NOP= ; do đó, OP//MC. Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành. 1.5 c) ( . )CND COM g g∆ ∆: Nên OC CM CN CD = hay CM.CN = OC.CD = 2R 2 1.5 d) Vì MP = OC = R không đổi. Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên. 1đ Hết M O . Bài 2a (2 ) x 2 - 7x + 10 = (x-5)(x -2) . Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x 2 0.5 2 2 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 4 2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5 5 2 (2 4)( 2) ( 5)( 2) . _____________________________________________ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 20 08 -20 09 (VÒNG 2) Môn thi : Tóan Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/1 /20 09 Bài