DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.Hệ phương trình đối xứng loại 1: 2 2 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 5( ) 2 19 7 / / 18 7 1/ ;2/ ;3/ ;4/ 3 35 5 12 ( ) 2 5 4 17 ( ) 78 5/ ;6/ ;7 / ;8/ 7 ( )( ) 280 13 97 x y xy x xy y x y y x x y x y xy x y x y xy x y x y xy x y x y x y xy x y xy x y x y x y xy x y + + = −    − + = + = + =      + + = − + = + = + = −     + + = + =  + = + =       + + = + + = + + = + =          II.Hệ phương trình đối xứng loại 2: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 13 4 1/ ;2/ 2;3/ 1;4/ 2 ;5/ 13 4 2 1 2 xyz x y z xy z x y z x yz x x x y yzt y z t yz x y z x y zx y ztx z t x y y x zx y z x y z xy z txy t x y = + +     + = + + = + =   = + = + +      + = + + = + =      = + + = +       + = + + = + =     = + +  III.Hệ phương trình đẳng cấp: 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2 2 3 9 3 2 11 1 2 9 ( )(2 3) 1 4 5 5 2 3 17 2 2 3 x xy y x xy y x y x y x y xy x y x xy y x xy y x y xy y x xy y x y x y      − + = + + = + = − = − + + =           − + = + + = + + = − + = + = +           IV.Hệ phương trình vô tỉ: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 30 2 8 2 4 2 2 8 2 8 128 35 128 4 2 16 x y y x x y xy x y x y S P P x y x x y x x y y x y x y S P      + = + + = + + − = − + = − = −      ⇔ ⇔      + = + = + = + = + =          2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2(1) 2 2 5 2 7 2( ) 3( ) ; ; ; 2 2 5 2 7 6 4 x y x y x y x y x y x y xy y x y x x y x y x y     + − − = + − = + + − = + = +         + − = + + − = + = + + − =         ( bp (1) ) 2 2 3 2 1 20 / 20 2 2 7 ; ; ; ( ) 3 2 23 136 0 16 /5 x y x y y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y     + − + = − = + + − + + + = + + + + =     ×     + = + = + + − = = + − −         V. Giải HPT bằng pp đánh giá: 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 2 4 6 4 2 2 2 2 2 1 2 /(1 ) 2 /(1 ) 1/ 1 2 1; 1/ 1; 2 /(1 ) ; 3 /( 1) ; 2 1/ 1 2 /(1 ) 4 /( 1) 1 12 x y yz x y x x y x x y x y z y xz y z y z y y z y y y z x z yx z x z z x z z z z x z x x y z  + =  = +    + = + = − =      + =   = + − = + = + + =      + =      − = + = + + + = = +       + + =  1 DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 2 2 2 2 2 2 4 6 3 4 4 5 7 2 2 1 4 1 ( 1) 1 2 1 1 ; ; 1 1 1 2 1 4 1 2 1 4 xy z z xy x y x y z x y x y z x yz xy x yz xy   − = − + + =   + = + + =     ⇔     + = + + = − = −   − = −       VI. Một số HPT khác: 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 6 5 1/ 1/ 2 ( ) 3 ( ) ) 3 7 7 ; ; ; ; 2 1 ( ) 10 ( )( ) 15 2 2 x y x y x x y y y x y x x y x y x x y y x y x y y x x x y y x y x y x y x y xy + −  + = − = −    − = − − = + = +      − +      = + + = + + = + = + +         =  2 2 2 2 2 2 2 2 (3 2 )( 1) 12 ( 2)(2 ) 9 ( )(1 1/ ) 5 18 ; ; ; ( 1)( 1) 72 4 2 8 4 6 ( )(1 1/ ) 49 x x y x x x x y x y xy x y x y xy x y x x y x x y x y x y + + = + + = + + =     + + + =     + + = + + = + + = + + =     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 9 6 ( )( ) 45 7 ; 4 9 189 189; ( )( ) 63 ( )( ) 54 14 3 4 x y z x u v x y z x y x y z xy yz zx x y z x u v y z x y z z x x y z x y z xz y xv u − + = − + =    + + = + + + =      + − = + + = ⇔ + + = + + + =         + + + = + + = = =     5 6( ) 5 24( ) 0 1 ( ) 2 7 12( ); 7 24( ); 0; 5; ( ) 3 3 4( ) 4( ) 0 2 ( ) 6 xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy = + = + = > + + = + + = −           = + = + = > + + = + + = −           = + = + = > + + = + + = −      2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 0 2 /( 1) 1 1 1 2 4 3 0 2( 1) 1 0 x y x y y x x x y x x y x y   − + = = + ≤ =    ⇔ ⇒    = − − + + = − + + =      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ 1/ 1 2 2 2 1 2 1 1 2 x y x y x y x y x y xy x y xy  + =  + =   ⇔ ⇒ = = ±   + − + = + − + − = +     3 3 4 16 , 0 8 3 4 8 2 3 8 x y x y x y x y x y x y  = ⇒ > ⇒ = + ≥ = ⇒ = =  + =  2 4 2 4 4 4 32 3 ( 32 ) ( 32 ) 6 21 12. 12 16; 3 32 6 24 x x y x x x x y y VT x y x x y  + − − = −  ⇒ + − + + − = − + ≥ ≤ ⇒ = =  + − + =   4 3 2 2 4 3 2 2 2 2 3 2 2 1 1 ( 1) 0 1 1 1 ( 1)( 1) 0 x x y x y x x y x y x x x y xy x y x xy xy x   − + = − + =  − =   ⇔ ⇒ ⇒ = = ±    = − + = − + =      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ 6 / ( ) 6 6 6 3 1;2 (1/ 2;1) 2 2;1 (1;2) 1/ 5 5 2 5 1 5 x y x y yz z y SP y xy x S y P z x y z y S P x y x + = + = =  + = = =        ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ ⇒        = = + = + = − = + =         3 3 3 3 3 3 3 2 2 1 19 / 16/ 3 1/ 19 19 ; / 9/ 2 1/ 6 / ( ) 6 6 x y x xy x y x y z y xy y x x y x y zy z y y xy x  + = − =   + = + =   ⇔ ⇔     − = + = − + = − + = −      2 DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 64 2 1 1 18 4 4 9 9 10 9 9 10 1 1 2 x y x y xy x x y x y y x y x y x y x y x x y x y y x y  + =  + = −  + + + + + + + + + = =     ⇔ ⇒ ⇒     = + + + = + + + =   + + + − + + + + − =      2 3 2 3 2 3 1 6 1(1) (1) (2) 1 6 1 1 6 1(2) x y y x y x x x y x x  − + + = −  − ⇒ = ⇒ − + + = −  − + + = −   2 3 2 3 3 2 2 1 1 6 2 4 ( 2)( 2) 2 1 1 ( 6) 2 6 4 x x x x x x x x x x x − − − − + + − = − ⇔ + = − + ⇒ = − + + + + + 2 2 2 2 ( 8)( 2)(1) (2) 5 4;4 ( 2; 6);(19;99);(0;4);(2;2);(5; 1) (8 4 ) 16 16 5 0(2) y x x y x x y x y x x  = + +  ⇒ = + − ⇒ − − −  − + + + − =   2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 (1 4 ).5 1 2 (1) 1 4 (1) 5. 5. 1 2.2 2 1 5 5 4 1 ln( 2 ) 0(2) x y x y x y x y x y x y x y y x y x − − − − + − + −  + = +      ⇔ + = + ⇒ − =   ÷  ÷ + + + + =       . Thay vào (2) ta được: 3 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 3 ln( 1) 0. '( ) 3 2 (2 1) /( 1) 3 (2 4 3) /( 1) 0f y y y y y f y y y y y y y y y y y= + + + + + = = + + + + + = + + + + + > ∀ Nên pt có nghiệm dn y = - 1. Vậy hpt có nghiệm dn ( 0; - 1 ) 2 2 1 3 5 1 3 5(1) 5 5 7 (1) ( 5) ( 1) 5 1 6 2 80(2) x x x y y y f y f x y x x y x y x y  + + + + + = − + − + − −  ⇔ − = + ⇒ − = + ⇒ = − =  + + + =   2 2 2 2 2 2 21 1 21 5 1 1 4 2 21 1 x y y x y x x x x y x x  + = − +  ⇒ = ⇒ + − = − − + − ⇒ =  + = − +   2 2 5 30 25 4 5 2 6 3 2 9 42 3 42 (42 ) 60 4 8 27 ( ; 0) 30 25 8 28 ( ) 42 5 5 2 6 9 2 3 4 42 (42 ) 42 9 x x x y y x x y x y x x y y x L x y x y y y x y x y y x y      + + = + + =   ÷ =   + = + +       > ⇔ ⇒ = − ⇒     = − +   +     − + = − = =  ÷    + + +      2 2 4 4 6 2 6 2 3 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 (1 ) 1 (1 ) 1 1 ( ) 2 1 ( ) (2 ) 0 x y x y y x x y x x x y x y xy x x y x y x  − = + −  ⇒ + − = − − ≤ ≤ + + ≤ − −  + + + + ≤   3 2 3 2 2 ( ) 0 & 1& 1x y x y x y x y x y⇒ + ≤ ⇒ = − = = − ⇒ = − = VII. Biện luận hệ phương trình: 1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: 2 2 (1) x y xy m x y m + + =   + =  Giải: Đặt S = x + y; P = xy 2 2 & 2 2 3 0. ' 1 3 0 1/ 3S P m S P m S S m m m⇒ + = − = ⇒ + − = ∆ = + ≥ ⇔ ≥ − . Để (1) có nghiệm thì 2 2 4 2 2 2 2( ) 2 2 2 3 1 0S P S P P m P m m S m S m m− = − − = − = − − = − + = − − ± + ≥ . Để (1) có nghiệm ta chỉ cần đk: 2 3 1 0 3 1 2 0 8m m m m m− − + + ≥ ⇔ + ≥ + ⇒ ≤ ≤ ( do 0m ≥ từ pt thứ hai của hệ ). 3 DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 2/ Giải và bl hpt: 2 2 2 2 x xy y mx y xy x my  + − =   + − =   Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được: ( )( 1 ) 0x y x y m− + + − = a/ 2 3 ( 1) 0 0;( 1) /3x y x m x x m= ⇒ − + = ⇒ = + b/ 2 1 ( 1) 1 0. ( 1)( 5)y m x x m x m m m= − − ⇒ − − + − = ∆ = − − Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm 0; ( 1)/ 3x y x y m= = = = + +/ 1 5m m≤ ∨ ≥ : hpt có nghiệm: 0; ( 1)/ 3x y x y m= = = = + ; 1 1 ( ; ) 2 2 m m− ± ∆ − ∆m 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 2 2 2 2 1(1) 3 2 (2) x xy y x xy y m  − + =   − + =   Giải: Đặt 2 2 (1) : ( 1) 1x ty y t t= ⇒ − + = (3). Vì 2 1 0t t− + > với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra: 2 2 2 ( 3 2) /( 1) ( 1) (3 ) 2 0t t t t m m t m t m− + − + = ⇒ − + − + − = (4). +/ m = 1: t = 1/2 ⇒ hpt có nghiệm. +/ 1:m ≠ (4) có 3( 4)( 6)m m∆ = − + − . Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi 4 6m− ≤ ≤ . 4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 1 1 3 1 1 1 1 x y x y y x x y m  + + + =   + + + + + + + =   Giải: hpt đã cho tđ với: 2 2 3( , 0) 3 /3 ( 1) ( 1) u v u v S P m u v v u u v m + = ≥ =   ⇔ ⇒   = − + − + + =   hpt có nghiệm khi 0 27 / 4m≤ ≤ . 5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất: 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x ax x y x ay  = − +   = − +   Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: 0 0 ( ; )x y thì nó cũng có nghiệm 0 0 ( ; )y x do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì 3 2 0 0 0 0 0 5 0x y x x ax= ⇒ − + = . Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì 25 4 0 25/ 4a a∆ = − < ⇒ > . b/ đk đủ: hpt tđ với 2 3 2 2 2 4 ( ) 3( ) 0 x y y ay x y x xy y x y a  = − +     − + + − + + =     . Do pt 2 2 3( ) 0x xy y x y a+ + − + + = ⇔ 2 2 ( 3) 3 0x y x y y a+ − + − + = có 2 2 2 ( 3) 4( 3 ) 3 6 9 4 0 x y y y a y y a y∆ = − − − + = − + + − < ∀ vì ' 12(3 ) 0 y a∆ = − < do a > 25/4 . Với x = y thì hpt trở thành 2 ( 5 ) 0x x x a− + = . Do 25/ 4 25 4 0a a> ⇒ ∆ = − < nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất. 6/ Giải và biện luận hpt: x y xy a x y a  + + =   − =   Giải: trừ các vế của hai pt ta được: 2 0 0 4 ( 0)y xy y x y y+ = ⇒ = ∨ = ≤ 4 DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3) b/ 0a ≥ : hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0). MỘT SỐ BÀI TẬP: 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm: 2 2 2 4 3 4 x xy y k y xy  − + =   − =   2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: 4 1 4 (13/3 7) 3 x y m x y m  − + − =  ≤ ≤  + =   3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất: 3 2 2 3 2 2 7 7 x y x mx y x y my  = + −   = + −   có nghiệm duy nhất ( m > 16 ) 4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: 2 2 1 ( 1) ( ) x y xy m m xy x y m m + + = +  =  + = +  5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 2 2 2 2 3 2 11 59 3897 59 3897 4 4 2 3 17 x xy y m x xy y m    + + = − +  ≤ ≤  ÷  + + = +     6/ Cho hpt: 2 2 9 (2 1) 1 0 x y m x my m  + =  + + + − =  . Tìm m để hpt có 2 nghiệm 1 1 2 2 ( ; ) & ( ; )x y x y sao cho BT sau đạt GTLN: 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )A x x y y= − + − ( A là bình phương độ dài dây cung do ĐT và đ tròn tạo thành ) --------------------- // -------------------- 5 . DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.Hệ phương trình đối xứng loại.     − = + = + + + = = +       + + =  1 DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 2 2 2 2 2 2 4 6 3 4 4 5 7 2 2 1 4 1 ( 1) 1 2 1 1 ; ; 1 1 1 2